李琿

［摘? 要］ 辯證唯物主義認(rèn)為：世間萬(wàn)物都存在著一定的矛盾，矛盾雙方是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，這種關(guān)系是推動(dòng)事物本身發(fā)展的原動(dòng)力. “教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)模式存在矛盾，但能有效推動(dòng)學(xué)生認(rèn)知能力的發(fā)展. 文章以“勾股定理”的教學(xué)為例，從情境創(chuàng)設(shè)、形成猜想、驗(yàn)證猜想、歸納定理等方面展開(kāi)分析，并對(duì)本節(jié)課的教學(xué)提出幾點(diǎn)思考.

［關(guān)鍵詞］ 教師為主導(dǎo)；學(xué)生為主體；勾股定理

“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的基本教學(xué)模式. 教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在教學(xué)內(nèi)容、方法、方向與組織形式的選擇和設(shè)計(jì)上；學(xué)生的主體作用主要體現(xiàn)在學(xué)生是教學(xué)活動(dòng)中認(rèn)知發(fā)展的主體［1］. 如何將這兩者靈活地應(yīng)用在課堂教學(xué)中呢？筆者以“勾股定理”的教學(xué)為例展開(kāi)分析.

教學(xué)過(guò)程

1. 情境創(chuàng)設(shè)

類似于概念教學(xué)，定理教學(xué)也應(yīng)將知識(shí)還原到客觀實(shí)際中，讓學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中自主抽象定理的本質(zhì)屬性，也可以通過(guò)問(wèn)題的變式，促使學(xué)生在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)上實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移. 勾股定理作為一個(gè)千古名定理，在教學(xué)中有著非比尋常的意義. 教師在授課前，應(yīng)結(jié)合學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平進(jìn)行問(wèn)題情境的精心設(shè)計(jì)，力求快速帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入探究狀態(tài).

問(wèn)題1 如圖1所示，這是2500年前，古希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)看到的地磚圖案，他發(fā)現(xiàn)地磚上的直角三角形的三條邊竟然存在著某種特殊的關(guān)系，我們也來(lái)觀察一下，看看有什么發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 畢達(dá)哥拉斯從朋友家的地磚上發(fā)現(xiàn)直角三角形的奧秘，這是一個(gè)有趣且具有激勵(lì)作用的歷史故事，將這個(gè)故事放到課堂的起始環(huán)節(jié)，不僅具有激趣、喚醒的意義，還為勾股定理的探索提供了素材. 教師要求學(xué)生站到畢達(dá)哥拉斯的角度重新觀察地磚，這從一定意義上來(lái)說(shuō)，屬于知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程，學(xué)生從“形”出發(fā)，思考“數(shù)”的關(guān)系，這為數(shù)形結(jié)合思想的滲透奠定了基礎(chǔ).

探索此問(wèn)題情境時(shí)，教師的主導(dǎo)作用著重體現(xiàn)在為學(xué)生提供探索素材與猜想的環(huán)境，為定理的形成奠定基礎(chǔ)，而學(xué)生的探索在此情境中具有重要意義，這也是以學(xué)生為課堂主體的體現(xiàn). 因此，這是一個(gè)有效激發(fā)學(xué)生自主創(chuàng)新的問(wèn)題情境，是發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)的起點(diǎn).

2. 形成猜想

探究1 將面積相關(guān)的結(jié)論轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形三條邊的數(shù)量關(guān)系，可以怎么描述？（如圖2所示）

探究2 圖3是希臘發(fā)行過(guò)的郵票，該郵票的發(fā)行目的是為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯，說(shuō)說(shuō)你從郵票的圖案中發(fā)現(xiàn)了什么.

探究3 總結(jié)前兩個(gè)探究問(wèn)題會(huì)發(fā)現(xiàn)直角三角形的三條邊存在一個(gè)共同特點(diǎn)，即兩條直角邊的平方和與斜邊的平方和相等. 思考：是不是任何直角三角形，均具備這個(gè)特點(diǎn)？

探究4 如何驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論的正確性？（借助幾何畫板探索）

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題串的應(yīng)用，讓學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)與猜想的過(guò)程，思維實(shí)現(xiàn)從具體到抽象，由特殊到一般的逐層遞進(jìn)過(guò)程. 幾何畫板的介入，讓課堂變得更加豐富，學(xué)生從直觀的“形”中更容易理解直角三角形存在的數(shù)形關(guān)系.

此環(huán)節(jié)中，教師的主導(dǎo)作用有：①適當(dāng)點(diǎn)撥，啟發(fā)引導(dǎo). 探究活動(dòng)的開(kāi)展，讓學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、猜想等過(guò)程. 當(dāng)學(xué)生的思維出現(xiàn)障礙時(shí)，教師通過(guò)適當(dāng)點(diǎn)撥與引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生明確探究的方向. ②營(yíng)造氛圍，鼓勵(lì)猜想. 教師為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了良好的學(xué)習(xí)氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)自主探索進(jìn)行大膽猜想.

學(xué)生的主體地位體現(xiàn)在：①學(xué)生從自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與探究與活動(dòng)相關(guān)的信息，自主探究新知. ②合作交流. ③勇于猜想，形成初步結(jié)論.

