“問題提出”引領(lǐng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)探微
——以“多邊形的面積”單元教學(xué)為例

吳琪芳

(南安市詩山中心小學(xué)，福建 南安 362300)

一、兩種數(shù)學(xué)課堂形態(tài)的審思

“靜悄悄的課堂”向來是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的日常典型現(xiàn)象，研究者們從教學(xué)文化、教師行為、學(xué)生心理等方面作出了歸因解釋。筆者根據(jù)長期的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為也可從學(xué)習(xí)認(rèn)知的角度予以理解。數(shù)學(xué)教育于學(xué)生而言，既是一種“計(jì)算”也是一種“理解”，但是學(xué)生們長期以來囿于教師的教育教學(xué)理念，往往更重視計(jì)算公式的獲得與應(yīng)用，對(duì)于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)理解則盲人摸象、渾然無感。如在《多邊形的面積》教學(xué)中，學(xué)生們往往能做好通過公式的套用而“應(yīng)答”各類題目，但是對(duì)于面積守恒、過程性推導(dǎo)、用已知解決未知的數(shù)學(xué)思想則一片混沌。于是就有了“不教也會(huì)”的倦怠式沉默與“教也不會(huì)”的茍安式沉默。這兩種沉默形態(tài)使得數(shù)學(xué)課堂進(jìn)入學(xué)生思維與心理深度缺位的學(xué)習(xí)樣態(tài)。

“鬧哄哄的課堂”則是近年來在踐行新課改精神背景下的異化現(xiàn)象。為了糾偏“一言堂”現(xiàn)象，還學(xué)生以主體學(xué)習(xí)之姿，遂在學(xué)生的學(xué)習(xí)方式上作了多方面調(diào)適。但是，有的課堂為了彰顯教師的“啟發(fā)性”，于是就設(shè)計(jì)了一系列雜亂而淺層次的問題“滿堂問”，問得學(xué)生興高采烈卻學(xué)無所得?；蛘呤菫榱苏宫F(xiàn)學(xué)生的“合作性”，于是各種課堂學(xué)習(xí)小組、學(xué)習(xí)討論嘩然而起，但是小組內(nèi)部討論的學(xué)科性、思維性則明顯缺失。這種缺乏有效問題引領(lǐng)與真實(shí)思考的課堂教學(xué)，看似一片“生機(jī)”，實(shí)質(zhì)上學(xué)生們往往陷入偽參與、假學(xué)習(xí)的困境。教師雖然應(yīng)拒絕消極沉默的課堂，但是數(shù)學(xué)課堂又是高度要求學(xué)生們能有效性傾聽、沉浸式思考、反思性分析的。鬧哄哄的課堂有可能在喧囂中讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維滑入庸劣。

二、“問題提出”引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間探視

那么，如何處理好其中的動(dòng)靜辯證關(guān)系，使得“靜悄悄的課堂”從消極沉默走向深度參與，使得“鬧哄哄的課堂”從淺虛浮松走向深實(shí)篤厚？筆者認(rèn)為依托“問題提出”展開的數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅能彌合兩種課堂的消極裂痕，也能為教師提供新的教學(xué)視角，為學(xué)生展示新的學(xué)習(xí)方式。

“問題提出”的能力，既能夠敏銳學(xué)生的問題意識(shí)，從而強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的深度理解，也能夠深化學(xué)生的認(rèn)知方式，化被動(dòng)地“回答”預(yù)設(shè)問題為主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)、求解問題，進(jìn)而延展學(xué)生們的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)與學(xué)習(xí)交往[1]。“問題提出”對(duì)于學(xué)生們的學(xué)習(xí)方式將產(chǎn)生以下幾方面影響。

一是開放性的空間賦予學(xué)生深度學(xué)習(xí)的可能。劉加霞認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)教育“需要關(guān)注學(xué)生的樸素問題與思維過程”。[2]“問題提出”的教學(xué)理念將學(xué)生置入一個(gè)“沒有具體題目”的情境，促使學(xué)生跳出傳統(tǒng)的被動(dòng)式接受知識(shí)，碎片化理解知識(shí)的學(xué)習(xí)局限，開始學(xué)會(huì)有意識(shí)地主動(dòng)感知學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)與意義，整體且全面地理解知識(shí)之間的內(nèi)在勾連。

