【摘 要】初中階段的代數(shù)推理能力培養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)自然地蘊(yùn)含于“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中．具體教學(xué)時(shí)要為學(xué)生提供五類學(xué)習(xí)支架，即由遠(yuǎn)及近提供心理支持，由表及里促進(jìn)語(yǔ)言表達(dá)，由小見大增進(jìn)規(guī)則理解，由此及彼熟化形式操作，由博返約完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)等．實(shí)施前后連貫、扶放有度的代數(shù)推理教學(xué)，能減少學(xué)生不必要的心理負(fù)擔(dān)與認(rèn)知障礙，對(duì)提高代數(shù)推理教學(xué)實(shí)效有積極意義．

【關(guān)鍵詞】代數(shù)推理;推理能力;認(rèn)知規(guī)律

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)（2022版）》）指出“課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)代數(shù)推理”．由于對(duì)代數(shù)推理能力的培養(yǎng)機(jī)制缺乏洞察力，一些教師把加強(qiáng)代數(shù)推理等同于加強(qiáng)代數(shù)難題訓(xùn)練，或者刻意去構(gòu)建一些高于教學(xué)要求的代數(shù)結(jié)論．在學(xué)生的心理基礎(chǔ)、知識(shí)儲(chǔ)備、推理意識(shí)不足的情況下，這些做法無(wú)疑是本末倒置的．初中階段重視代數(shù)推理教學(xué)，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”板塊的日常教學(xué)中．

1 典例分析

由于代數(shù)推理問(wèn)題本身沒有一個(gè)清晰的邊界，我們不妨基于“家族相似性”來(lái)把握這一概念，考察《課標(biāo)（2022版）》中給出的代數(shù)推理典型例題：

例66：（1）設(shè)abcd是一個(gè)四位數(shù)，若a+b+c+d可以被3整除，則這個(gè)數(shù)可以被3整除．

此題是一個(gè)假言命題推理，需用演繹的方法論證，過(guò)程表述如下：abcd=1000a+100b+10c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），顯然（999a+99b+9c）能被3整除，因此，如果（a+b+c+d）能被3整除，那么abcd就能被3整除．

盡管上述例題及論證過(guò)程對(duì)代數(shù)推理的要求是初步的，但是反映了思維的一般過(guò)程，若抽去具體內(nèi)容后可概括為圖1，顯然學(xué)生需要在符號(hào)表征、形式推理和形成解釋三個(gè)方面突破．與之對(duì)應(yīng)便形成三個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，即適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)形式、合理的推理方式以及學(xué)生認(rèn)知或概念范圍內(nèi)的命題集合．

代數(shù)推理教學(xué)應(yīng)避免讓過(guò)早的形式化成為學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙．但是，代數(shù)推理離不開形式化，數(shù)學(xué)的概念、規(guī)則、原理等各方面都可以加以形式化地描述，許多代數(shù)推理問(wèn)題本身就是一種形式操作．因此，結(jié)合代數(shù)推理本身的特點(diǎn)，從學(xué)生的認(rèn)知角度進(jìn)一步探尋相應(yīng)的學(xué)習(xí)支架尤為重要．

2 學(xué)習(xí)支架分析

鮑建生、章建躍指出“與幾何推理相比，代數(shù)推理比較抽象，也不夠系統(tǒng)，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)該量力而為.”^［1］這里的“量力而為”即量學(xué)生之力而為，只有關(guān)注學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，才能為學(xué)生作出有益的反思．筆者在教學(xué)實(shí)踐中提出，應(yīng)從心理支持、語(yǔ)言表達(dá)、規(guī)則理解、形式操作、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等五個(gè)方面為學(xué)生提供連貫式學(xué)習(xí)支架（如圖2），供同行批評(píng)指正．

圖2

2.1 心理支持，由遠(yuǎn)及近

皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論表明兒童十一歲到十二歲是開始形成形式運(yùn)演階段，林崇德的研究也證實(shí)八年級(jí)是學(xué)生抽象邏輯思維的質(zhì)變時(shí)期．因此，學(xué)生在七年級(jí)從算術(shù)思維過(guò)渡到代數(shù)思維時(shí)存在較大個(gè)體差異．要消除代數(shù)推理的神秘感，讓學(xué)生敢于進(jìn)行代數(shù)推理，首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“符號(hào)化是迄今人類對(duì)信息的最強(qiáng)有力的壓縮加工方式，信息的符號(hào)化也是推理的必要條件”^［2］．從心理支持上說(shuō)，這是一個(gè)由遠(yuǎn)及近的過(guò)程．

