姚紅梅

［摘 要］在“三角形內(nèi)角和”教學(xué)中，以“五學(xué)”課堂為學(xué)習(xí)路徑，利用猜想、驗證、轉(zhuǎn)化等思想方法，鼓勵學(xué)生積極、自信、理性地運用解釋、分析、推理、評價等認(rèn)知技能來解決數(shù)學(xué)問題，著眼于推進(jìn)審辯式學(xué)習(xí)，對創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)方法、培養(yǎng)學(xué)生審辯式思維具有一定的指導(dǎo)意義。

［關(guān)鍵詞］三角形內(nèi)角和；審辯式學(xué)習(xí)；“五學(xué)”課堂；審辯式思維

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0004-05

【教學(xué)內(nèi)容】北師大版教材四年級下冊“三角形內(nèi)角和”

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過推算、測算、折拼、撕拼等操作活動，發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和等于180°；

2.通過比較不同方法和對多邊形內(nèi)角和的探索，感受“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展動手操作、推理分析能力；

3.在親歷探索發(fā)現(xiàn)的過程中，體驗數(shù)學(xué)思考與探究的快樂，形成應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和審辯式思維。

【教學(xué)重點】

1.在操作活動中發(fā)現(xiàn)“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，體會“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；

2.能根據(jù)操作活動清晰表達(dá)探索與發(fā)現(xiàn)的過程，發(fā)展推理分析能力和形成審辯式思維。

【學(xué)習(xí)準(zhǔn)備】助研單、課件、三角形紙片（學(xué)生自備1套，教師自備2套）

【課前預(yù)學(xué)】

內(nèi)角和的概念是本課的學(xué)習(xí)起點，教師可秉持“少教之教”的教學(xué)理念，對學(xué)生通過觀察即可感悟的知識，只引導(dǎo)其辨析和加強(qiáng)認(rèn)識。個體只有經(jīng)歷了體驗，認(rèn)識和思考才會深刻，也才能在小組交流或集中討論時產(chǎn)生思維的碰撞。審辯式學(xué)習(xí)關(guān)注學(xué)生的獨立思考，但課堂40分鐘的時間往往不夠進(jìn)行充分的探索和體驗，預(yù)學(xué)作業(yè)則能彌補(bǔ)這一缺失。

【課中共學(xué)】

一、創(chuàng)設(shè)情境，以問啟學(xué)

1.感受推理

師（出示長方形）：這是一個長方形。它的角有什么特點？

生1：長方形的4個角都是直角。

師：長方形內(nèi)角和是多少？

生（齊）：360°。

師：你們是怎么想的？

生2：因為每個角都是直角90°，4個直角就是4個90°，所以長方形內(nèi)角和就是360°。

師：生2利用“4個角都是直角”這個已知信息，經(jīng)過思考、計算，得出一個新的結(jié)論——長方形內(nèi)角和是360°。我們把這個過程叫作推算。他在表達(dá)中用到“因為……所以……”這樣的表達(dá)句式，使這個推算過程有理有據(jù)，令人信服。

2.引發(fā)思考

師：沿著這個長方形的對角線先折一次再剪開，得到2個大小相等的直角三角形。每個直角三角形內(nèi)角和是多少？為什么？

生3：每個直角三角形的內(nèi)角和都是180°，因為360°被平均分成了2份，每份就是180°。

師：非常棒！從已知信息出發(fā)，通過分析和計算，得出一個新的結(jié)論，這個方法就是推算。

師（出示大小、形狀不一的直角三角形）：直角三角形有大有小，是不是所有直角三角形內(nèi)角和都是180°呢？

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在核心素養(yǎng)部分指出：通過經(jīng)歷獨立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠合乎邏輯地解釋或論證數(shù)學(xué)的基本方法與結(jié)論，分析、解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題。在本環(huán)節(jié)中，學(xué)生先后經(jīng)歷兩次推理過程，在教師的積極評價中感悟論證方法，體會有理有據(jù)及邏輯表達(dá)的重要性，并對直角三角形內(nèi)角和展開從特殊到一般的思考。

