張濤

【摘要】分類討論思想是指在一些不確定的條件下，不能用統(tǒng)一的思路或結(jié)論解答問題時(shí)，按照可能出現(xiàn)的情況分別進(jìn)行討論并解答問題的一種方法，也是解答初中數(shù)學(xué)問題的常見方法之一.本文主要對三角形問題、動(dòng)點(diǎn)問題、方程問題的分類討論具體應(yīng)用進(jìn)行具體分析，結(jié)合具體例題總結(jié)分類討論思想的應(yīng)用情形，以此幫助學(xué)生獲得更高的分?jǐn)?shù)，更全面地思考問題.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；分類思想；解題研究

1 三角形問題分類討論

三角形的邊長和角度是考查的熱門角度，問題通常不會(huì)給出具體的三角形圖形，一些模棱兩可的條件導(dǎo)致多種三角形存在，直接解答有可能出現(xiàn)漏解和誤解的情況.對三角形問題分類討論，首先根據(jù)已知條件判斷三角形形狀是否明確，若不確定則需要分類討論，其次一些具有明確特征的三角形也需要分類討論，如直角三角形未說明直角邊和斜邊需要分類，等腰三角形未說明明確的腰和底也同樣需要分類討論.分類討論解題過程中，要注意三角形的分類準(zhǔn)確不重復(fù)，才能正確解答問題.

例1 在△ABC中，∠B=25°，AD是BC邊上的高，并且AD2=BD·DC，則∠BCA的度數(shù)為.

剖析 該問題沒有說明△ABC的具體形狀，故高AD有兩種情況，分別在三角形內(nèi)部和三角形外部，畫出兩種情況對應(yīng)的圖形，結(jié)合已知條件和相似三角形分析，即可得知問題所求角度.

解

①如圖1，當(dāng)三角形的高AD位于△ABC內(nèi)部時(shí)，

由AD2=BD·DC可得△ABD∽△CAD，

因?yàn)椤螧+∠BAD=90°，∠B=∠CAD，

所以∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，即△ABC為直角三角形，

因?yàn)椤螧=25°，

所以∠BCA=90°-∠B=65°.

②如圖2，當(dāng)三角形的高AD位于△ABC外部時(shí)，

由AD2=BD·DC可得△ABD∽△CAD，

因?yàn)椤螧=∠CAD=25°，

所以∠BCA=∠CAD+∠ADC=25°+90°=115°.

綜上，∠BCA的度數(shù)為65°或115°.

2 動(dòng)點(diǎn)問題分類討論

初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題通常以幾何圖形作為問題背景，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)對應(yīng)的情況也有所不同，故需要分類討論來解答問題.運(yùn)用分類討論解答動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，首先應(yīng)根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所在的不同位置進(jìn)行分類，如動(dòng)點(diǎn)位于幾何圖形的不同邊長進(jìn)行分類，其次在不同情況下分析問題涉及的函數(shù)關(guān)系，最后對所有情況進(jìn)行綜合從而得出答案.動(dòng)點(diǎn)問題常常會(huì)涉及函數(shù)關(guān)系，故熟練掌握函數(shù)類型和解析式求解有助于更高效地解答這類問題.

例2 如圖3，正方形ABCD的邊長為3cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以3cm/s的速度沿BC－CD－DA運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△AMN的面積為ycm2，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（? ）

剖析 動(dòng)點(diǎn)M與動(dòng)點(diǎn)N都在運(yùn)動(dòng)，但點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)不改變邊長位置，故解題時(shí)應(yīng)根據(jù)點(diǎn)M處于不同線段進(jìn)行分類討論，分別有點(diǎn)M在BC上、在CD上、在AD上三種不同情況，結(jié)合三角形面積公式表示y和x的關(guān)系得到函數(shù)表達(dá)式，即可對圖象進(jìn)行判斷和排除，最終符合所有情況的圖形即為正確答案.

解析 由題意可得BN=x，

①當(dāng)0≤x≤1時(shí)，點(diǎn)M在BC上，

BM=3x，AN=3－x，

故（C）錯(cuò)誤；

②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，點(diǎn)M在CD上，

故（D）錯(cuò)誤；

③當(dāng)2≤x≤3時(shí)，點(diǎn)M在AD上，

AM=9－3x，

故（B）錯(cuò)誤.

綜上，正確答案為（A）.

3 方程問題分類討論

與方程有關(guān)的初中數(shù)學(xué)問題也同樣是考查的熱門題型，涉及的方程類型有一元一次、一元二次、二元一次方程，問題常常會(huì)因?yàn)榇嬖诓淮_定范圍的參數(shù)導(dǎo)致方程類型不明確，需要運(yùn)用分類討論方法解題.分類討論可以對方程的類型做出討論，也可以對一元二次函數(shù)的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)進(jìn)行討論，解答方程類問題，需要熟記一些方程的概念和實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系表達(dá)式，結(jié)合分類討論方法靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)即可解答問題.

例3 關(guān)于x的方程a－1x2+3x－2=0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍為（? ）

剖析 由于方程的最高次項(xiàng)系數(shù)是a－1，a－1=0和a－1≠0分別對應(yīng)兩種不同類型的方程，分情況討論一元一次方程和一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)對應(yīng)的參數(shù)a的取值范圍，即可求出正確的答案.

解析 ①當(dāng)a－1≠0時(shí)，即a≠1，

由題意可得Δ=32－4a－1×－2≥0，

②當(dāng)a－1=0時(shí)，即a=1，

可知一元一次方程3x－2=0有實(shí)數(shù)根，

故a=1成立.

4 結(jié)語

在解答一些數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常會(huì)因?yàn)闆]有明確的定義或范圍導(dǎo)致多種情況的出現(xiàn)，分類討論思想的靈活運(yùn)用是解答這些問題的關(guān)鍵.在三角形問題中，通常根據(jù)邊長、角度兩個(gè)角度進(jìn)行分類，討論不同三角形的具體情況；在動(dòng)點(diǎn)問題中，常常根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所處的不同位置進(jìn)行分類，討論不同位置對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系；在方程問題中，主要根據(jù)方程類型、實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，討論對應(yīng)的情況.在這些題型中應(yīng)用分類討論思想，有助于提高學(xué)生的解題效率，也能幫助學(xué)生更全面地分析問題，解決問題.