類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用技巧

楊梅

【摘要】數(shù)學(xué)是一門實(shí)用性較強(qiáng)且較為抽象的學(xué)科，對學(xué)習(xí)者的邏輯思維能力具有較高要求.現(xiàn)階段在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，大部分學(xué)生缺乏完善的思維體系，在解題時思路較為混亂，因而導(dǎo)致其學(xué)習(xí)成績遲遲無法得到提升.為幫助學(xué)生掌握良好的解題技巧，文章對類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用意義進(jìn)行了總結(jié)，從結(jié)構(gòu)化類比、模式化類比、特殊化類比、跨學(xué)科類比、降維化類比等角度出發(fā)，闡述了類比法的實(shí)際應(yīng)用策略，旨在為學(xué)生搭建良好的學(xué)習(xí)生態(tài)環(huán)境，讓學(xué)生通過類比梳理解題思路，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，提高自身問題解決能力.

【關(guān)鍵詞】類比法；初中數(shù)學(xué)；解題技巧；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)對象之間，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的邏輯聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯體系是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心任務(wù).由此可見，培養(yǎng)學(xué)生思維能力已經(jīng)成為廣大教師關(guān)注的重點(diǎn).教師應(yīng)充分關(guān)注類比法的應(yīng)用價值，幫助學(xué)生突破固有學(xué)習(xí)思維模式，促進(jìn)自身多元發(fā)展，通過解題訓(xùn)練深入感受知識的本質(zhì)，從而有效提高學(xué)生的解題能力，構(gòu)建更加完善的知識體系.

一、類比法簡介

由兩類對象具有的某些相近特征和其中一類對象的已知特征所推理出的另一類對象也具有此種特征的推理被稱之為類比.例如學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中通常會經(jīng)歷推測與聯(lián)想，這種學(xué)習(xí)行為便是類比思想從特殊到一般的體現(xiàn).學(xué)生可以根據(jù)兩個對象之間的相似屬性，猜測它們之間所存在的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而通過類比尋求解決數(shù)學(xué)問題的新方法與新途徑.

二、類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用意義

類比是一種對某些方面存在相似性的不同個體的對比、引申、演化推理活動.“解題”是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，通過解題訓(xùn)練能夠幫助學(xué)生掌握解題技巧，避免學(xué)生在考試或練習(xí)中出現(xiàn)低級錯誤，在潛移默化中幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而助力其學(xué)習(xí)水平的提升.首先，將類比法引入初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)能夠有效幫助學(xué)生獲得解題靈感及思路，讓學(xué)生在趣味化的解題過程中，提高自身創(chuàng)新能力.借助兩種事物之間的相似之處進(jìn)行推理，在提高解題效率的同時，也能夠幫助學(xué)生通過長期訓(xùn)練養(yǎng)成獨(dú)立自主的探究習(xí)慣，有效促進(jìn)其核心素養(yǎng)的發(fā)展.其次，類比法能夠進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對知識的全面理解.在這樣的解題過程中，學(xué)生經(jīng)過推理，會發(fā)現(xiàn)自己在過往知識學(xué)習(xí)中存在的漏洞，不斷完善，并通過類比搭建新舊知識之間的橋梁，構(gòu)建更加完整的知識體系.最后，利用類比法進(jìn)行解題教學(xué)，區(qū)別于傳統(tǒng)機(jī)械刻板的課堂講授，能夠充分激發(fā)學(xué)生的主觀能動性，有助于其從多角度更為全面地對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考，進(jìn)而有效實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的發(fā)展.

由此可見，類比法對提高初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展具有積極作用.因此教師要充分挖掘數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，在開展解題教學(xué)的過程中，為學(xué)生滲透類比思想，引導(dǎo)學(xué)生借助類比優(yōu)勢提高解題質(zhì)量，在長期訓(xùn)練中養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣，有效提高自身學(xué)習(xí)能力，為后續(xù)深度學(xué)習(xí)奠定堅實(shí)基礎(chǔ).

三、類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用技巧

如何發(fā)揮類比法的優(yōu)勢幫助學(xué)生順利提高解題質(zhì)量，已經(jīng)成為廣大教師所關(guān)心的焦點(diǎn)問題.筆者結(jié)合多年實(shí)踐教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用技巧進(jìn)行解讀，并提出合理化建議，以供廣大教師借鑒參考，共同推動初中數(shù)學(xué)教學(xué)的可持續(xù)發(fā)展.

（一）結(jié)構(gòu)化類比，探求數(shù)學(xué)解題本質(zhì)

在傳統(tǒng)的解題教學(xué)過程中，大部分教師通常會采用理論知識講授的教學(xué)方法，反復(fù)強(qiáng)調(diào)此道題目中所蘊(yùn)含的公式、定理，忽視了知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并未引導(dǎo)學(xué)生采用類比的方式開展訓(xùn)練.為解決這一問題，教師可以在解題教學(xué)中采用結(jié)構(gòu)化類比的方式，引導(dǎo)學(xué)生基于問題的結(jié)構(gòu)特征，將其轉(zhuǎn)化、引申為自己較為熟悉的題目，并進(jìn)行比較，從中獲取解題靈感，探究題型結(jié)構(gòu)，追尋數(shù)學(xué)解題的本質(zhì).

