郭茂彭

摘 要：基于化歸的數(shù)學(xué)思想方法，以“基本不等式”內(nèi)容為研究對(duì)象，通過“創(chuàng)設(shè)情境，引入新知；活用化歸，證明結(jié)論；例題鞏固，遷移內(nèi)化；歸納總結(jié)，概括思想”四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，在尊重學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，將化歸思想滲透到教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、探索、證明、理解、應(yīng)用、總結(jié)的過程，在親身實(shí)踐的過程中體悟化歸思想的優(yōu)勢(shì)，理解化歸思想的真諦，使得化歸思想得到有效的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：化歸思想；基本不等式；教學(xué)設(shè)計(jì)

化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的最一般方法.其基本思想是在解決復(fù)雜問題的過程中，將該問題轉(zhuǎn)化為比較熟悉的問題，借助自身知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)來解決，本質(zhì)是一種將未知轉(zhuǎn)化為已知，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的一種微觀的、隱性的數(shù)學(xué)思想方法，它往往蘊(yùn)含在知識(shí)生成和應(yīng)用的過程中.

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)知識(shí)本身固然重要，但其產(chǎn)生發(fā)展所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法也不能忽略.如果僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)而對(duì)于知識(shí)如何產(chǎn)生視而不見，那么對(duì)于長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是沒有幫助的.而教學(xué)作為知識(shí)傳授的最重要的途徑之一，自然會(huì)潛移默化地影響著學(xué)生化歸思想的培養(yǎng).因此在教學(xué)設(shè)計(jì)的過程中，時(shí)刻滲透化歸的思想顯得尤為重要.基于此，筆者聚焦于高中數(shù)學(xué)“基本不等式”這部分內(nèi)容，結(jié)合化歸的數(shù)學(xué)思想方法，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供合理方案.

1 基于化歸思想的教學(xué)設(shè)計(jì)思路

化歸思想蘊(yùn)含在知識(shí)生成和應(yīng)用的過程中.實(shí)際上，無論哪種數(shù)學(xué)思想方法，都不可能像數(shù)學(xué)知識(shí)和理論一樣，直接通過教師的講授讓學(xué)生理解.這個(gè)過程需要學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中自行感悟，因此針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)需要將化歸思想滲透在其中，讓學(xué)生切實(shí)感受到化歸思想給數(shù)學(xué)研究帶來的幫助.此外，教師在這個(gè)過程中需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯l(fā)和引導(dǎo)，在保證不破壞學(xué)生自然思維的情況下，盡可能地給予學(xué)生思維上的幫助.

以蘇教版教材為例，“基本不等式”這一節(jié)位于必修一第三章《不等式》的第二節(jié)，主要研究基本不等式證明以及將此式用于證明、最值問題，是理論與實(shí)際結(jié)合的一個(gè)重要案例，是貫穿整個(gè)高中代數(shù)內(nèi)容的一個(gè)重要基礎(chǔ).這節(jié)內(nèi)容一定程度上是不等關(guān)系和相等關(guān)系的應(yīng)用，也是系統(tǒng)學(xué)習(xí)不等式證明的一個(gè)基礎(chǔ)，基本不等式在證明其他不等式的過程中起到了重要的橋梁作用［1］，因此地位十分重要.如何證明和應(yīng)用基本不等式，是教學(xué)的重點(diǎn)；如何理解基本不等式的形成過程，是教學(xué)的難點(diǎn).因此，滲透化歸思想，將基本不等式轉(zhuǎn)化為學(xué)生比較熟悉的代數(shù)或幾何形式，更有助于學(xué)生深刻地理解本節(jié)內(nèi)容.

基于上述分析，結(jié)合國(guó)內(nèi)現(xiàn)行各版本教材，最終將教學(xué)設(shè)計(jì)分為如下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

圖形引入—證明結(jié)論—遷移內(nèi)化—?dú)w納總結(jié)

首先是情境引入環(huán)節(jié)，代數(shù)相較于幾何來說較為抽象，且學(xué)生習(xí)慣于從幾何圖形中抽象出一般結(jié)論，考慮到數(shù)形結(jié)合思想也是化歸思想的一種體現(xiàn)，因此選擇從幾何圖形進(jìn)行引入從直觀的幾何圖形歸納出代數(shù)結(jié)論，也符合現(xiàn)階段學(xué)生的認(rèn)知水平.抽象出代數(shù)結(jié)論后，此時(shí)就可以通過觀察代數(shù)形式，在教師進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)下，將陌生的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成學(xué)生比較熟悉的代數(shù)式或者幾何圖形，再結(jié)合所學(xué)知識(shí)對(duì)基本不等式進(jìn)行嚴(yán)格證明，這個(gè)過程中再次滲透了化歸的思想.得到結(jié)論后，學(xué)生通過習(xí)題進(jìn)行內(nèi)化，加深了對(duì)基本不等式的理解.最后進(jìn)行歸納總結(jié)，這部分不僅是對(duì)本節(jié)知識(shí)的總結(jié)，更是對(duì)化歸思想方法的總結(jié).

