李莉 張論 王桂英 曹吉花

摘 要：電磁學(xué)是大學(xué)物理的重要組成部分，正確理解和運(yùn)用高斯定理是學(xué)習(xí)電磁學(xué)的關(guān)鍵。在高斯定理的學(xué)習(xí)中，需要掌握高斯定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)公式，高斯定理的數(shù)學(xué)證明以及應(yīng)用，如何選擇和確定合適的高斯面運(yùn)用到高斯定理中是至關(guān)重要的環(huán)節(jié)。本文通過(guò)舉例說(shuō)明應(yīng)用高斯定理求解某些特殊分布電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度的思路和方法。

關(guān)鍵詞：高斯定理；高斯面；電通量；對(duì)稱

中圖分類號(hào)：Ｏ441；G642 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2023）07-0091-05

靜電場(chǎng)的高斯定理是大學(xué)物理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，是電磁場(chǎng)中的一個(gè)非常重要的基本定理，它反映了在靜電場(chǎng)中穿過(guò)任一封閉曲面的電通量與包圍該曲面的電荷之間的定量關(guān)系。很多理工科大學(xué)生在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)有很多困難和錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，對(duì)于如何運(yùn)用高斯求解電場(chǎng)強(qiáng)度更是無(wú)從下手。因此，本文首先給出高斯定理的內(nèi)容和數(shù)學(xué)證明，其次對(duì)三種常見(jiàn)的帶電體對(duì)稱性特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，最后通過(guò)應(yīng)用舉例說(shuō)明選取合適的高斯面求解電場(chǎng)強(qiáng)度的方法。

1 高斯定理的表達(dá)式

根據(jù)給定電荷的分布，運(yùn)用庫(kù)侖定律，可以求空間電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，但只適用于靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。而高斯定理是電場(chǎng)普遍遵循的基本定律，當(dāng)空間電場(chǎng)強(qiáng)度已知時(shí)，由高斯定理求任何區(qū)域內(nèi)的電荷；當(dāng)電荷分布具有對(duì)稱分布時(shí)，也可以由高斯定理計(jì)算電場(chǎng)。因此，靜電場(chǎng)的高斯定理是求解靜電場(chǎng)的另外一種有效的方法。

要注意電通量只與包圍在曲面里的電荷代數(shù)和有關(guān)，與曲面外的電荷是無(wú)關(guān)的，這并不意味著曲面外的電荷對(duì)該曲面不產(chǎn)生電通量，而是它在曲面的某些地方電通量為正時(shí)，一定會(huì)在曲面的其它地方電通量為負(fù)，因?yàn)殡娡渴谴鷶?shù)量，這個(gè)正負(fù)電通量相互抵消而為零。但是要特別注意高斯面上任意一點(diǎn)的電場(chǎng)不僅是閉合曲面內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的，曲面外的電荷也會(huì)對(duì)它有影響，所以高斯面上電場(chǎng)是空間所有電荷產(chǎn)生的一個(gè)合電場(chǎng)強(qiáng)度，這個(gè)要區(qū)分開(kāi)來(lái)并思考一下為什么會(huì)產(chǎn)生兩種不同的結(jié)論。

1.2.3 電荷連續(xù)分布體系電場(chǎng)的高斯定理

2 高斯定理解決對(duì)稱性電場(chǎng)的問(wèn)題

運(yùn)用高斯定理具體求解電場(chǎng)強(qiáng)度的思路和方法，基本如下：

第一，滿足具有對(duì)稱性電荷分布，比如點(diǎn)電荷、帶電球面、帶電球體，它們是球?qū)ΨQ性分布；軸對(duì)稱性的有無(wú)限長(zhǎng)的帶電細(xì)棒、帶電圓柱面和帶電圓柱體。

第二，根據(jù)電荷對(duì)稱性分布得到電場(chǎng)分布的對(duì)稱性，比如球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)強(qiáng)度沿半徑方向；軸對(duì)稱性，電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于軸線。

