張麗惠

多元最值問題通常較為復雜，這類問題中往往涉及了多個變量，無法直接利用函數(shù)的性質(zhì)求得最值，需充分利用題目中關(guān)于變量的關(guān)系式進行合理的轉(zhuǎn)化、變形、構(gòu)造，從而求得最值.下面就以一道多元最值問題為例，談一談解答此類問題的措施.

例題：若實數(shù) a，b，c 滿足 a+b+c=0，a 2 +b 2 +c 2 =1，求 a 的最大值.

解答本題，需先將已知關(guān)系式和所求目標式關(guān)聯(lián)起來，將已知關(guān)系式進行合理的變形、轉(zhuǎn)化、構(gòu)造，主要有以下幾種解法.

一、利用基本不等式

二、利用函數(shù)思想

運用函數(shù)思想解答多元最值問題，需將多元變量中的一個看作函數(shù)的自變量，把不等式、等式看作函數(shù)式.然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值，從而求得問題的答案.在利用函數(shù)思想解題時，要先根據(jù)已知條件和代數(shù)式的意義來確定函數(shù)的定義域.

三、利用判別式法

判別式法是解答二次最值問題的重要工具.在求解多元二次最值問題時，可先選取其中一個變量為主元，構(gòu)造一元二次方程；然后根據(jù)方程有解，建立關(guān)于判別式的不等式，即 Δ≥0 ；解該不等式即可解題.利用判別式法解答最值問題，能轉(zhuǎn)換解題的思路，大大減少運算量.

四、三角代換

三角代換法是求解二元最值問題的重要方法.在求解多元最值問題時，可選取其中兩個變量用三角函數(shù)替換，進而將目標式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求最值.通常可根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin 2 θ+cos 2 θ=1 將變量進行替換.

由此可見，無論是運用哪種方法求多元最值，都需注意以下幾點：（1）將代數(shù)式進行合理的變形；（2）進行合理的消元，以減少變量的個數(shù)；（3）將問題與函數(shù)、方程、不等式等關(guān)聯(lián)起來，運用這些知識解題；（4）靈活運用數(shù)學思想，如函數(shù)思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想等.

（作者單位：福建省漳州市龍文區(qū)龍文中學）