二、猜想驗證，以探入學(xué)

探索1：所有直角三角形內(nèi)角和都是180°嗎？

師：課前大家已經(jīng)利用自己制作的直角三角形進(jìn)行了驗證，請匯報你的想法。

生1：我用的是推算的方法。（出示直角三角形）這是我的一個直角三角形，如果在它上面還有一個和它一樣大小的直角三角形，就組成了一個長方形。長方形內(nèi)角和是360°，那么它的一半，也就是這個直角三角形的內(nèi)角和是180°。

師：大家聽清楚了嗎？有沒有問題？

生2：這里只有一個直角三角形，它是怎么變成一個長方形的？

生1：你可以想象把這個直角三角形“翻過去”，就能得到一個長方形了。

師：生1讓我們從一個直角三角形中看出長方形，這是培養(yǎng)我們的想象能力呢！除了推算的方法，還有別的方法嗎？

生2：我用量角器先量出三角形每個角的度數(shù)，然后相加，算式是“90°+28°+50°=168°”。

生3：我是量直角三角板每個角的度數(shù)?！?0°+30°+60°=180°”，還有“90°+45°+45°=180°”。

師：他們的結(jié)果不一樣。大家怎么看呢？

生4：如果測量不準(zhǔn)確就很容易出現(xiàn)誤差。

師：生2，你可以向大家展示一下測量過程嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)我測量的直角三角形有一條邊沒有畫直。

師：沒關(guān)系，你得出的不一樣的結(jié)果，讓大家知道探究的每個環(huán)節(jié)都不能馬虎，正所謂“大膽猜想，小心求證”。還有其他的方法嗎？

生5：我測量的2個角的度數(shù)分別是35°和55°，它們合起來是90°，加上第三個角——直角90°，就得到180°。

師：先測后算也是一種探究方法，關(guān)鍵是要小心測量，避免誤差。

生6：我用的是折拼的辦法。把這個直角三角形的2個銳角往直角所在的方向折，拼了拼后發(fā)現(xiàn)它們與三角形的直角重合，三角形的3個角就變成了2個直角。這樣，這個直角三角形的內(nèi)角和就是“90°×2=180°”。

師：生6先折再拼，把其中2個角合在一起后發(fā)現(xiàn)它們與已知的直角重合。這個把未知變成已知的過程就是轉(zhuǎn)化思想的運用。還有別的想法嗎？

生7：我用的也是折拼的方法。把這個直角三角形的3個角折起來可以拼成一個平角。平角是180°，所以這3個角的和，即這個直角三角形內(nèi)角和也是180°。

生8：我也折過，發(fā)現(xiàn)拼的時候很容易有空隙，這樣就不能確定是不是拼成了平角。

生9：我也覺得會有誤差，所以我用了撕的方法，把3個角撕下來，然后拼在一起，就拼成了一個平角。

師：這幾位同學(xué)的想法有什么共同的地方？

生10：他們都用到了“轉(zhuǎn)化”，把3個角轉(zhuǎn)化成一個平角。

師：是啊，不管是“折”還是“撕”，他們都運用了“轉(zhuǎn)化”，活學(xué)活用，值得表揚！同時，有同學(xué)關(guān)注到“誤差”“空隙”會導(dǎo)致“不能確定”，這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶骄烤穹浅Ｖ档梦覀儗W(xué)習(xí)！

師（動畫展示）：把直角三角形的3個角撕下來后可以拼成一個平角，我們就說直角三角形內(nèi)角和是多少？

生（齊）：180°。

本環(huán)節(jié)中，在課前獨立探究的基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)歷了“猜想—驗證”的過程，通過交流的方式暢談探究方法和結(jié)果。在交流時，學(xué)生都能從現(xiàn)象出發(fā)，質(zhì)疑問難、實事求是。