例如，在整個(gè)初中階段的“方程”教學(xué)中，可將人類對(duì)未知量不懈探索的歷史與文化貫穿其中，為學(xué)生提供豐富的情感支架．七年級(jí)“一元一次方程”起始課可介紹“萊因德紙草書”中的數(shù)學(xué)問(wèn)題：一位叫阿姆士（約公元前1680－前1620）的古埃及抄寫員記錄了這樣一個(gè)問(wèn)題：“一個(gè)量加上自身的四分之一等于15”，用現(xiàn)代記法寫出來(lái)，就是已知x＋14x=15，求未知數(shù)x．阿姆士處在代數(shù)萌芽的階段，他當(dāng)時(shí)使用了試錯(cuò)法求解．學(xué)生通過(guò)比較當(dāng)時(shí)的方法和現(xiàn)在的方法可以獲得這樣的感悟：一是試錯(cuò)法求解的效率太低了，二是人類文明的進(jìn)步來(lái)之不易．事實(shí)上，代數(shù)學(xué)在起源階段與解方程同義．這樣的教學(xué)可以改變學(xué)生對(duì)“方程”無(wú)感的心向，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心．

有經(jīng)驗(yàn)的教師在教學(xué)中善用隱喻，以幫助溝通學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)．現(xiàn)代認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)認(rèn)為隱喻不只是一種語(yǔ)言現(xiàn)象，而是人類認(rèn)知和建構(gòu)世界的思維方式．這也是情緒情感上由遠(yuǎn)及近教學(xué)策略的體現(xiàn)．

2.2 語(yǔ)言表達(dá)，由表及里

《課標(biāo)（2022版）》指出“數(shù)與式”是代數(shù)的基本語(yǔ)言．語(yǔ)言和思維密不可分，加強(qiáng)語(yǔ)言表征能力是開展代數(shù)推理的思維前提．維果斯基把語(yǔ)言的發(fā)展分為連續(xù)發(fā)展的三個(gè)階段，分別是外部語(yǔ)言階段、自我中心語(yǔ)言階段和內(nèi)部語(yǔ)言階段，學(xué)生在代數(shù)語(yǔ)言的習(xí)得過(guò)程中同樣會(huì)經(jīng)歷這三個(gè)階段．學(xué)生處于自我中心語(yǔ)言階段時(shí)，會(huì)使用與教師所說(shuō)的相似的指導(dǎo)語(yǔ)言來(lái)控制和調(diào)節(jié)自己的行為，這個(gè)細(xì)節(jié)是教師在日常教學(xué)中容易忽視的．教師應(yīng)示范如何分析特定語(yǔ)句的數(shù)學(xué)意義，準(zhǔn)確把握語(yǔ)句之間的關(guān)系，從而用對(duì)等的符號(hào)語(yǔ)言再現(xiàn)原語(yǔ)的信息．隨著經(jīng)驗(yàn)的增長(zhǎng)，學(xué)生進(jìn)入內(nèi)部語(yǔ)言階段，對(duì)自己說(shuō)話越來(lái)越簡(jiǎn)化．當(dāng)自然語(yǔ)言退到幕后，符號(hào)語(yǔ)言從表層結(jié)構(gòu)逐步過(guò)渡到深層結(jié)構(gòu)，例如：

1.任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)都可以比較大?。?/p>

2.任意兩個(gè)有理數(shù)a，b，如果a≠b，則a大于b或a小于b，二者必居其一．

3.任意兩個(gè)有理數(shù)a，b，如果a－b＞0，則a＞b；如果a－b＜0，則a＜b．

……

當(dāng)符號(hào)語(yǔ)言遞進(jìn)發(fā)展到一定高度后，可出示下列問(wèn)題：如何說(shuō)明在任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)之間存在無(wú)數(shù)個(gè)有理數(shù)（即有理數(shù)的稠密性）？

推理中的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化流程見表1.

