摘要 數(shù)學(xué)理解是表征數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部體系的結(jié)果。數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，是在直接感性基礎(chǔ)之上經(jīng)過學(xué)習(xí)者個體自我反思、加工而形成的，是個體對數(shù)學(xué)活動過程的重新認(rèn)識。小學(xué)數(shù)學(xué)理解需要在工具性、關(guān)系性、創(chuàng)造性和文化性四個方面進(jìn)行數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，促進(jìn)數(shù)學(xué)理解達(dá)成。

關(guān) ?鍵 ?詞 數(shù)學(xué)理解 數(shù)學(xué)經(jīng)驗 經(jīng)驗再生

引用格式 夏常明.小學(xué)數(shù)學(xué)理解教學(xué)中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生[J].教學(xué)與管理，2023（26）：42-43+64.

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)需要致力于發(fā)展學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。數(shù)學(xué)理解是對知識本質(zhì)的認(rèn)識，是表征數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部體系的結(jié)果?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（下稱《2022年版課標(biāo)》）指出，數(shù)學(xué)理解是指學(xué)生能夠描述對象的由來、內(nèi)涵和特征，闡述此對象與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系[1]。數(shù)學(xué)理解本質(zhì)上是一種綜合能力，學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成清晰的心智表征；遷移運用中，學(xué)生對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)建立清晰的表象認(rèn)知。小學(xué)數(shù)學(xué)理解包含工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解和文化性理解四個方面。[2]數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，是在直接感性基礎(chǔ)之上，經(jīng)過學(xué)習(xí)者個體自我反思、加工而形成，帶有明顯的再抽象、再加工痕跡，是個體對數(shù)學(xué)活動過程的重新認(rèn)識[3]。數(shù)學(xué)理解中的經(jīng)驗再生，就是學(xué)生經(jīng)歷工具性、關(guān)系性、創(chuàng)造性和文化性數(shù)學(xué)理解的過程。只有建立知識體系結(jié)構(gòu)，重視數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，才能發(fā)展數(shù)學(xué)理解，提升核心素養(yǎng)。

一、工具性理解中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生

工具性理解是學(xué)生依據(jù)已有經(jīng)驗，概括和歸納數(shù)學(xué)概念意義，描述概念特征，促進(jìn)生活經(jīng)驗與學(xué)習(xí)活動有效對接，形成數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生。小學(xué)生正處于知識傳承和模仿學(xué)習(xí)階段，已有經(jīng)驗是零星、模糊、生活的，甚至毫無數(shù)學(xué)意義，但這些正是開展工具性理解不可或缺的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生，不會憑空產(chǎn)生，而是具有一定的連貫性和方向性。教師要準(zhǔn)確地將學(xué)生已有經(jīng)驗與數(shù)學(xué)理解對接，以直觀形象的方式展現(xiàn)概念本質(zhì)，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，通過邏輯思維理解概念表征。工具性理解中的數(shù)學(xué)經(jīng)驗再生，為數(shù)學(xué)理解的更好發(fā)展提供了保證。

如教學(xué)“10的認(rèn)識”。師：哪個計數(shù)器表示出了10？生：第一個計數(shù)器，十位上的10顆珠子，表示10個十，沒有表示出10；生：第二個計數(shù)器，個位上10顆珠子，表示10個一，就是10；生：第三個計數(shù)器，十位上1顆珠子，表示1個十，個位上沒有珠子，就是0，與10一一對應(yīng)起來。師：如何表示比10更大的數(shù)？生：像計數(shù)小棒一樣，十個一捆，就在十位上畫一個，個位上珠子去掉，滿十進(jìn)一，也就是十進(jìn)制計數(shù)法；生：十位上1顆珠子表示1個十，10顆珠子表示10個十，根據(jù)滿十進(jìn)一，十位的左面需要有更大的計數(shù)單位；生：個位和十位上沒有珠子，百位上有1個珠子，表示1個百。

教師從學(xué)生已有知識經(jīng)驗出發(fā)，通過在計數(shù)器上畫珠子感受10的實際意義，引發(fā)學(xué)習(xí)心理需求。學(xué)生通過實物表征理解計數(shù)單位，嘗試擴展數(shù)的概念，經(jīng)歷從具象到抽象的數(shù)的認(rèn)識過程，再生數(shù)的本質(zhì)概念的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。此外，豐富學(xué)生數(shù)感的同時，再生由位值制構(gòu)成數(shù)的體系的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識的工具性理解過程，本質(zhì)上是數(shù)學(xué)經(jīng)驗的表征過程。