探索2：所有三角形內(nèi)角和都是180°嗎？

師：通過探索，我們知道了直角三角形內(nèi)角和是180°?？墒牵切问菚兓?。（課件展示將直角三角形直角頂點向上提）直角三角形現(xiàn)在變成了——

生（齊）：銳角三角形。

師：它還可能變成——

生（齊）：鈍角三角形。

師：直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形，哪種的內(nèi)角和最大，哪種的內(nèi)角和最??？

生1：直角三角形內(nèi)角和最大，銳角三角形內(nèi)角和最小。

生2：我覺得鈍角三角形內(nèi)角和最大，銳角三角形內(nèi)角和最小。

生3：我覺得三種三角形的內(nèi)角和一樣大。

師：能想辦法驗證自己的觀點嗎？請拿出鈍角三角形和銳角三角形，用你喜歡的方法進(jìn)行驗證。

生4：我采用的是“撕拼”的方法。無論是鈍角三角形，還是銳角三角形，“撕拼”后都能拼成平角，所以它們的內(nèi)角和都是180°。也就是三種三角形的內(nèi)角和一樣大，都是180°。

師：生4既匯報了驗證過程和結(jié)果，又匯報了自己的結(jié)論，有理有據(jù)。

生5：我用的是推算的方法。先把2個同樣大小的銳角三角形拼在一起，發(fā)現(xiàn)拼成一個平行四邊形，而不是長方形；再把這個平行四邊形的一個角剪下來移到另一邊，這樣就變成了一個長方形；最后發(fā)現(xiàn)銳角三角形的3個角拼成了一個平角。也就是說，銳角三角形內(nèi)角和是180°。

師：延續(xù)生5的方法，把2個同樣大小的鈍角三角形拼在一起，也能得到一個平行四邊形。把平行四邊形變成長方形后，觀察角的位置，有什么發(fā)現(xiàn)？

生6：和銳角三角形一樣，拼成了一個平角，推算出鈍角三角形內(nèi)角和是180°。

師：有沒有用其他方法或得到其他結(jié)果的？之前大家給出了4種方法，為什么這里只用到撕拼和推算呢？

生7：我覺得這樣比較準(zhǔn)確，另外兩種方法都容易產(chǎn)生誤差。

師：大家得到的結(jié)論是什么？

生（齊）：任意三角形內(nèi)角和一樣大。

師：有同學(xué)一開始猜想的不對，但通過驗證找到了正確結(jié)論，這就是“失敗乃成功之母”。只要大膽猜想、小心求證，就會有成長、有進(jìn)步，直至獲得成功。

在“避免或減少誤差”的要求下，學(xué)生自主選擇驗證方法，體現(xiàn)了優(yōu)化思想。在“將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形”的表達(dá)中，因為時間關(guān)系，學(xué)生只推算了銳角三角形的情況，教師不動聲色地引導(dǎo)學(xué)生完成鈍角三角形的推算，讓驗證過程不遺漏，交流過程更完善，產(chǎn)生的結(jié)論更有說服力。在這個過程中，積極中肯的評價讓每個學(xué)生都能找到自己的亮點和成長點。

三、對話反思，以辯立學(xué)

師：學(xué)習(xí)到這里，你有什么收獲？

生1：我知道“不管是哪種形狀的三角形，內(nèi)角和都是180°”。

生2：鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形的內(nèi)角和一樣大，都是180°。

師：誰能表述得更簡潔一些？

生3：三角形內(nèi)角和是180°。

生4：三角形內(nèi)角和等于180°。

師：在“猜想—驗證”的探索過程中，你有什么學(xué)習(xí)感受或心得？

生5：我覺得要盡量減少誤差，不然就得不到正確的結(jié)論。

生6：我覺得“轉(zhuǎn)化”很重要，任何平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長方形。

師：看來大家雖然有共同的結(jié)論，但是對結(jié)論的獲得有著各自的體會和思考。只要是科學(xué)的、帶著我們走向正確結(jié)論的方法，我們都予以支持。

通過反思，學(xué)生能夠及時梳理新知，學(xué)會用確的語言描述三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，加深對驗證方法的思考，對不同方法能夠包容和理解。

