導(dǎo)數(shù)法處理不等式恒成立問(wèn)題的幾種簡(jiǎn)化思維

王玉瑩

(山東省濟(jì)寧市鄒城市第二中學(xué))

不等式恒成立問(wèn)題是高考?？碱}型,解題的核心思想是構(gòu)造函數(shù)求最值.此類問(wèn)題中大多含有參數(shù),求解過(guò)程需要對(duì)參數(shù)的可能取值進(jìn)行討論,下面介紹幾種可簡(jiǎn)化討論的特殊思維.

1 先猜再證

例1已知函數(shù)f(x)＝ex(lnx－m),若?x∈[1,＋∞),f(x)≥－1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

點(diǎn)評(píng)不等式f(x)≥－1在x∈[1,＋∞)上恒成立,則?x0∈[1,＋∞),不等式f(x)≥－1均成立,進(jìn)而可通過(guò)特值檢驗(yàn),先猜測(cè)出參數(shù)的范圍,再給出證明.

2 變更主元

例2已知函數(shù)f(x)＝mx2－x－lnmx,是否存在m＞0,使得f(x)≥0恒成立? 若存在,求出實(shí)數(shù)m的值;若不存在,說(shuō)明理由.

解析假設(shè)存在滿足條件的m,使得mx2－xlnmx≥0恒成立,視m為主元,設(shè)g(m)＝mx2－x－lnmx,則g(m)≥0,即gmin(m)≥0.

點(diǎn)評(píng)若按常規(guī)解法,即直接求函數(shù)f(x)＝mx2－x－lnmx的最小值,需要對(duì)m的取值進(jìn)行分類討論,過(guò)程較為煩瑣,視m為主元,可以有效簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

3 參變分離

例3已知函數(shù),若f(x)的圖像上的點(diǎn)都在直線y＝kx－1的下方,求k的取值范圍.

所以h(x)在(0,＋∞)單調(diào)遞減.

又h(1)＝0,故當(dāng)x∈(0,1),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,＋∞),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減,故當(dāng)x＝1時(shí),g(x)取得最大值,且

綜上,k的取值范圍是(1,＋∞).

點(diǎn)評(píng)參數(shù)分離后,將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求不含參函數(shù)的最值,從而簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.應(yīng)用參數(shù)分離法解題時(shí),要注意分離過(guò)程中不等式變形的等價(jià)性.

4 放縮變換

當(dāng)x－lnx3＝0,即x－3lnx＝0時(shí),等號(hào)成立.

令h(x)＝x－3lnx,則h(1)＝1＞0,

所以存在x∈(1,e),使得等號(hào)成立.

綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－3].

點(diǎn)評(píng)在解答題的求解中應(yīng)用切線不等式進(jìn)行放縮時(shí),要給出其證明過(guò)程.常用的切線不等式還有ex≥ex,x－1≥lnxx≥lnx等.

5 同構(gòu)轉(zhuǎn)化

例5已知函數(shù)f(x)＝aex－1－lnx＋lna,若f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍.

又g′(x)＝ex＋1＞0,所以g(x)為增函數(shù),g(lna＋x－1)≥g(lnx)等價(jià)于

設(shè)h(x)＝lnx－x＋1,則,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,＋∞)時(shí),h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減,故hmax(x)＝h(1)＝0,則lna≥0,即a≥1.

綜上,a的取值范圍是[1,＋∞).

綜上,針對(duì)不等式恒成立問(wèn)題,除了要掌握常規(guī)的解題方法外,還要注意總結(jié)上述特殊思維,明確這些思維的適用條件,才能使解題游刃有余.當(dāng)然同一道題目也可能能用多種思維方法來(lái)解決,感興趣的讀者可以自行嘗試.

(完)