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      高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中有效回避分類討論的若干策略

      2023-10-17 04:48:07林俊杰
      課堂內(nèi)外·高中教研 2023年8期
      關(guān)鍵詞:分類討論高中數(shù)學(xué)

      林俊杰

      摘? 要:分類討論是常見且重要的一種解題策略,它較好地體現(xiàn)了對“能力”的考查,備受命題者的關(guān)注,但分類討論需做到不重不漏,這就對思維的嚴(yán)謹(jǐn)性提出了較高的要求,學(xué)生常常會因為考慮不全面而導(dǎo)致解題失誤。從優(yōu)化解題過程、提高解題效率的角度來思考,有些問題可簡化或避免分類討論。文章結(jié)合例題,探析在高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中避免分類討論的若干策略。

      關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);分類討論;函數(shù)問題

      分類討論是高中數(shù)學(xué)中必須掌握的數(shù)學(xué)思想之一,掌握分類討論的思想方法有利于培養(yǎng)學(xué)生全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力,并能夠有邏輯地分析、解決問題。然而,這種數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生來說,難度非常大,掌握情況并不理想。具體表現(xiàn)在:沒有分類討論的意識,不知道分類討論的標(biāo)準(zhǔn)及討論的內(nèi)容。大多數(shù)分類討論的問題都與參數(shù)有關(guān),其實質(zhì)是“化整為零,各個擊破”,而事實上,并非所有含參數(shù)的問題都一定要分類討論,如果能夠優(yōu)化解題思路,選擇更好的解題策略,消除引起討論的因素,就能夠有效避免分類討論,從而達(dá)到簡化解題過程的目的,擺脫大量而煩瑣的討論,減少出錯機會。下面結(jié)合具體實例談?wù)動行П苊夥诸愑懻摰膸讉€策略。

      一、挖掘隱含條件有效避免討論

      有些數(shù)學(xué)題目中會有一些隱含條件,如果稍加留意,充分挖掘,就能避免復(fù)雜的分類討論,從而簡化解答過程。

      有些問題直接分類求解,費時費力,如果能充分挖掘條件中的隱含信息,從特殊入手,壓縮參數(shù)范圍,往往能減少分類討論,甚至回避分類討論。本題原來應(yīng)從n≤1,m<1

      二、進行等價轉(zhuǎn)化有效避免討論

      在解答有些問題時,有時可以將題目中的條件進行合理變形或等價轉(zhuǎn)化,結(jié)合一定的運算技巧就可避免分類討論。

      例2 設(shè)函數(shù)f(x)=lgx,若0f(b),求ab的取值范圍。

      對一些含絕對值號的問題,要常常利用公式、性質(zhì)進行合理計算,將其等價轉(zhuǎn)化為不需要分類討論的問題加以解決。本題先通過觀察題意得出函數(shù)的值域,再借用等價轉(zhuǎn)化及不等式的性質(zhì)脫去絕對值號,避免了分類討論,最后運用對數(shù)的運算公式,把復(fù)雜的分類計算簡化成對數(shù)值中真數(shù)的取值范圍求解,過程簡潔明了,計算亦化繁為簡。

      三、利用函數(shù)性質(zhì)有效避免討論

      函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性是函數(shù)的兩個重要性質(zhì),在解決含參數(shù)的函數(shù)問題時,若能夠適當(dāng)加以運用,則能有效避免分類討論。

      例3 設(shè)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞減,若f(1-t)

      對抽象函數(shù)問題,常見的解題是類比所熟知的函數(shù),根據(jù)所熟知函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)(代數(shù)性質(zhì)或幾何性質(zhì))尋找解題思路,簡化運算過程。本題通過運用偶函數(shù)的性質(zhì),直接將自變量1-t和t的范圍對應(yīng)到題目條件中的區(qū)間[0,+∞)內(nèi),避免了將自變量進行分類討論,再由題設(shè)中已知區(qū)間的單調(diào)性直接比較大小,大大簡化了解題的過程。

      四、消除參數(shù)隱患有效避免討論

      在含參數(shù)的問題中,參數(shù)往往是引起分類討論的根源,但若能通過某些手段,消除參數(shù),則能有效避免分類討論。

      例4 已知a>0,a≠1,求關(guān)于x的不等式loga(1-x)>loga(1+x)的解集。

      在有些含參數(shù)的代數(shù)式的大小比較中,其結(jié)果往往與參數(shù)無關(guān),因此用適當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?shù)是避免對參數(shù)討論的最佳思路。本題直接解決時要從底數(shù)a的范圍和脫去絕對值兩方面進行較煩瑣的分類討論,可若依據(jù)對數(shù)運算的換底公式,通過作商比較即可將作為參數(shù)的底數(shù)a消去,這就避免了對a是否大于1的分類討論,且將兩邊的絕對值均看作整體去作平方,又避開了脫去絕對值號時的討論,大幅提高了解題效率,使解答過程簡便順暢,提高解題的正確率。