二、關(guān)系性理解中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生

關(guān)系性理解是學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)定義與公式進(jìn)行分析驗證，將數(shù)學(xué)知識與已有經(jīng)驗進(jìn)行邏輯聯(lián)結(jié)，關(guān)聯(lián)高級結(jié)構(gòu)形式，建構(gòu)完整知識體系。數(shù)學(xué)知識具有系統(tǒng)性和關(guān)聯(lián)性，同“質(zhì)”的數(shù)學(xué)知識，不同學(xué)段安排了層次不同的“量”[4]。隨著學(xué)段變化，學(xué)生逐步了解相關(guān)數(shù)學(xué)定義、公式及其推導(dǎo)過程，螺旋上升，掌握數(shù)量關(guān)系與圖形變化之間相互關(guān)聯(lián)，從而形成完整結(jié)構(gòu)體系。教師要引導(dǎo)學(xué)生處理好“質(zhì)”與“量”關(guān)系，立足大概念單元教學(xué)視角，把孤立“量”的知識點置于整體“質(zhì)”的數(shù)學(xué)體系中，從不同角度、不同層次建立邏輯聯(lián)結(jié)。數(shù)學(xué)知識不斷邏輯聯(lián)結(jié)的過程，也是數(shù)學(xué)經(jīng)驗拓展再生的過程，將進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

如教學(xué)“小數(shù)四則運算”。師：在小數(shù)乘法中，乘積的小數(shù)點是如何確定的？小數(shù)除法呢？生：7.8×5=（0.1×78）×（1×5）=（0.1×1）×（78×5），（0.1×1）得到新的計數(shù)單位0.1，（78×5）是計數(shù)單位0.1的個數(shù)；生：7.8×0.5=（0.1×78）×（0.1×5）=（0.1×0.1）×（78×5），（0.1×0.1）得到新的計數(shù)單位0.01，（78×5）是計數(shù)單位0.01的個數(shù)；生：小數(shù)乘法中，計數(shù)單位乘以計數(shù)單位，獲得新計數(shù)單位；個數(shù)乘以個數(shù)，獲得新的計數(shù)單位的個數(shù)；生：小數(shù)除法中，計數(shù)單位和計數(shù)單位相除，得到新的計數(shù)單位，個數(shù)和個數(shù)相除，得到新的計數(shù)單位個數(shù)；生：小數(shù)加減法和小數(shù)乘除法運算形式不同，算理相同。

《2022年版課標(biāo)》指出：數(shù)的運算教學(xué)要注重對整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運算的統(tǒng)籌，從整體上理解和掌握運算的算理和算法，認(rèn)識計算方法的共性與差異。小數(shù)四則運算具有“質(zhì)”的關(guān)聯(lián)性：相同計數(shù)單位個數(shù)的運算、加減乘除之間存在關(guān)聯(lián)。學(xué)生建立“數(shù)與運算”一致性感悟是“量”的漸進(jìn)過程，并再生算法與算理統(tǒng)整融合的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。在“數(shù)與運算”的“質(zhì)”與“量”的螺旋上升中，學(xué)生達(dá)到小數(shù)與整數(shù)四則運算關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平，形成關(guān)系性數(shù)學(xué)理解目標(biāo)。

三、創(chuàng)造性理解中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生

創(chuàng)造性理解是學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)經(jīng)驗運用于不同情境下的數(shù)學(xué)問題，提出新假設(shè)，進(jìn)行新驗證，學(xué)會舉一反三，解決復(fù)雜問題。創(chuàng)造性理解能夠引起數(shù)學(xué)經(jīng)驗的變化和更新，改進(jìn)和產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)展。創(chuàng)造性理解具有創(chuàng)新特征，僅憑單純記憶和機械模仿很難實現(xiàn)，需要將表面混亂無序的數(shù)學(xué)知識與已有經(jīng)驗創(chuàng)新關(guān)聯(lián)，揭示彼此之間本質(zhì)特征，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)新理解。在創(chuàng)造性理解中學(xué)生能夠主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提出系列假設(shè)驗證，歸納總結(jié)內(nèi)在關(guān)聯(lián)，建立科學(xué)數(shù)學(xué)模型，再生解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，感悟到創(chuàng)造性理解的內(nèi)在價值。

如教學(xué)“真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)”。生：真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)是表示相對意義的量，假分?jǐn)?shù)是針對真分?jǐn)?shù)來說的，表示分?jǐn)?shù)有兩種不同意義；生：分子等于分母的分?jǐn)?shù)，結(jié)果等于1，應(yīng)該屬于真分?jǐn)?shù)，不屬于假分?jǐn)?shù)；師：假分?jǐn)?shù)假在哪里呢？生：真分?jǐn)?shù)是根本，假分?jǐn)?shù)是帶著整數(shù)的真分?jǐn)?shù)，如果去掉整數(shù)部分，剩下的就是真分?jǐn)?shù)；生：小數(shù)中，純小數(shù)和真分?jǐn)?shù)一一對應(yīng)。0.9999999……是純小數(shù)，但0.9999999……結(jié)果等于1，說明分子等于分母的分?jǐn)?shù)應(yīng)該屬于真分?jǐn)?shù)；生：自然數(shù)中，0是特殊的自然數(shù)，那么， 應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，相對應(yīng)的 ?也應(yīng)該是真分?jǐn)?shù)，因為 ?和 ?是一種特殊的真分?jǐn)?shù)。