以北師大版八年級上冊“勾股定理的應(yīng)用”這一課的教學(xué)為例，在課程開始前教師首先帶領(lǐng)學(xué)生回顧勾股定理的定義，喚醒學(xué)生的已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).在活躍的課堂氛圍下，教師提出了這樣的一道例題：

例1 如圖1，已知AB=3，BC=7，AC=5，那么∠A的值為多少？

解題思路：在已知三邊長度后，此類問題可以采用正弦或余弦定理輕松解決.然而這對于初中剛接觸勾股定理學(xué)習(xí)的學(xué)生而言較為困難，許多學(xué)生都不知該如何入手.這時，教師可以采用結(jié)構(gòu)化類比的方式，引導(dǎo)學(xué)生嘗試思考，結(jié)合直角三角形知識，將∠A與直角聯(lián)系起來.在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生先延長BA作輔助線，再過C點(diǎn)作BA延長線的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)D，并將AD的長設(shè)定為x，如圖2.

設(shè)計說明：上述例題中，學(xué)生由于并未接觸過正余弦定理，難以順利完成解題.教師借助結(jié)構(gòu)化類比的優(yōu)勢，引導(dǎo)學(xué)生將難以求解的圖形類比為已經(jīng)學(xué)過的直角三角形，從而通過直角三角形知識以及勾股定理解決問題.

如上，結(jié)構(gòu)化類比的方式能夠幫助學(xué)生建立知識點(diǎn)之間的內(nèi)部聯(lián)系，尋找部分關(guān)聯(lián)或結(jié)構(gòu)相似的問題，讓學(xué)生在比較和分析中，求出答案，感受類比在解題過程中的應(yīng)用優(yōu)勢.

（二）模式化類比，尋找數(shù)學(xué)解題路徑

區(qū)別于結(jié)構(gòu)化類比，模式化類比是指根據(jù)待解決問題的表象，尋找可以類比的相同性質(zhì)的問題，其關(guān)聯(lián)表現(xiàn)在解題方法以及解題策略上，例如最為常見的行程問題及工程問題.在模式化類比的導(dǎo)向下，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生在解題過程中進(jìn)行總結(jié)與概括，尋找最優(yōu)解題路徑，通過模式的類比感受數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)部聯(lián)系.

以北師大版八年級下冊“不等式的解集”這一課的教學(xué)為例，在教學(xué)環(huán)節(jié)，教師搜集資源后向?qū)W生分享了這樣的一道競賽題目：

設(shè)計說明：此道題目具有一定的難度，學(xué)生需要根據(jù)問題的表象尋找可類比的相同性質(zhì)的問題，此題中表象為不等式的關(guān)系，將其與一元二次方程進(jìn)行類比創(chuàng)建不等關(guān)系，能夠幫助學(xué)生求得問題的答案，找到解決問題的最優(yōu)路徑.

如上，模式化類比的引入能夠幫助學(xué)生建立更為完整的知識體系，讓學(xué)生在總結(jié)與概括中掌握解題模式，從而最大限度地提升自身的解題質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的提升與發(fā)展.

（三）特殊化類比，捕獲數(shù)學(xué)解題靈感

特殊化類比是將原命題中較為復(fù)雜的元素進(jìn)行精簡，運(yùn)用多維化的訴求方式將復(fù)雜問題類比為簡單問題進(jìn)行求解的一種方法.在傳統(tǒng)的解題過程中，部分教師為學(xué)生提供的題目信息較為復(fù)雜，且由于新高考改革，類似于情境化的試題也隨之增多，部分思維能力較弱的學(xué)生在解題過程中極易受到復(fù)雜的條件線索的影響從而降低解題質(zhì)量.因此教師可以采用特殊化類比方法，引導(dǎo)學(xué)生簡化問題內(nèi)容，捕獲數(shù)學(xué)解題靈感，提高自身解題水平.

以北師大版九年級下冊“弧長及扇形的面積”這一課的教學(xué)為例，通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)進(jìn)一步掌握了弧長公式以及扇形面積的表達(dá)方法.結(jié)合本章重點(diǎn)內(nèi)容，教師為學(xué)生帶來了這樣的一道例題：

例3 如圖3，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=8，BC=4，分別以AC，BC為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積應(yīng)為多少？

設(shè)計說明：此類題目能夠幫助學(xué)生在鞏固扇形面積計算方法的同時，有效幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角形的面積相關(guān)知識.將原命題中較為復(fù)雜的內(nèi)容化簡，能夠使學(xué)生輕松求得問題答案.教師通過特殊化類比的化簡方法，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，幫助其在解題過程中養(yǎng)成舉一反三的良好習(xí)慣.

如上，教師通過特殊化類比的方式能夠有效幫助學(xué)生捕獲數(shù)學(xué)解題靈感，讓學(xué)生在類比的過程中提高自身思維能力，構(gòu)建新舊知識之間的聯(lián)系，更好地實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升.