二是情境化的空間賦予學(xué)生個(gè)性學(xué)習(xí)的可能。小學(xué)數(shù)學(xué)的問題形態(tài)往往呈現(xiàn)為單向度的“問”以促使學(xué)生去“解決問題”。[3]“問題提出”的教學(xué)方式則傾向在給予學(xué)生一種符合兒童經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知情境中，引導(dǎo)學(xué)生合理提出問題?；皠e人的題”為“我提出的題”，變混沌式學(xué)習(xí)為探尋學(xué)科邏輯的學(xué)習(xí)。[4]

三是參與式的空間賦予學(xué)生交互學(xué)習(xí)的可能。每個(gè)學(xué)生往往會(huì)根據(jù)自身的生活經(jīng)驗(yàn)、興趣愛好、思考方式、學(xué)科理解等提出自身的問題。在此問題提出的過程中，學(xué)生們之間可以相互感知、理解對(duì)方的思維特色，從而在交流中建立起更好的合作方式，也可以在商討辯駁中，形成“什么是好問題”的學(xué)習(xí)認(rèn)知，從而進(jìn)一步提升自身的學(xué)科思維。

三、“問題提出”引領(lǐng)下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐——以“多邊形的面積”單元教學(xué)為例

(一)在舊知新識(shí)的聯(lián)結(jié)中引導(dǎo)學(xué)生提出問題

小學(xué)階段的“面積”知識(shí)承接了從一維的線到二維的面再到表面積的學(xué)習(xí)，學(xué)生關(guān)于圖形的認(rèn)識(shí)核心主要聚焦于“圖形各要素之間的關(guān)系”與“圖形之間的關(guān)系”兩個(gè)方面。在關(guān)于圖形各要素之間關(guān)系的認(rèn)知中指向的是關(guān)于測量方法的獲得，在圖形之間關(guān)系的認(rèn)知中指向的是關(guān)于轉(zhuǎn)化思想的習(xí)得。教師一般在“我要怎么教”的教學(xué)設(shè)計(jì)理念中，先導(dǎo)地設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)方向，從而督促學(xué)生埋頭趕路，循路而學(xué)。那么是否有可能引導(dǎo)學(xué)生抬頭望路，帶著清晰的問題意識(shí)去學(xué)呢？在五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元中，筆者創(chuàng)設(shè)了兩個(gè)學(xué)科知識(shí)情境，引導(dǎo)學(xué)生自設(shè)問題，以激活他們的學(xué)習(xí)意識(shí)。

第一個(gè)教學(xué)鏡頭：用方格紙畫上長方形與正方形，讓學(xué)生據(jù)此提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行求解。學(xué)生根據(jù)已學(xué)過的知識(shí)，普遍圍繞已給條件提出“寫出下面各圖形的面積”一類面積計(jì)算問題。在解決問題中，順勢總結(jié)“S=每行單位面積的個(gè)數(shù)×行數(shù)”【設(shè)計(jì)意圖：通過自我問題設(shè)計(jì)，既是讓學(xué)生形成對(duì)長方形、正方形計(jì)算方法的回憶，也是讓學(xué)生在方格紙的直觀感受中初步獲取二維圖形的量感?！?/p>

第二個(gè)教學(xué)鏡頭：用方格紙畫上長方形、平行四邊形、三角形、梯形，讓學(xué)生據(jù)此提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行求解。此時(shí)，問題就多了，諸如“它們有幾條邊”“它們有什么不同”等，但就是不愿提“寫出下面各圖形的面積”一類問題。因?yàn)閷W(xué)生開始犯難了：平行四邊形占的格子不整齊，三角形只有三條邊，梯形長短不一，怎么能用此前總結(jié)的公式來套用呢？【設(shè)計(jì)意圖：通過方格紙，直觀地展示多邊形的不同形態(tài)，對(duì)已提出的問題辨析其價(jià)值性，對(duì)未能或不敢提出的問題則解釋其中可能的思維阻塞點(diǎn)。學(xué)生在認(rèn)知沖突中不自覺產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想與探究訴求。】