      五、巧用數(shù)形結(jié)合有效避免討論

      利用數(shù)形結(jié)合直觀形象的特點,適當(dāng)構(gòu)造函數(shù),畫出相關(guān)圖形,改變觀察和思考問題的角度,能夠使問題由抽象變得直觀。

      例5 當(dāng)x∈(1,2)時,不等式(x-1)2

      此題若只看解析式,由于參數(shù)a在對數(shù)函數(shù)的底數(shù)部分,大部分人都會想要將a進行分類討論求解,但不等號左邊是一個二次函數(shù),而在自變量區(qū)間內(nèi)再討論兩個函數(shù)值域的范圍就過于煩瑣。若設(shè)f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,先畫出f1(x)的圖象,要使當(dāng)x∈(1,2)時,不等式(x-1)21。在同一直角坐標(biāo)系中畫出f1(x)和f2(x)的大致圖象,如圖1所示可知,要使條件成立,只需f1(2)≤f2(2),即(2-1)2≤loga2,loga2≥1,所以1

      圖象是函數(shù)的另一種表示形式,涉及函數(shù)、不等式和方程等問題時,如果能構(gòu)造出函數(shù)圖象,利用幾何圖形的直觀性探究出數(shù)形關(guān)系,往往能開拓新的解題思路。本題結(jié)合圖象可以一目了然地了解兩個函數(shù)值的分布和大小情況,巧妙地將數(shù)量關(guān)系與空間圖形結(jié)合起來,由圖象直接得到a的大致范圍,避免了分類討論,也能通過圖象直接找到符合條件的函數(shù)值范圍,便于由圖列出不等式。正確作出圖象,抓住圖象的主要特征是減少分類的突破口,借此可避免陷入煩瑣的討論或復(fù)雜運算,大幅提高了解題效率。

      六、利用正難則反的原則有效避免討論

      當(dāng)給出的問題從正面直接解決比較復(fù)雜,所討論的方面比較多時,就可以考慮從它的反面,即對立面進行考慮,最后再取其補集。

      例6 給出兩個命題,命題甲:關(guān)于x的不等式x2+(a-1)x+a2≤0的解集為;命題乙:函數(shù)f(x)=(2a2-a)x為增函數(shù)。若甲、乙中至少有一個是真命題,求實數(shù)a的取值范圍。

      命題甲為真時:Δ=(a-1)2-4a2<0?a>或a<-1;命題乙為真時:2a2-a>1?a>1或a<-。本題若從正面角度求解,需分三種情況討論:甲真乙假、乙真甲假、甲乙都真,則需要將每種情況的解集分別求出,再取并集;但是如果從它的反面角度考慮,則只需要求解一種情況,就是甲乙都假即可。甲為假命題時a的解集為

      有些問題涉及“至少”“不能”等,若從正面求解則需要復(fù)雜的分類討論,此時可從問題的反面入手,往往情形較少,甚至其反面可能只有一種情形而不需要分類。本題若從正面分類情況較多,而其反面卻只有一種情況,故可以調(diào)整思考角度用補集法從反面入手,去考慮問題的對立面,即從結(jié)論的反面去思考和探索,得出反面結(jié)論,再結(jié)合集合的性質(zhì)A∪CUA=U得到正確答案,這樣可以避免討論,將題目化難為易,化繁為簡,開拓解題思路。

      對一個具體問題,是否需要討論,如何避免分類討論,沒有固定的解題模式,應(yīng)具體問題具體分析,要根據(jù)題目所給的條件及要求去確定。通過對問題的分析,打開等價轉(zhuǎn)化的通道,讓參數(shù)與主元分離,讓問題的形式改變,并且盡量揭示問題的本質(zhì)與內(nèi)涵,聯(lián)想有關(guān)公式與結(jié)論,結(jié)合定義、性質(zhì)和直觀圖形,這樣才能創(chuàng)造性地解決問題。求簡,是數(shù)學(xué)解題的最高境界,而避免分類討論,是對解題者綜合能力的挑戰(zhàn),只有接受挑戰(zhàn),勇于創(chuàng)新,學(xué)生才能獲得更好的發(fā)展。

      參考文獻:

      [1]關(guān)峰. 見招拆招,避免分類討論[J]. 理科考試研究,2018,25(17):21-22.

      [2]張魁. 例談回避分類討論的六大策略[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2020(12):85-86.

      [3]胡藝. 化繁為簡 辨證高效——談數(shù)學(xué)解題過程中簡化和避免分類討論的方法[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2018(04):32-35.

      [4]毛妨妨. 解題中回避分類討論的若干方法[J]. 高中數(shù)學(xué)教與學(xué),2015(21):12-13.

      (責(zé)任編輯:淳? 潔)

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