如果只是讓學(xué)生機械區(qū)分“分子比分母小的分?jǐn)?shù)是真分?jǐn)?shù)，分子比分母大或相等的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)”，就是將學(xué)習(xí)停留在模仿階段，沒有深入地創(chuàng)造性理解。針對“分子等于分母的分?jǐn)?shù)是不是真分?jǐn)?shù)”這一問題，學(xué)生以原有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，綜合運用分?jǐn)?shù)意義、分?jǐn)?shù)單位、極限思想，創(chuàng)造性地對分?jǐn)?shù)分類進(jìn)行邏輯驗證，創(chuàng)新呈現(xiàn)問題成果。學(xué)生對0.9999999……是純小數(shù)，結(jié)果等于1進(jìn)行驗證，再生由小數(shù)分類將分?jǐn)?shù)重新分類的數(shù)學(xué)經(jīng)驗；運用0是特殊自然數(shù)，論證分子與分母相等的分?jǐn)?shù)是特殊的真分?jǐn)?shù)，再生由辯證統(tǒng)一將分?jǐn)?shù)重新分類的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。學(xué)生創(chuàng)造性理解分?jǐn)?shù)本質(zhì)，重新建構(gòu)真假分?jǐn)?shù)概念，再生數(shù)學(xué)經(jīng)驗，深化思維品質(zhì)。

四、文化性理解中數(shù)學(xué)經(jīng)驗的再生

文化性理解是超越知識認(rèn)知與常規(guī)技能層面的掌握運用，深刻領(lǐng)悟到知識背后的理性數(shù)學(xué)精神和人類文化，是數(shù)學(xué)理解的最高目標(biāo)。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，不僅要關(guān)注數(shù)學(xué)知識與方法技能的獲取，還要關(guān)注情感態(tài)度、人文理解、問題解決和實際運用的同步發(fā)展。

（下轉(zhuǎn)第64頁）

（上接第43頁）

文化性理解水平高的學(xué)生，能夠感受人類文化對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動產(chǎn)生的影響，在追求數(shù)學(xué)理性精神和科學(xué)思維的過程中加深人文理解。學(xué)生感受人文精神的同時，再生文化性理解經(jīng)驗，提升核心素養(yǎng)發(fā)展水平。

如教學(xué)“乘法計算”。師：如何進(jìn)行乘法計算？生：列豎式計算，進(jìn)位數(shù)字和退位數(shù)字都能夠參與計算，要求從低位算起；生：畫線乘法，用交叉線交點的個數(shù)來表示結(jié)果；生：鋪地錦方法，處于同一條斜線上的數(shù)字可以直接相加減。師：不一樣的方法，各有什么特點？生：畫線算法直觀簡便，當(dāng)數(shù)字比較大的時候，得畫多條線，比較麻煩；生：鋪地錦的計算過程可以從低位開始，也可以從高位開始；生：列豎式只能從低位開始乘起；生：三種計算方法都是采用同位數(shù)相加的方法；生：畫線法和鋪地錦方法都可以從高位乘起，很容易在進(jìn)位退位時出錯，所以豎式計算統(tǒng)一采用從低位算起。

基于數(shù)學(xué)問題情境，教師引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動已有經(jīng)驗，觸發(fā)理性思維，再生數(shù)學(xué)經(jīng)驗，為文化性理解做好準(zhǔn)備。乘法計算中，豎式計算是常用方法，畫線和鋪地錦方法是原型。在古今方法比較中，學(xué)生再生不同計算方法具有相同算理的數(shù)學(xué)經(jīng)驗；在特征關(guān)聯(lián)中，學(xué)生再生豎式計算與畫線和鋪地錦一脈相承的數(shù)學(xué)經(jīng)驗。針對乘法計算的巧妙創(chuàng)設(shè)，鼓勵學(xué)生文化性理解，從中關(guān)聯(lián)算理特征，實現(xiàn)理性思維經(jīng)驗的再生，保證文化性理解能夠順利進(jìn)行。

綜上所述，學(xué)生經(jīng)歷工具性理解、關(guān)系性理解、創(chuàng)造性理解和文化性理解，在感性基礎(chǔ)之上，對數(shù)學(xué)經(jīng)驗進(jìn)行再抽象、再加工，實現(xiàn)個體對數(shù)學(xué)活動過程的重新認(rèn)識。同時，學(xué)生依據(jù)已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗，針對現(xiàn)實生活中的實際問題，進(jìn)行合理解釋、證明、推理和遷移，實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的具體應(yīng)用，達(dá)成數(shù)學(xué)理解目標(biāo)，促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展。

參考文獻(xiàn)

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［責(zé)任編輯：陳國慶］