(二)在學(xué)科認(rèn)知的進(jìn)階中引導(dǎo)學(xué)生提出問題

小學(xué)的圖形認(rèn)識(shí)，主要經(jīng)歷了從一年級(jí)的直觀感知到二年級(jí)的要素刻畫，再到三年級(jí)的單位累加，直至五年級(jí)的圖形轉(zhuǎn)化。這一學(xué)習(xí)過程實(shí)質(zhì)上是從圖形認(rèn)識(shí)到圖形的度量的進(jìn)階過程。它指向的是教會(huì)學(xué)生如何從折一折、畫一畫等操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)一步步升格、轉(zhuǎn)化為問題解決經(jīng)驗(yàn)。在五年級(jí)上冊(cè)“比較圖形的面積”欄目設(shè)計(jì)，其意義就是為了幫助學(xué)生形成基本的“轉(zhuǎn)化”思想。于是，圍繞“轉(zhuǎn)化方法”與“轉(zhuǎn)化應(yīng)用”兩個(gè)維度，筆者引導(dǎo)學(xué)生提出問題，以此深化對(duì)“轉(zhuǎn)化”思想學(xué)科理解。

第一個(gè)教學(xué)鏡頭：讓兩位學(xué)生分別展示其動(dòng)手操作計(jì)算平行四邊形面積的方法，一個(gè)以一格一格地剪接拼湊方式，一個(gè)以整塊剪接平移方式。據(jù)此，讓學(xué)生針對(duì)兩人的不同方式展開問題提出，并解釋理由。【設(shè)計(jì)意圖：在學(xué)生動(dòng)手操作計(jì)算平行四邊形面積的方法時(shí)，主要表現(xiàn)為對(duì)轉(zhuǎn)化方法的無意識(shí)運(yùn)用，如何敏銳其關(guān)于方法的清晰認(rèn)知，從而進(jìn)一步在觀念上深化對(duì)轉(zhuǎn)化意義的理解。通過問題設(shè)計(jì)與學(xué)生的自我闡述，學(xué)生開始自覺地意識(shí)到兩種方法差異之后的關(guān)聯(lián)性，在化不整為整之后實(shí)質(zhì)上便是化新知為舊知?！?/p>

第二個(gè)教學(xué)鏡頭：有人說，從一組平行線上沿著直線減下來的一切形狀都是梯形。以下五個(gè)圖形面積相等，從(圖1)中任選一個(gè)圖形，你能用幾種方式解釋它們之間的面積相等?！驹O(shè)計(jì)意圖：學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)多邊形面積時(shí)，往往較為擅長運(yùn)用公式展開計(jì)算，但是對(duì)于公式的計(jì)算推理過程、圖形觀察與分析能力有所不足，空間觀念較差，轉(zhuǎn)化意識(shí)相對(duì)薄弱。教師利用幾何畫板幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)梯形統(tǒng)整多邊形面積計(jì)算公式，讓學(xué)生運(yùn)用已學(xué)的公式或者推導(dǎo)方法，建構(gòu)起內(nèi)在的關(guān)系認(rèn)知。】

圖1

(三)在思維認(rèn)知的節(jié)點(diǎn)處引導(dǎo)學(xué)生提出問題

徐立治先生認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)用思維的分析帶動(dòng)具體知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)，從而把數(shù)學(xué)課真正“教活”“教懂”“教深”。小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維往往呈現(xiàn)為形象思維占主導(dǎo)，邏輯思維依附性強(qiáng)，發(fā)展性思維存在思維定勢。因此，在學(xué)生容易陷入思維泥淖的節(jié)點(diǎn)處，可以通過有效的問題提出引領(lǐng)，從而幫助學(xué)生對(duì)自我的思維形態(tài)展開內(nèi)向反思，學(xué)會(huì)富有數(shù)學(xué)性的思考。

