周潔

【摘 ? 要】小學(xué)階段“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)是學(xué)生形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。而“變形的藝術(shù)”就是為學(xué)生空間想象力發(fā)展而設(shè)計(jì)的拓展內(nèi)容。教師通過“視頻導(dǎo)入，開啟想象空間；多圖觀察，形成想象基礎(chǔ)；操作助力，推動想象跨越；推理實(shí)踐，促使想象可視；自主構(gòu)建，拓展想象深度”等學(xué)習(xí)活動，為學(xué)生搭建空間想象力發(fā)展的階梯，增強(qiáng)學(xué)生對圖形變換進(jìn)行全面分析的能力，促進(jìn)學(xué)生空間想象力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】空間想象力；好奇心；觀察；變形的藝術(shù)

“做中學(xué)”是學(xué)科實(shí)踐中的學(xué)習(xí)方式之一。那么，對于“變形的藝術(shù)”這樣全新的拓展內(nèi)容，學(xué)生能在好奇心的引領(lǐng)下進(jìn)行操作，通過操作獲得活動經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，借助分析推動想象、創(chuàng)造嗎？如果能，具體該如何教學(xué)呢？

一、課前思考

在小學(xué)階段，“圖形與幾何”領(lǐng)域的兩大主題內(nèi)容為“圖形的認(rèn)識與測量”和“圖形的位置與運(yùn)動”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）指出，學(xué)生經(jīng)歷這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，有助于理解現(xiàn)實(shí)生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)，是形成空間想象力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。不過，除了按教材中的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，還有沒有可能以綜合實(shí)踐活動的方式，設(shè)計(jì)專門的拓展內(nèi)容，讓學(xué)生通過判斷圖形的形狀、大小及運(yùn)動位置關(guān)系來發(fā)展空間想象力？

江蘇衛(wèi)視《最強(qiáng)大腦》節(jié)目有一個挑戰(zhàn)項(xiàng)目叫“變形藝術(shù)”，該項(xiàng)目非?？简?yàn)玩家的空間想象力和分析能力?！白冃嗡囆g(shù)”原本是文藝復(fù)興時期的藝術(shù)創(chuàng)作手法，其特別之處在于，畫家在平面上畫一些抽象的圖像，而觀賞者需要利用鏡面反射原理，使用定制的曲面鏡（如圓柱形鏡子、球鏡等）才能欣賞作品。常見的平面鏡成像與數(shù)學(xué)中的軸對稱變換關(guān)系密切，而曲面鏡成像會使圖像發(fā)生一定變形，通過從平面到曲面的反射，就可以實(shí)現(xiàn)從抽象到具象的轉(zhuǎn)換。對小學(xué)生而言，這是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的空間想象活動。筆者受此啟發(fā)，借鑒“變形藝術(shù)”的設(shè)計(jì)理念，將“燒腦”的挑戰(zhàn)項(xiàng)目轉(zhuǎn)化為學(xué)生可實(shí)際操作、自主探究的拓展內(nèi)容。具體教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）在探索“變形的藝術(shù)”的秘密的過程中，通過引導(dǎo)學(xué)生想象圖形的原圖或鏡像，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。

（2）通過“變形”活動，讓學(xué)生了解和體驗(yàn)多種圖形運(yùn)動方式，在圖形變換中發(fā)展空間觀念，提升空間想象力。

（3）通過有層次的活動，讓學(xué)生將操作與想象、推理、表達(dá)等有機(jī)結(jié)合起來，發(fā)展空間觀念，提升空間想象力。

二、教學(xué)實(shí)踐

（一）視頻導(dǎo)入，開啟想象空間

好奇是人的本能，當(dāng)學(xué)生開始好奇某個現(xiàn)象并對其產(chǎn)生疑問時，就說明他已經(jīng)開始思考了。這時候開展探究學(xué)習(xí)活動，能讓學(xué)生全身心投入，在好奇心的引領(lǐng)下縮短現(xiàn)實(shí)與想象的距離。

課堂伊始，教師播放綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中有關(guān)“變形藝術(shù)”的片段。在學(xué)生的驚嘆中，教師出示圖1，并提出問題：你能想象出這個圖案在圓柱形鏡子（以下簡稱“圓柱鏡”）中可能是什么嗎？