2 基于化歸思想的“基本不等式”教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

問題1：在初中學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了梯形和三角形中位線的概念.四邊形ABCD是一個(gè)以AB和CD為底的梯形（如圖1），AB=a，CD=b，不妨設(shè)a＜b，若取AC和BD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接EF，EF稱作為梯形ABCD的中位線，那么EF的長(zhǎng)度為多少？（可以利用三角形的中位線進(jìn)行思考）

【設(shè)計(jì)意圖】現(xiàn)階段學(xué)生沒有接觸函數(shù)最值的內(nèi)容，解決該類問題會(huì)遇到困難，因此將該陌生問題化歸為已經(jīng)學(xué)過的基本不等式的問題，深化了基本不等式的應(yīng)用范圍，體現(xiàn)了基本不等式在解決特定最值問題的便捷之處.先研究特殊情形，再研究一般情形，總結(jié)出基本不等式“和定積最大，積定和最小”的規(guī)律，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2.4 歸納總結(jié)，概括思想

問題6：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？是怎么進(jìn)行研究的？

問題7：研究問題的思路都是將未知的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為已知的內(nèi)容進(jìn)行解決，這實(shí)際上也是化歸思想的應(yīng)用，那么大家能否結(jié)合本節(jié)課的研究思路，對(duì)化歸思想的一般方法進(jìn)行描述？

問題8：基本不等式還能通過其他幾何圖形進(jìn)行證明嗎？請(qǐng)同學(xué)們課后探索.

【設(shè)計(jì)意圖】課堂總結(jié)首先需要先對(duì)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，從知識(shí)層面，學(xué)習(xí)了基本不等式的證明和應(yīng)用，接著對(duì)本節(jié)課的研究方法進(jìn)行總結(jié)，從方法層面，學(xué)習(xí)了化歸的數(shù)學(xué)思想.化歸思想有三個(gè)要素：未解決的問題（對(duì)象）、已解決的問題（目標(biāo)）、轉(zhuǎn)化的途徑（方法），關(guān)鍵是如何化歸［2］.化歸思想的本質(zhì)是把不易解決或未解決的問題轉(zhuǎn)化為易解決或已解決的問題，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題.師生共同概括化歸思想的一般方法，加深學(xué)生對(duì)于化歸思想的理解.最后，設(shè)置課后探索環(huán)節(jié)，使得學(xué)生能利用化歸的思想方法自行探索，拓展對(duì)于基本不等式的認(rèn)識(shí).

3 總結(jié)與結(jié)論

從形式上來看，基本不等式的難度并不大，但學(xué)生很難想到如何進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，或是基本不等式具有何種幾何背景.上述教學(xué)設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生從幾何情境中提煉數(shù)學(xué)信息，加深對(duì)于基本不等式公式的記憶，同時(shí)將陌生的公式化歸為已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)來證明，再根據(jù)習(xí)題進(jìn)行強(qiáng)化，最后總結(jié)歸納.按照這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、探索、證明、理解、應(yīng)用、總結(jié)的過程，有效培養(yǎng)的學(xué)生的化歸意識(shí)和推理能力.

化歸思想在數(shù)學(xué)的研究和學(xué)習(xí)中，有著不可撼動(dòng)的地位，很多知識(shí)產(chǎn)生的背后都滲透著化歸思想.化歸無疑是將問題簡(jiǎn)單化，用熟悉的知識(shí)去解決陌生的問題，但對(duì)于教師來說，教材上的所有知識(shí)都應(yīng)該是熟悉的，這就需要站在學(xué)生的角度去看問題，換位思考.在熟悉教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，著重思考如何借助學(xué)生熟悉的知識(shí)解釋那些對(duì)于學(xué)生來說陌生的知識(shí)，并將這個(gè)過程滲透在教學(xué)實(shí)踐的過程中，讓學(xué)生充分體悟化歸思想的優(yōu)勢(shì)，理解化歸思想的真諦，從而真正意義上教會(huì)學(xué)生如何學(xué)習(xí).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 易星星.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng) 落實(shí)課堂提質(zhì)增效——以“基本不等式”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（22）：2931.

［2］ 王燕榮，韓龍淑，屈俊.基于啟發(fā)式教學(xué)的數(shù)學(xué)思想教學(xué)設(shè)計(jì)——以“化歸思想”為例［J］.教學(xué)與管理，2015（1）：5759.