第三，高斯面的選取，通常選球面或圓柱面，要求面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等，或者部分電場(chǎng)已知或者為零[5]。

基于以上幾點(diǎn)可以用高斯定理來(lái)求電場(chǎng)強(qiáng)度。

例1 計(jì)算均勻帶電球體電場(chǎng)分布。已知球體半徑為R，所帶總的電荷量為q（q>>0）。

解 （1）電荷和場(chǎng)強(qiáng)分布具有對(duì)稱性，方向沿徑向。作一個(gè)與帶電球體同心，半徑為r（r

例2 一個(gè)球形均勻帶電體，電荷體密度為？籽，內(nèi)部有一個(gè)偏心球星空腔（如圖7所示），證明空腔內(nèi)部為均勻電場(chǎng)。

解 空腔的電場(chǎng)，帶正電大球體，它電荷密度為？籽，可以把它兩個(gè)球疊在一起產(chǎn)生效果，即一個(gè)為帶電密度為？籽的球，然后在把它加上一個(gè)帶負(fù)電荷密度為？籽的球共同疊加產(chǎn)生的情況（如圖8所示），用這兩個(gè)球來(lái)計(jì)算球內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小。

空腔中任意一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度，等于兩個(gè)球在該點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量疊加。

例3 有一無(wú)限大均勻帶電平板，單位面積上所帶電量為？滓（電荷面密度），求距平板r處的某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度[6]。

解 （1）對(duì)稱性分析：空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只能垂直于平板，與平板等距離的各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)E相等，對(duì)稱點(diǎn)的E大小相等，方向相反。

（2）選高斯面

作一個(gè)垂直于帶電平面的圓柱面（如圖9所示），且兩底面關(guān)于該帶電平面對(duì)稱。穿過(guò)閉合曲面的電通量可以計(jì)算的。

（3）計(jì)算通過(guò)S的電通量

可見(jiàn)，兩無(wú)限大均勻帶等量異號(hào)電荷的平行板（平行板電容器近似此類情況），其電場(chǎng)都集中在板間，且板間的電場(chǎng)是均勻電場(chǎng)，而板外的電場(chǎng)為零。

3 結(jié)論

高斯定理是電場(chǎng)的普遍基本定律，它揭示出靜電場(chǎng)是一個(gè)非常重要的特征，靜電場(chǎng)起自正電荷、終于無(wú)窮遠(yuǎn)或負(fù)電荷，正電荷是電場(chǎng)的源頭、負(fù)電荷是尾閭，因此靜電場(chǎng)是有源場(chǎng)。對(duì)于庫(kù)侖定律已知電荷的分布，可以求出空間電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，它適用于靜止電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。而高斯定理是已知空間電場(chǎng)強(qiáng)度求任何區(qū)域內(nèi)的電荷；或者說(shuō)電荷分布具有高度的對(duì)稱性，可以運(yùn)用高斯定理來(lái)求電場(chǎng)強(qiáng)度，可以把電場(chǎng)強(qiáng)度和電荷聯(lián)系在一起。

一般情況下用高斯定理直接計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度是比較困難的，但是當(dāng)某一個(gè)帶電體電荷分布具有對(duì)稱性，我們就可以根據(jù)對(duì)稱性場(chǎng)強(qiáng)分布選取合適的閉合曲面即高斯面，利用高斯定理來(lái)計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度。我們用高斯定理來(lái)解決對(duì)稱性分布電荷的電場(chǎng)時(shí)需要注意：（1）求哪一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，就把高斯面建在哪里；（2）指的是高斯面內(nèi)包圍的電荷量；（3）高斯面的建立盡量與電場(chǎng)線垂直；（4）位于閉合曲面外的電荷對(duì)閉合曲面內(nèi)的電通量沒(méi)有貢獻(xiàn)[7]。

參考文獻(xiàn)：

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