四、拓展探究，以用成學(xué)

師：沿一塊三角形紙板上任意直線剪一刀，剩下紙板的內(nèi)角和是多少度？先猜想，然后動手操作驗證。小組之間可以互相交流，看看你們的想法是不是一樣。

生1（出示圖2）：我是這樣剪的。剪后剩下的紙板是一個三角形，它的內(nèi)角和是180°。

生2（出示圖3）：我剪掉了一個角，剩下的紙板是一個四邊形，它的內(nèi)角和是360°。

師：你是怎么知道的呢？

生2：我把這個四邊形折了一下，得到2個三角形。一個三角形內(nèi)角和是180°，2個三角形的內(nèi)角和就是360°。

師：活學(xué)活用，能利用“轉(zhuǎn)化”把四邊形轉(zhuǎn)化成三角形再推算。

師（出示五邊形和六邊形）：它們的內(nèi)角和分別是多少？獨立思考后再小組交流。

生3（出示圖4-1、4-2）：五邊形可以轉(zhuǎn)化成3個三角形，內(nèi)角和是180°×3=540°；六邊形可以轉(zhuǎn)化成4個三角形，內(nèi)角和是180°×4=720°。?

師（出示圖5）：從這些內(nèi)容中你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：它們的內(nèi)角和依次增加180°。

生5：圖形每增加一條邊，圖形的內(nèi)角和就增加180°。

生6：它們的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)。

師（出示圖6）：同學(xué)們不僅能橫向觀察，還能縱向比較。當(dāng)邊數(shù)是4的時候，內(nèi)角和是360°，即2個180°；當(dāng)邊數(shù)是5的時候，內(nèi)角和是3個180°……

生7：我發(fā)現(xiàn)180°的數(shù)量總比邊數(shù)少2。

生8：圖形能分成幾個三角形，該圖形內(nèi)角和就是180°乘幾。

生9：我發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)角和等于“（邊數(shù)-2）×180°”，比如三角形的內(nèi)角和是“（3-2）× 180°”。

師：九邊形的內(nèi)角和是多少？為什么？

生10：九邊形內(nèi)角和是“（9-2）×180°=1260°”。

師：大家可以再任選一個圖形來驗證，小組間互相交流后用一句話總結(jié)你們的發(fā)現(xiàn)。

生11：任意一個圖形的內(nèi)角和都是“（邊數(shù)-2）×180°”。

生12：如果是平面圖形，那這個平面圖形的內(nèi)角和是“（邊數(shù)-2）×180°”。

生13：不管這個圖形有多少條邊，都可以用字母a表示它的邊數(shù)，那a邊形的內(nèi)角和是“（a-2）×180°”。

師：規(guī)律越辯越明。通過觀察、推理、辨析，大家不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，還用數(shù)學(xué)語言表示了規(guī)律，很有數(shù)學(xué)家的風(fēng)范！

通過對四邊形、五邊形等圖形的不斷轉(zhuǎn)化，從單純的圖形計算到深入的規(guī)律發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在板書引導(dǎo)、觀察辨析和猜想驗證中逐漸發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)之間的規(guī)律。

五、融會貫通，以融創(chuàng)學(xué)

師（出示圖7）：完成一個填空計1顆星，請大家估一估自己能獲幾顆星。

生1：我覺得我能獲6顆星。因為我知道三角形內(nèi)角和等于180°，也能看出第2題涂色圖形的內(nèi)角和分別是360°、180°和180°，還會計算∠C是45°，也能推算出十二邊形內(nèi)角和是1800°。

生2：生1只能得5顆星，因為第3題∠C=180°-90°-35°=55°，他算成45°，算錯了。

師：看來只知道方法但計算不對也會影響星級評定。

生3：解第3題時不用拿180°去減，用“90°-35°”就能得到55°。

師：大家同意嗎？

生4：同意。因為180°-90°=90°。直角三角形里已經(jīng)有1個90°了，∠A和∠C的和肯定是90°。

師：你不僅會計算，還能想辦法巧算，得在6顆星上再加1顆智慧星。

教師將本課學(xué)習(xí)內(nèi)容與知識技能目標(biāo)融合在一起，根據(jù)知道、理解、掌握、應(yīng)用層級設(shè)置相應(yīng)的練習(xí)，學(xué)生在“爭星”過程中自己發(fā)現(xiàn)、評估“知與不知”，能夠反思、改進(jìn)自己的學(xué)習(xí)。