（四）跨學(xué)科類比，開闊數(shù)學(xué)解題視野

設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求，是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教育改革的大方向.在進(jìn)行類比解題教學(xué)的過程中，教師要及時突破自身固化思維模式，注重數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)，為學(xué)生設(shè)計內(nèi)容、形式豐富多樣的數(shù)學(xué)例題，促使學(xué)生在類比的過程中找尋知識內(nèi)所存在的同一性與關(guān)聯(lián)互補(bǔ)性，進(jìn)而有效拓寬學(xué)生的解題思路，幫助其在掌握數(shù)學(xué)知識的同時了解更多豐富的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

以北師大版八年級上冊“一次函數(shù)的應(yīng)用”這一課的教學(xué)為例，結(jié)合本章學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師將數(shù)學(xué)與物理知識進(jìn)行融合，為學(xué)生帶來了這樣的一道例題：

例4 已知甲、乙兩地相距300km，一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)前往乙地，如圖5，線段OA表示了貨車離甲地的距離y與時間x的函數(shù)關(guān)系，折線BCDE則表示了轎車離甲地的距離y與時間x的函數(shù)關(guān)系.根據(jù)圖像內(nèi)容，回答以下問題：

（1）線段DE對應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）計算轎車從甲地出發(fā)后需要經(jīng)過多長時間才能夠追趕上貨車.

解題說明：此類問題為路程問題，學(xué)生需要結(jié)合所學(xué)物理知識進(jìn)行求解.首先觀察第一個問題，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合物理知識進(jìn)行類比可知，行程問題中路程=速度×?xí)r間，根據(jù)對圖像內(nèi)容的觀察可知橫軸為時間、縱軸為路程，通過對D點(diǎn)坐標(biāo)以及E點(diǎn)坐標(biāo)的分析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比待定系數(shù)法，設(shè)DE所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx+b（2.5≤x≤4.5），在確定D點(diǎn)坐標(biāo)后代入求解，得出線段DE對應(yīng)的函數(shù)解析式.在第二個問題的求解過程中，教師同樣要指導(dǎo)學(xué)生基于問題的關(guān)鍵信息尋找其與所學(xué)知識的聯(lián)系，類比待定系數(shù)法求出OA的解析式y(tǒng)=60x（0≤x≤5），再繼續(xù)解題即可.

設(shè)計說明：跨學(xué)科類比的方式能夠幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固物理中所學(xué)的路程知識，深化對理論知識的理解.與此同時，將其融入數(shù)學(xué)題目，能夠幫助學(xué)生開闊數(shù)學(xué)解題視野，借助其他學(xué)科的特性類比，有效提高學(xué)生的解題能力，實(shí)現(xiàn)類比教學(xué)的真正目標(biāo).

如上，跨學(xué)科類比的方式能夠幫助學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的同時，了解數(shù)學(xué)與其他科目的關(guān)聯(lián)性，更好地適應(yīng)此類情境化試題的解決方法，為后續(xù)參與中考、高考做好準(zhǔn)備.

（五）降維化類比，突破數(shù)學(xué)解題難點(diǎn)

降維化類比能夠幫助學(xué)生簡化問題所運(yùn)用的知識，降低思考的難度.從近年來的中考題型中不難發(fā)現(xiàn)，其所呈現(xiàn)的問題更加注重對學(xué)生核心素養(yǎng)的檢測，學(xué)生不僅要具備良好的知識能力，還要具有對題目線索、題目信息的分辨能力.目前，部分教師在集體教學(xué)中仍舊過于重視對學(xué)生知識能力的培養(yǎng)，忽視了對其思維能力的訓(xùn)練.為解決這一問題，教師應(yīng)充分發(fā)揮類比法在數(shù)學(xué)解題過程中的重要價值，幫助學(xué)生掌握化簡技巧，運(yùn)用類比手段降低題目難度，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)理概念的內(nèi)部關(guān)系.

設(shè)計說明：此道題目的重點(diǎn)在于類比化簡，學(xué)生需要細(xì)致閱讀題目線索，找出其內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)每個加數(shù)都可以分裂為兩個數(shù)的差，最終相互抵消求出正確答案.

如上，降維化類比的方式能夠有效降低題目難度，在后續(xù)幾何學(xué)習(xí)中應(yīng)用此種方法能夠在極大程度上提高學(xué)生對于知識的理解程度，對提升解題教學(xué)質(zhì)量具有積極的促進(jìn)作用.

結(jié) 語

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用類比法，能夠啟發(fā)學(xué)生的類比推理、知識遷移思維，對于增進(jìn)學(xué)生對知識的理解、提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力有著積極意義.因此，教師應(yīng)充分關(guān)注類比法的重要教學(xué)價值，在解題教學(xué)中滲透類比思想，幫助學(xué)生通過訓(xùn)練養(yǎng)成良好的類比習(xí)慣，找尋各知識點(diǎn)之間的內(nèi)部聯(lián)系，從而更好地實(shí)現(xiàn)自身解題能力的提升與發(fā)展，有效實(shí)現(xiàn)高效解題課堂的構(gòu)建.

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