一是在思維淺層處引導(dǎo)學(xué)生提出問題。小學(xué)生對(duì)于圖形的理解往往容易拘泥于固有的平面認(rèn)知，如圖2的面積計(jì)算，學(xué)生只是單純地記住了底×高，因而很容易計(jì)算為“8×6=48(cm2)”。這其實(shí)是學(xué)生的錯(cuò)誤直覺引發(fā)的判斷失誤，而引發(fā)學(xué)生錯(cuò)誤直覺的因素主要是兩個(gè)，一是平行四邊形的易變性使得學(xué)生容易將不同底的高同質(zhì)化，二是數(shù)據(jù)的存在使得學(xué)生受到了干擾，容易從分析圖形的學(xué)習(xí)意圖陷入套用公式的學(xué)習(xí)意圖。因而，教師可以提供圖2引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考提出問題，教師進(jìn)而對(duì)學(xué)生的問題進(jìn)行思維梯度組織。

圖2

二是在思維定勢處引導(dǎo)學(xué)生提出問題。如典型習(xí)題：每相鄰兩個(gè)點(diǎn)之間的距離為1厘米。△ABC的面積是多少平方厘米？(圖3)本題主要是考查學(xué)生在具體問題情境中的轉(zhuǎn)化能力，學(xué)生們?cè)跓o法獲得三角形底和高的情境下，很容易轉(zhuǎn)回基本的數(shù)方格的思維定勢中。就此，盛童亮教師就將學(xué)生的幾種典型錯(cuò)誤解法與優(yōu)質(zhì)的解法予以整合(圖4)，讓學(xué)生觀察不同的解法，并讓學(xué)生說明不同解題思路的可能推理過程[2]。學(xué)生的問題提出意識(shí)既是一種對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系的想象，也是對(duì)邏輯路徑的回溯。

圖3

圖4

四、在學(xué)習(xí)情境的構(gòu)建中引導(dǎo)學(xué)生提出問題

張輝蓉等認(rèn)為，基于“情境—問題”的教學(xué)模式，“問題提出”的教學(xué)設(shè)計(jì)可聚焦信息搜索—問題提出—問題解決—問題變身四個(gè)環(huán)節(jié)。為了讓學(xué)生進(jìn)一步理解平行四邊形面積的本質(zhì)，應(yīng)準(zhǔn)確理解“等底等高”的關(guān)系。于是圍繞上述四環(huán)節(jié)，筆者展開“神奇的1/2”的“問題提出”教學(xué)設(shè)計(jì)。

一是讓學(xué)生根據(jù)圖5尋找各類數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而讓學(xué)生就歸納的數(shù)學(xué)信息予以辨析：哪些在本圖中可能是有意義的。

圖5

二是引導(dǎo)學(xué)生就所搜集的信息，試著觀察之間的可能聯(lián)系，進(jìn)而形成一些猜想。對(duì)此，為避免圖形過于抽象導(dǎo)致思維難以挺近，教師可適當(dāng)讓學(xué)生對(duì)圖形賦值，從而以算的多維方式推進(jìn)對(duì)圖形的抽象理解。

三是針對(duì)學(xué)生所提出的問題，教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想圖形中的數(shù)學(xué)關(guān)系，在對(duì)數(shù)學(xué)信息的一系列分析與驗(yàn)證中，鼓勵(lì)其嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)語言將數(shù)學(xué)問題風(fēng)格化地表達(dá)出來。進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生形成“我的問題清單”意識(shí)，學(xué)會(huì)清楚地意識(shí)到所面臨的數(shù)學(xué)問題及其解決思路。

四是在前述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生就已有的“問題提出”的結(jié)構(gòu)與關(guān)系，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去認(rèn)知、分析新的問題。如圖6、圖7所示，便是化靜為動(dòng)，引入移動(dòng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生借鑒前環(huán)節(jié)的問題解決過程，深化對(duì)新的問題的認(rèn)知與解決。

圖6

圖7

綜上，面對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)情態(tài)，引入“問題提出”的教學(xué)意識(shí)，生成學(xué)生“問題提出”的學(xué)習(xí)方式，將有助于師生在數(shù)學(xué)課堂中學(xué)會(huì)更加積極地傾聽與更有意義的沉思。也期待將“問題提出”理念有效地落實(shí)到數(shù)學(xué)教育中，真正讓學(xué)生學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”！