充分條件、必要條件判斷的五個(gè)途徑

■顧 艷

充分條件、必要條件的判斷與應(yīng)用貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終,是高中數(shù)學(xué)中最基本的內(nèi)容之一。下面結(jié)合實(shí)例,就充分條件、必要條件的常見判斷技巧與方法加以剖析,意在“拋磚引玉”。

一、特值法

特值法判斷充分、必要條件時(shí),直接通過特殊值的選取,代入分析與判斷。特值法的關(guān)鍵是起到篩選作用,利用特殊值來確定不成立問題,由此判斷命題之間的推不出關(guān)系。

例1設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“a＞b”是“a2＞b2”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：直接選取特殊值判斷,進(jìn)而確定命題成立的條件。

解：當(dāng)a＞b時(shí),如a=0,b=-1,a2＞b2不成立;反之,當(dāng)a2＞b2時(shí),如a=-1,b=0,a＞b不成立。所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件。應(yīng)選D。

由于特值法判斷充分、必要條件的片面性和局限性,經(jīng)常用于判斷命題不成立時(shí)的情況,而命題成立時(shí)就不能用特值法了。

二、定義法

定義法判斷充分、必要條件時(shí),直接判斷“若p,則q”和“若q,則p”的真假情況即可。定義法的關(guān)鍵是看由條件推出結(jié)論,還是由結(jié)論推出條件,還是互相推出。

例2(多選題)下列結(jié)論中正確的是( )。

A.“x2＞4”是“x＜-2”的必要不充分條件

B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件

C.若a,b∈R,則“a2+b2≠0”是“a,b不全為0”的充要條件

D.“x為無理數(shù)”是“x2為無理數(shù)”的必要不充分條件

分析：通過不等式的求解、三角形的形狀的判斷、代數(shù)關(guān)系式的值,以及數(shù)的性質(zhì)特征等,結(jié)合充分、必要條件的定義,進(jìn)而確定結(jié)論的正確性。

解：A 中,x＜-2?x2＞4,但x2＞4?x＞2或x＜-2,不一定只有x＜-2,A 正確。B中,AB2+AC2=BC2?△ABC為直角三角形,反之,若△ABC為直角三角形,當(dāng)B或C為直角時(shí),不能推出AB2+AC2=BC2,B錯(cuò)誤。C中,a2+b2≠0?a,b不全為0,反之,由a,b不全為0?a2+b2≠0,C 正確。D 中,當(dāng)x2為無理數(shù)時(shí),x為無理數(shù),反之不成立,D 正確。應(yīng)選ACD。

定義法判斷充分、必要條件的本質(zhì)就是判斷兩個(gè)命題之間的推出關(guān)系。

三、集合法

集合法判斷充分、必要條件,就是利用命題中對應(yīng)集合的包含關(guān)系來分析與求解的。集合法的本質(zhì)是回歸命題的集合本源,借助所對應(yīng)的集合加以轉(zhuǎn)化求解。

例3設(shè)U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：利用集合法的思維切入,結(jié)合集合性質(zhì)進(jìn)行正向推理判斷,再利用集合中的Venn圖,進(jìn)行逆向推理判斷。

解：若存在集合C使得A?C,B??UC,則可以推出A∩B=?。

若A∩B=?,由Venn 圖(如圖1)可知,存在A=C,同時(shí)滿足A?C,B??UC。

圖1

所以“存在集合C使得A?C,B??UC”是“A∩B=?”的充要條件。應(yīng)選C。

集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},若A?B,則p是q的充分條件;若A?B,則p是q的必要條件;若A=B,則p是q的充要條件;若AB,則p是q的充分不必要條件;若AB,則p是q的必要不充分條件。

四、等價(jià)法

等價(jià)法判斷充分、必要條件,就是利用原命題與其對應(yīng)的逆否命題的等價(jià)關(guān)系來分析與求解的。

例4給定兩個(gè)條件p,q,若?p是q的必要不充分條件,則p是?q的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：利用“?p是q的必要不充分條件”無法直接判斷,通過對逆否命題的判斷,結(jié)合等價(jià)關(guān)系可使問題迎刃而解。

解：因?yàn)?p是q的必要不充分條件,所以q??p,但?p?/q。其逆否命題為p??q,但?q?/p。所以p是?q的充分不必要條件。應(yīng)選A。

等價(jià)法判斷充分、必要條件的本質(zhì)就是建立原命題與其逆否命題之間的關(guān)系,即從逆向思維進(jìn)行分析與判斷。p是q的充分不必要條件(必要不充分條件、充要條件),等價(jià)于?q是?p的充分不必要條件(必要不充分條件、充要條件)。

五、傳遞法

傳遞法判斷充分、必要條件,就是利用充分、必要條件具有傳遞性,即由p1?p2?…?pn,可得p1?pn。傳遞法是判斷含有三個(gè)及以上命題之間的關(guān)系時(shí)必須采用的一種基本方法。

例5已知p是r的充分不必要條件,s是r的必要條件,q是s的必要條件,那么p是q成立的( )。

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

分析：通過命題p、q、r、s之間的遞推關(guān)系,結(jié)合傳遞性,可得p與q之間的遞推關(guān)系。

解：依題意得p?r,r?s,s?q,且r?/p,結(jié)合傳遞性得p?r?s?q。因?yàn)閞?/p,所以q?/p,所以p是q成立的充分而不必要條件。應(yīng)選A。

若p是q的充分(必要)條件,q是r的充分(必要)條件,則p是r的充分(必要)條件,即“p?q且q?r”,所以“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)。傳遞法判斷充分、必要條件時(shí),要正確構(gòu)建命題間的鏈接,同時(shí)考慮相互之間是否等價(jià)。

設(shè)甲是乙的必要條件,丙是乙的充分但不必要條件,那么( )。

A.丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件

B.丙是甲的必要條件,但不是甲的充分條件

C.丙是甲的充要條件

D.丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件

提示:甲是乙的必要條件,所以乙是甲的充分條件,即乙?甲。丙是乙的充分但不必要條件,則丙?乙,乙?/丙,顯然丙?甲,甲?/丙,即丙是甲的充分條件,但不是甲的必要條件。應(yīng)選A。