【教學(xué)反思】

審辯式學(xué)習(xí)致力于實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的核心價值——大力發(fā)展學(xué)生的思維能力，倡導(dǎo)基于問題的學(xué)習(xí)，鼓勵學(xué)習(xí)者通過自問、對問等方式，在獨立自主的個體探索和合作共享的小組探究中大膽猜測、積極發(fā)現(xiàn)、深入感悟，從而形成理性思維和科學(xué)精神。

一、問題引領(lǐng)，關(guān)注探索

教師提出的問題層層深入，不僅指向探索與發(fā)現(xiàn)，還具有一定的開放性：所有直角三角形內(nèi)角和都是180°嗎？你怎樣驗證自己的猜想？所有三角形內(nèi)角和都是180°嗎？多邊形的內(nèi)角和有什么規(guī)律……問題的解決過程基本遵循“猜想—驗證”的原則，每個學(xué)生從思維動起來到行為做起來、講出來、辯起來，從已有知識出發(fā)到發(fā)現(xiàn)、感悟三角形內(nèi)角和性質(zhì)及多邊形內(nèi)角和規(guī)律，在自主辨析和驗證猜想的過程中不斷豐富、調(diào)整認(rèn)知結(jié)構(gòu)，享受探索的快樂。

二、鼓勵質(zhì)疑，真實審辯

北京語言大學(xué)心理學(xué)院博士生導(dǎo)師謝小慶教授認(rèn)為，審辯式思維接受多種價值并存的可能性，在堅持自己“真理”的同時也包容別人的“真理”。本課中，對于同學(xué)的觀點，學(xué)生能夠基于理性提出質(zhì)疑，例如有學(xué)生介紹“折拼”方法時，另一學(xué)生提出質(zhì)疑：“我也折過，發(fā)現(xiàn)拼的時候很容易有空隙，這樣就不能確定是不是拼成了平角?！睂W(xué)生還對每個結(jié)論的獲得都講求證據(jù)，以及包容同學(xué)的不同意見：不管是不同三角形內(nèi)角和排序不同，還是驗證方法不同，抑或是結(jié)論表達(dá)語言不一樣，學(xué)生都盡量在理解對方的基礎(chǔ)上闡述自己觀點，使課堂真正成為思維碰撞的學(xué)堂。

三、滲透思想，重視反思

轉(zhuǎn)化思想貫穿學(xué)習(xí)全過程。長方形與直角三角形的相互轉(zhuǎn)化、三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化成平角、不同多邊形轉(zhuǎn)化成多個三角形等，“轉(zhuǎn)化—推理—發(fā)現(xiàn)”成了學(xué)生獲得知識與方法的最佳途徑。同時，教師重視反思，每次探索完成后都引導(dǎo)學(xué)生梳理結(jié)論、感悟過程，從知識技能到思考方法、情感態(tài)度，使得學(xué)生在反思中掌握學(xué)習(xí)方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信。

總之，審辯式學(xué)習(xí)立足于學(xué)生個性的特點和學(xué)習(xí)心理，精心設(shè)計開放或半開放問題，鼓勵學(xué)生自主嘗試、合作探究及大膽質(zhì)疑、論證反思，進(jìn)而獲得高階思維體驗，為培養(yǎng)學(xué)生的審辯式思維及適應(yīng)未來的發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ)。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 穆傳慧.審辯式學(xué)習(xí)：價值、內(nèi)涵與基本環(huán)節(jié)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2023（8）：1-6.

[2] 穆傳慧.審辯式思維：審辯式學(xué)習(xí)的中國邏輯表達(dá)[J].小學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：1-5.