例談對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

袁德成

(山東省臨沂市沂水縣第二中學(xué))

對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0,且a≠1)的單調(diào)性是由底數(shù)a決定的,當(dāng)a＞1時,它在(0,＋∞)上是增函數(shù),當(dāng)0＜a＜1時,它在(0,＋∞)上是減函數(shù).

1 求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

當(dāng)一個復(fù)合函數(shù)中出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)時,要求這個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須同時關(guān)注內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性,利用“同增異減”原則來確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,同時需注意函數(shù)的定義域.

由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì),可知函數(shù)u＝－x2＋6x－5在(1,3)上單調(diào)遞增,在[3,5)上單調(diào)遞減,又由函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[3,5).

點評本例中復(fù)合函數(shù)的外函數(shù)是對數(shù)函數(shù),內(nèi)函數(shù)是二次函數(shù),因為外函數(shù)是減函數(shù),所以要求原函數(shù)的增區(qū)間,就是求內(nèi)函數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的減區(qū)間.

2 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的最值問題

求函數(shù)最值,最簡捷且有效的方法就是利用函數(shù)的單調(diào)性.當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中含有對數(shù)函數(shù)時,一般需關(guān)注它的單調(diào)性,充分利用單調(diào)性來求解函數(shù)的最值.

則g(t1)＞g(t2),所以函數(shù)g(t)在[2,＋∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)t≥2時,g(t)≥g(2)＝3,所以

故選B.

點評本題屬于復(fù)合函數(shù)的值域問題,外函數(shù)是單調(diào)遞減的對數(shù)函數(shù),所以欲求原函數(shù)的最小值或最大值,只需求內(nèi)函數(shù)的最大值或最小值.

3 比較對數(shù)值的大小

比較對數(shù)值的大小,可以先找到或構(gòu)造一個函數(shù),再考查它的單調(diào)性.

點評本例采用了作差法比較大小,同時需要分類討論,而最終起決定性作用的是利用了y＝上單調(diào)遞減這個性質(zhì).

4 求解不等式問題

求解對數(shù)不等式的關(guān)鍵是“去掉”對數(shù)符號,將其轉(zhuǎn)化為一般的不等式,這就需要逆用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

點評本例中,由于底數(shù)a的范圍沒有確定,所以需要分類討論.求解這類問題時,往往需要將常數(shù)表示成對數(shù)形式,常見的有0＝loga1,1＝logaa.

5 已知函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)范圍

這類問題給出的函數(shù)往往是復(fù)合函數(shù),外函數(shù)為對數(shù)函數(shù),內(nèi)函數(shù)為一次函數(shù)或二次函數(shù),當(dāng)原函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性確定時,我們應(yīng)該分別確定內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性,由此列出不等式或不等式組,進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

例5已知函數(shù)在[－2,2]上單調(diào)遞增,則m的取值范圍是( ).

A.(2,3) B.[2,＋∞)

C.(－3,2) D.[2,3)

點評本題中的外函數(shù)是對數(shù)函數(shù),它的單調(diào)性已經(jīng)確定,為增函數(shù),故只需內(nèi)函數(shù)在給定的區(qū)間內(nèi)也為增函數(shù)即可,此外還得保證它在給出的區(qū)間上的函數(shù)值恒正.

6 對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用一般出現(xiàn)在解答題中,可以是利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域,這類問題綜合性較強.

點評求解本題第(1)問關(guān)鍵是求出內(nèi)函數(shù)的值域,然后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出原函數(shù)的值域,第(2)問與例5相仿.

通過以上分析不難發(fā)現(xiàn),對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題一般都可以轉(zhuǎn)化為不等式來處理,而對數(shù)型復(fù)合函數(shù)是考試命題的重點,我們應(yīng)引起重視.

(完)