2.3 規(guī)則理解，由小見大

推理離不開規(guī)則，代數(shù)推理的規(guī)則包括書寫規(guī)則、運(yùn)算規(guī)則、邏輯規(guī)則等，規(guī)則為直覺性越來(lái)越少的理論提供基礎(chǔ)．規(guī)則上由小見大，是指在教學(xué)中不把目光僅僅盯在規(guī)則的運(yùn)用上，能為學(xué)生揭示數(shù)學(xué)符號(hào)的優(yōu)美以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想，否則只是用了推理，但并未研究推理．正如袁隆平院士在回憶錄中所述，他上學(xué)時(shí)不理解“負(fù)負(fù)得正”，老師說(shuō)只要記住結(jié)論就行了，從此給袁隆平留下“數(shù)學(xué)不講理”的印象．其實(shí)，要讓學(xué)生體會(huì)到“負(fù)負(fù)得正”法則的合理性，可從歸納法或者運(yùn)算系統(tǒng)的自洽性等角度來(lái)啟發(fā)學(xué)生思考，即便是一句“敵人的敵人就是朋友”也能給人啟迪．規(guī)則的理解有時(shí)需要幫助學(xué)生“開腦洞”，讓學(xué)生思考“如果不這樣，會(huì)怎樣？”體現(xiàn)由小見大的策略．

例如，在學(xué)習(xí)乘法公式時(shí)，為了防止學(xué)生發(fā)生混淆，教師往往采用大運(yùn)動(dòng)的機(jī)械訓(xùn)練，效果并不理想．不妨設(shè)計(jì)下列問(wèn)題：你認(rèn)為式子（a－b）²=a²－b²成立嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．學(xué)生在教師的鼓勵(lì)下，會(huì)從各種角度去思考不一定成立的理由．如：（1）代入具體數(shù)字，舉出反例；（2）畫出圖形，發(fā)現(xiàn)面積不等；（3）直接對(duì)等式左邊進(jìn)行計(jì)算；（4）等式左邊a，b交換位置后值不變，即式子具有對(duì)稱性，而等式右邊的式子不具有對(duì)稱性；（5）將等式右邊因式分解，可以推出等式成立的條件是“a=b或b=0”．實(shí)質(zhì)上，（a－b）²=a²－b²作為一個(gè)等式本身并無(wú)正誤之分，只不過(guò)這是一個(gè)條件等式，不具有普遍性，因此不能作為公式使用．可見規(guī)則雖小，內(nèi)涵不?。谝?guī)則理解上小中見大，規(guī)則本身也能成為代數(shù)推理的素材．

我們觀察到，七年級(jí)學(xué)生在解決“P→Q”與“Q→P”時(shí)，書寫過(guò)程往往不加以區(qū)別．可見，學(xué)生的“自然”思維與形式化的程序之間常常是背道而馳的．教學(xué)時(shí)首先要引導(dǎo)學(xué)生全面地分析條件和結(jié)論之間的關(guān)系，建立推理的基本形式和規(guī)范．

2.4 形式操作，由此及彼

形式操作是代數(shù)推理能力的核心．形式操作上由此及彼，是指教學(xué)中應(yīng)注重層次性．從代數(shù)推理能力的外在表現(xiàn)看，在理解水平上，學(xué)生總是小心翼翼地模仿，避免在抽象世界里犯錯(cuò)，由于同類的形式操作，如因式分解、待定系數(shù)法、代入消元法等，有著相同的結(jié)構(gòu)和程序，這些操作能很快進(jìn)入平淡的、不假思索的自動(dòng)化階段；在遷移水平上，學(xué)生需要在不熟悉的情境中喚醒各種操作程序，并加以選擇性使用；如果各種常規(guī)程序都不能解決問(wèn)題，學(xué)生能自主創(chuàng)造出新的操作模式，可以認(rèn)為其已經(jīng)具有了創(chuàng)新能力．

筆者為了考察本校七年級(jí)學(xué)生形式操作能力，連續(xù)兩周分別設(shè)計(jì)了下列試題進(jìn)行測(cè)試：

問(wèn)題1：小敏認(rèn)為，對(duì)于六位數(shù)abcdef（其中a，b，c，d，e，f均為不超過(guò)9的自然數(shù)，且ad≠0），如果abc與def的差能被7整除，那么這個(gè)數(shù)就能被7整除．你認(rèn)為小敏的結(jié)論正確嗎？若正確，請(qǐng)給出證明；不正確，請(qǐng)舉出反例．

簡(jiǎn)答：設(shè)abc－def=7k（k是整數(shù)），則def=abc－7k．

因此，abcdef=1000abc+def=1000abc+abc－7k=1001abc-7k=7（143abc－k），故得證．

問(wèn)題2：小紅認(rèn)為，對(duì)于六位數(shù)abcdef（其中a，b，c，d，e，f均為不超過(guò)9的自然數(shù)，且a≠0），如果（a+c+e）與（b+d+f）的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)就能被11整除．你認(rèn)為小紅的結(jié)論正確嗎？若正確，請(qǐng)給出證明；不正確，請(qǐng)舉出反例．（簡(jiǎn)答略）