學(xué)生觀察后，提出五花八門的猜想：葉子、彩帶、小海燕……接著，教師請一名學(xué)生用圓柱鏡來驗(yàn)證猜想，親眼見證鏡像的產(chǎn)生，從而發(fā)現(xiàn)這原來是學(xué)校?；罩械男『Ｑ啵ㄈ鐖D2）。

設(shè)計(jì)意圖：從《最強(qiáng)大腦》節(jié)目的挑戰(zhàn)項(xiàng)目引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和好奇心，促使他們展開思考與想象，開啟探索學(xué)習(xí)活動。接著，通過讓學(xué)生經(jīng)歷直覺想象，猜想圖片在圓柱鏡中的鏡像并現(xiàn)場揭秘，使他們初步感受變形藝術(shù)的魅力，為用數(shù)學(xué)眼光觀察“變形的藝術(shù)”的奧秘做好熱身。

（二）多圖觀察，形成想象基礎(chǔ)

學(xué)生探究的熱情很容易因?yàn)闆]有研究方向而慢慢消退，所以教師要及時提高學(xué)生的感覺清晰度，也就是增強(qiáng)學(xué)生的感受，并在此過程中提高他們的感受力。教師要讓學(xué)生的身體感官與他們的認(rèn)知對象充分接觸、交流，使學(xué)生得到鮮活的感官刺激，從而促進(jìn)他們的大腦進(jìn)行知識加工。

在學(xué)生初步了解“變形”活動之后，教師以杭州迎亞運(yùn)為背景，呈現(xiàn)和亞運(yùn)會有關(guān)的3幅圖：邀請函、新能源車和亞運(yùn)會標(biāo)（如圖3）。請學(xué)生想一想這3幅圖在圓柱鏡中會怎么變形。

在教學(xué)反饋環(huán)節(jié)，教師讓學(xué)生說一說這3幅圖在圓柱鏡中分別會發(fā)生什么變化，但并不作評價，目的是讓學(xué)生發(fā)揮想象力。開展想象活動之后，再讓學(xué)生帶著學(xué)習(xí)任務(wù)，動手用圓柱鏡照一照，看看圖片在圓柱鏡中會怎么變形，驗(yàn)證圖片的變化（如圖4）。接著，讓學(xué)生同桌交流自己的發(fā)現(xiàn)，嘗試用語言表達(dá)原圖和鏡像之間的關(guān)系，并結(jié)合具體圖片解釋發(fā)現(xiàn)的合理性。

在驗(yàn)證操作和觀察鏡像后，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：原圖和鏡像方向相反，需要通過想象將原圖向上翻轉(zhuǎn)才能得到鏡像。教師引導(dǎo)學(xué)生一起想象，然后用課件展示向上翻轉(zhuǎn)后的圖像（如圖5）。有的學(xué)生指出：“直的線變彎曲，彎曲的線變直。”教師追問：“為什么會有這樣的變化？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考：圓柱鏡側(cè)面是彎曲的，因此翻轉(zhuǎn)后的圖像會“沿柱面彎曲”。還有學(xué)生指出“鏡像變長變窄了”，于是教師組織學(xué)生一起按順序從左往右觀察，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)鏡像還會“向中間收縮”。

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)時，教師緊緊抓住學(xué)生的好奇心，提供多幅圖片，讓學(xué)生經(jīng)歷想一想、照一照、看一看、說一說的過程，感知原圖和鏡像之間的關(guān)系，初步體會變形的奧秘。學(xué)生經(jīng)歷猜想、操作、表達(dá)的完整過程，從而將直覺經(jīng)驗(yàn)用語言描述出來。

（三）操作助力，推動想象跨越

想象是對頭腦中已有的表象進(jìn)行加工、改造和創(chuàng)新的思維過程。教師在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，適時提供由易到難的材料，能夠推動學(xué)生實(shí)現(xiàn)從“有鏡”到“無鏡”的想象跨越。

在學(xué)生初步感知原圖與鏡像之間的關(guān)系后，教師出示圖6，提出挑戰(zhàn)性任務(wù)：你們能想象這些變形畫在圓柱鏡中是什么圖案嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考后，教師讓學(xué)生先在小組內(nèi)討論交流，用語言描述想象的圖案，再在全班匯報(bào)。在學(xué)生表達(dá)時，教師用課件演示翻轉(zhuǎn)和變化的過程（如圖7）。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生經(jīng)歷直觀感覺、操作觀察、語言表達(dá)等活動過程，認(rèn)識到圖像在圓柱鏡中不僅會向上翻轉(zhuǎn)，還會沿柱面彎曲、向中間收縮。學(xué)生通過先想象，再用圓柱鏡驗(yàn)證的過程，逐漸從感性體驗(yàn)上升到理性認(rèn)識。

