破解雙變量不等式問題的兩個“妙招”

李遐齡

雙變量不等式問題是近幾年高考試題中的“常客”，且常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題的難度一般較大，側(cè)重于考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系、不等式的性質(zhì)等.解答雙變量不等式問題，往往需通過構(gòu)造同構(gòu)式、指定主元，才能將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的單變量不等式問題，以利用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的性質(zhì)順利求得問題的答案.

一、構(gòu)造同構(gòu)式

在解答雙變量不等式問題時，我們可先將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危共坏忍杻蛇吺阶拥慕Y(jié)構(gòu)相同或相似；然后根據(jù)其特征，構(gòu)造函數(shù)模型，將雙變量看作函數(shù)的兩個自變量；再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值，從而證明不等式成立.

二、指定主元

對于雙變量不等式問題，往往可根據(jù)已知條件和解題需求，指定其中一個變量為主元，根據(jù)兩變量之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于該主元的不等式問題來求解.通?？蓪⒁阎≈捣秶蛞阎P(guān)系式的變量指定為主元，通過研究主元的范圍、變化規(guī)律、最值來探究另一個變量的取值范圍.

雖然雙變量不等式問題較為復(fù)雜，但我們只要能根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造出同構(gòu)式，或結(jié)合題意指定合適的主元，便能將問題轉(zhuǎn)化為簡單的單變量單調(diào)性、最值問題，利用函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)來解題，快速求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省東臺中學(xué)）