兩道試題的得分率分別是42.6%和47.9%，這表明，學(xué)生的形式操作能力很難在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)訓(xùn)練獲得實(shí)質(zhì)提升．正如弗萊登塔爾所提倡的“與其學(xué)習(xí)形式化的數(shù)學(xué)，不如學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式化．”在形式操作訓(xùn)練上，既要采用“形同質(zhì)同”的推理問(wèn)題，讓學(xué)生在歸納與類比中獲得基本經(jīng)驗(yàn)，也要設(shè)計(jì)“形同質(zhì)異”的問(wèn)題，防止學(xué)生出現(xiàn)盲目類比、思維固化．

2.5 認(rèn)知結(jié)構(gòu)，由博返約

盡管學(xué)生在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，處處離不開代數(shù)推理，但是未必能獲得對(duì)代數(shù)推理的整體認(rèn)識(shí)．因此，《課標(biāo)（2022版）》提出要“了解代數(shù)推理”，這對(duì)健全學(xué)生有邏輯、有結(jié)構(gòu)、有體系的推理知識(shí)很有必要．認(rèn)知結(jié)構(gòu)上由博返約是指在學(xué)生在獲得了大量代數(shù)推理的具體經(jīng)驗(yàn)之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其進(jìn)行綜合、歸納，并形成基本的原理、原則和方法，用少量的觀念性的知識(shí)對(duì)后續(xù)的代數(shù)推理活動(dòng)起到統(tǒng)領(lǐng)作用．

了解代數(shù)推理，包括了解推理的共性特征和代數(shù)推理的具體特征．首先，教學(xué)中應(yīng)設(shè)計(jì)不同類型的推理活動(dòng)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到演繹推理是必然性推理，歸納推理和類比推理有可能是必然推理也有可能是似然推理．歸納和類比是獲得新的猜想和結(jié)論的主要途徑．對(duì)簡(jiǎn)單的形式邏輯有初步感知，理解論證全稱命題和特稱命題時(shí)中所運(yùn)用推理方式的區(qū)別.其次，要培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，理解運(yùn)用符號(hào)運(yùn)算進(jìn)行推理所獲得的結(jié)果具有一般性．不孤立地教授各種代數(shù)方法，而要揭示它們之間的聯(lián)系，如數(shù)系通性在代數(shù)運(yùn)算中所具有的“靈魂”作用，代數(shù)中的等價(jià)類，不同代數(shù)方法背后所共有的數(shù)學(xué)思想等.最后，還要鼓勵(lì)學(xué)生去理解、解釋自己或他人的代數(shù)推理過(guò)程，學(xué)會(huì)判斷一個(gè)推理是否存在邏輯錯(cuò)誤，推理過(guò)程是否需要優(yōu)化，逐步形成邏輯表達(dá)與交流的習(xí)慣．

3 結(jié)束語(yǔ)

上述五類學(xué)習(xí)支架為學(xué)生代數(shù)推理能力的養(yǎng)成提供了相對(duì)完整的支持作用，實(shí)踐表明教師的示證階段不可跳過(guò)．通過(guò)對(duì)代數(shù)推理的教學(xué)研究，可以更好地理解學(xué)生的推理能力是如何發(fā)展的．提倡運(yùn)用教育現(xiàn)象學(xué)的方法，去關(guān)注我們的教育生活體驗(yàn)，看學(xué)生對(duì)推理過(guò)程有沒有信心，在推理過(guò)程中有沒有理性精神涌現(xiàn)，讓代數(shù)推理教學(xué)研究體現(xiàn)鮮明的實(shí)踐性、濃郁的人文性、至高的規(guī)范性、強(qiáng)烈的反思性，為提升學(xué)生核心素養(yǎng)作出有益探索.

參考文獻(xiàn)

［1］鮑建生，章建躍.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段的主要表現(xiàn)之五：推理能力［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（19）：3-11.

［2］張廣祥，張奠宙.代數(shù)教學(xué)中的模式直觀［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2006（01）：1－4.

作者簡(jiǎn)介 呂小兵（1981— ），男，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事初中數(shù)學(xué)教育研究工作．