（四）推理實(shí)踐，促使想象可視

在教學(xué)活動中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生對圖形進(jìn)行推理分析的能力，使學(xué)生在解決問題的過程中，不僅能理解，還能運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識主動進(jìn)行分析和應(yīng)用。

經(jīng)過想象，學(xué)生學(xué)會了看圖。教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生迎接更大的挑戰(zhàn)：要想在圓柱鏡中看到底是8格、高是2格的等腰三角形，對應(yīng)的變形圖怎么畫？你想選擇哪種格子圖來畫（如圖8）？

要從鏡像中看到三角形畫在方格圖上，那么原圖中的方格要做怎樣的變化呢？經(jīng)過討論，學(xué)生一致認(rèn)為要選③號圖（以下將這種由方格圖變形后形成的圖簡稱“曲格圖”）來畫三角形，因?yàn)樗趫A柱鏡中會翻轉(zhuǎn)，往外張開的線向中間收縮后會變直。

顯然，學(xué)生此時已經(jīng)初步掌握了圓柱鏡變形的規(guī)律。在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生嘗試在曲格圖中畫一畫等腰三角形對應(yīng)的變形圖。學(xué)生需要先獨(dú)立嘗試，再分享畫變形圖的方法。通過實(shí)踐，學(xué)生以自己的作品（如圖9）為例，指出三個關(guān)鍵的畫法：（1）要將等腰三角形向下翻轉(zhuǎn)；（2）因?yàn)榈妊切蔚走呎挤礁駡D的8格，并距底部2格，所以底邊在曲格圖中要距頂部2格，并且要變成曲線；（3）方格圖中的“高”是2格，所以在曲格圖最中央的位置向下數(shù)2格就是頂點(diǎn)，最后還要用彎曲的線將頂點(diǎn)與底邊連接起來。

學(xué)生分享自己的方法后，教師追問：“這名同學(xué)能畫成功，你覺得最關(guān)鍵的是什么？”學(xué)生異口同聲地回答：關(guān)鍵是要找準(zhǔn)3個點(diǎn)的位置。教師順勢展示另一幅作品（如圖10）進(jìn)行對比，并提問：“這名同學(xué)也找準(zhǔn)了這3個點(diǎn)的位置，怎么在圓柱鏡中還是不像等腰三角形？”學(xué)生繼續(xù)對比分析，指出兩腰的中點(diǎn)在方格圖的格點(diǎn)處是關(guān)鍵點(diǎn)，因此也要畫在曲格圖中對應(yīng)的位置。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：在我們學(xué)過的數(shù)學(xué)知識中，有沒有能幫助我們快速找到點(diǎn)位置的方法？經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)識到可以借助“數(shù)對”來確定點(diǎn)的位置。于是教師在學(xué)生的作品中標(biāo)上“數(shù)對”（如圖11），并建議學(xué)生在后續(xù)創(chuàng)作中也可以標(biāo)一標(biāo)、試一試。

設(shè)計(jì)意圖：在本環(huán)節(jié)中，教師讓學(xué)生經(jīng)歷自主推理的過程，認(rèn)識到變形圖要畫在曲格圖中。在學(xué)生繪制出等腰三角形的變形圖后，再組織學(xué)生對比交流。學(xué)生通過這樣的繪制、表達(dá)、傾聽、對比、優(yōu)化的過程，進(jìn)一步發(fā)展推理和空間想象能力。在注重變形想象的同時，教師還引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)對”確定點(diǎn)的位置，體會圖形的形狀雖然變了，但經(jīng)過相同規(guī)則的變化后，各部分的相對位置卻不變，理解了圖形的運(yùn)動不變性。

（五）自主構(gòu)建，拓展想象深度

想象是最自由的思考。在課堂中，教師要給學(xué)生提供充分的時間進(jìn)行想象，不斷豐富學(xué)生的想象體驗(yàn)，為學(xué)生的思維由具象向抽象發(fā)展打下基礎(chǔ)。

到了學(xué)生自由創(chuàng)作階段，教師請學(xué)生自由構(gòu)思變形畫：想象原圖與鏡像，在曲格圖中畫出變形圖。有了前面活動的基礎(chǔ)，學(xué)生的想象力得到了明顯的提升，畫出了各種各樣的變形圖（如圖12）。

設(shè)計(jì)意圖：有了方法和經(jīng)驗(yàn)，只要給學(xué)生提供充分的時間，他們就能創(chuàng)造出豐富多彩的作品。整個創(chuàng)作過程以“想象”為基礎(chǔ)，學(xué)生經(jīng)歷“想象—嘗試—驗(yàn)證—調(diào)整—想象”的過程，在輕松的氛圍中，想象力得到了有效提升。

三、教后所思

美國教育心理學(xué)家大衛(wèi)·洛曼是這樣定義空間想象力的：“空間想象力是一種形成、保持、恢復(fù)和傳輸結(jié)構(gòu)良好的視覺圖像的能力。”［2］在“變形的藝術(shù)”的教學(xué)實(shí)踐中，教師引導(dǎo)學(xué)生在操作后用語言將觀察到的變形規(guī)律描述出來，讓想象有跡可循，并能用個性化的表達(dá)方式進(jìn)行表征。學(xué)生對“變形的藝術(shù)”奧秘的探究不是一次性完成的，整個探究過程一共用到了以下5份學(xué)習(xí)材料。

1.“小海燕”變形圖。這是視頻導(dǎo)入的學(xué)習(xí)材料，能激發(fā)學(xué)生的好奇心。當(dāng)然，這時學(xué)生的想象只是一種直覺想象。而在探究變形的奧秘后再次呈現(xiàn)這幅圖，就是引導(dǎo)學(xué)生對先前的直覺想象進(jìn)行突破性的再認(rèn)識，從而使學(xué)習(xí)形成一個閉環(huán)，前后呼應(yīng)。

2. 3幅原圖。在原圖和鏡像的對比中，學(xué)生第一次用自己的語言描述了變形的規(guī)律與特點(diǎn)。正是這3幅變形特點(diǎn)鮮明的關(guān)鍵性圖片，使學(xué)生從感性體驗(yàn)慢慢走向理性認(rèn)識，并讓后續(xù)每一次的想象有跡可循。

3. 3幅變形圖。這是學(xué)生概括出變形特點(diǎn)后第一次應(yīng)用時的材料，也是讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從原來需“有鏡”助力想象到現(xiàn)在可以“無鏡”自主想象的認(rèn)知跨越材料。助力學(xué)生展開理解性想象，在增加學(xué)生體驗(yàn)感的同時，也提升了他們的獲得感。

4.方格圖與對應(yīng)的曲格圖。這是在已知變形特點(diǎn)后組織學(xué)生討論、推理并決策的材料，引導(dǎo)學(xué)生對變形特點(diǎn)進(jìn)行再次應(yīng)用。通過請學(xué)生嘗試畫出等腰三角形對應(yīng)的變形圖，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識體系中提取 “一一對應(yīng)”“數(shù)對”等知識，幫助學(xué)生解決變形圖怎么繪制才能讓鏡像特征明顯的問題。

5.學(xué)生自主創(chuàng)作的作品。在課堂的最后讓學(xué)生自主繪制變形圖，滿足學(xué)生個性化發(fā)展的需要，同時拓寬學(xué)生生成作品的寬度，讓學(xué)生看著變形圖再次想象鏡像，實(shí)現(xiàn)生生互動。

總之，“變形的藝術(shù)”的拓展內(nèi)容讓學(xué)生在好奇心的引領(lǐng)下，通過觀察、操作、表達(dá)、推理、想象等學(xué)習(xí)活動，增強(qiáng)對圖形變換進(jìn)行全面分析的能力。正因?yàn)閷W(xué)生的空間想象力發(fā)展有限，抽象概括能力較弱，所以更需要操作活動的外在支持。操作活動將想象與現(xiàn)實(shí)進(jìn)行鏈接，搭建了學(xué)生空間想象力發(fā)展的階梯，使學(xué)生在驗(yàn)證與對比中給想象以正向反饋或修正的機(jī)會，促進(jìn)了學(xué)生空間想象力的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］孫四周.想象的分類及培養(yǎng)［J］.教育研究與評論，2022（1）：50-60.

［3］許嘉璐，曹才翰.中國中學(xué)教學(xué)百科全書（數(shù)學(xué)卷）［M］.沈陽：沈陽出版社，1991.

（浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院附屬小學(xué)）