3. 驗(yàn)證猜想

所有的猜想都需要有理有據(jù)的論證過(guò)程去證實(shí)它，驗(yàn)證方法有很多，如實(shí)踐操作、動(dòng)態(tài)演示、理論證明等，這些方法都可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，尤其是自主操作模式，更容易激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探索欲.

問(wèn)題2 如圖4所示，勾三，股四，弦?guī)缀?？此圖帶給你們什么啟示？是否能借助此圖來(lái)證明以上猜想？若能，請(qǐng)寫明過(guò)程.

圖片背景：這是我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中提出的經(jīng)典問(wèn)題. 其中，勾、股分別指直角三角形中，稍短的直角邊與較長(zhǎng)的直角邊，斜邊為弦，該圖簡(jiǎn)稱“弦圖”.

命題：若a，b分別是直角三角形的兩條直角邊，c是斜邊，則a2+b2=c2.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)史的應(yīng)用，能讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)文化，能引發(fā)學(xué)生從觀察中嘗試，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主探究與合作交流能力. 同時(shí)教師還通過(guò)滲透轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生將直角三角形的三邊關(guān)系轉(zhuǎn)化成面積關(guān)系，建立恒等式以獲得命題.

活動(dòng)1 已知四個(gè)全等直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，若將這四個(gè)三角形圍成一個(gè)小正方形與一個(gè)大正方形，有幾種方法？并根據(jù)拼圖證明問(wèn)題2中的命題. （學(xué)生的圍法如圖5所示）

活動(dòng)2 如圖6所示，按照?qǐng)D示方法剪裁該圖形，請(qǐng)根據(jù)獲得的圖形證明問(wèn)題2中的命題.

設(shè)計(jì)意圖 教師以實(shí)踐操作替代單一的講授，不僅能激發(fā)學(xué)生對(duì)勾股定理的研究興趣，還將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給了學(xué)生. 學(xué)生親歷動(dòng)手過(guò)程，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感知知識(shí)的形成與定理的推理，有效地鍛煉了思維的發(fā)散性與靈活性，為形成良好的數(shù)學(xué)思想方法奠定了基礎(chǔ).

教師的主導(dǎo)作用主要體現(xiàn)在以下幾方面：①驗(yàn)證方法的點(diǎn)撥、操作、驗(yàn)算、演示等；②論證方法的點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想結(jié)論進(jìn)行論證；③必要時(shí)進(jìn)行鼓勵(lì)性評(píng)價(jià).

學(xué)生的主體地位主要體現(xiàn)在：①親自動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想的命題是否科學(xué)；②自主探索猜想的完整論證過(guò)程；③同伴交流，共享學(xué)習(xí)成果.

4. 歸納定理

從猜想的提出到命題的論證，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從感性到理性的轉(zhuǎn)化. 在此基礎(chǔ)上進(jìn)行定理的歸納就變得水到渠成了.

問(wèn)題3 大家在以上教學(xué)環(huán)節(jié)都經(jīng)歷了猜想的論證過(guò)程，現(xiàn)在請(qǐng)大家對(duì)勾股定理進(jìn)行歸納總結(jié).

教師要求學(xué)生分別用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言與圖形語(yǔ)言來(lái)表達(dá)勾股定理，力求全方位理解該定理.

文字語(yǔ)言：略.

設(shè)計(jì)意圖 從不同角度歸納、概括勾股定理，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精練、數(shù)學(xué)符號(hào)的抽象性與圖形的直觀性等，為接下來(lái)的定理遷移與靈活應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).

在定理教學(xué)中，教師不應(yīng)急于帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，而應(yīng)通過(guò)進(jìn)一步的探討深化學(xué)生對(duì)公式、定理的認(rèn)識(shí)，如通過(guò)變式應(yīng)用、公式變形等方式讓學(xué)生從多維度對(duì)勾股定理形成更加客觀、全面的認(rèn)識(shí).

此環(huán)節(jié)教師的主導(dǎo)作用有：①喚醒學(xué)生繼續(xù)深入探究的欲望，進(jìn)行激勵(lì)性評(píng)價(jià). ②引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式來(lái)表達(dá)勾股定理. 學(xué)生的主體地位體現(xiàn)在：①錘煉對(duì)勾股定理的表述與主動(dòng)識(shí)記. ②主動(dòng)通過(guò)變式對(duì)勾股定理形成深入理解.

5. 例題教學(xué)

例題教學(xué)是定理教學(xué)的重中之重，教師可結(jié)合學(xué)生課堂反饋情況與教學(xué)目標(biāo)，通過(guò)例題的精心選編與變式的應(yīng)用，促進(jìn)學(xué)生對(duì)定理本質(zhì)的掌握，從而形成舉一反三的解題能力.

問(wèn)題4 分別求出圖8中兩個(gè)直角三角形一邊的長(zhǎng)x.

變式1 分別求出圖9中x，y，z的值（即直角三角形一邊的長(zhǎng)）.

變式2 已知△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，求AB的長(zhǎng)度.

變式3 已知Rt△ABC中，BC=8，AC=6，求AB的長(zhǎng)度.

變式4 已知△ABC中兩條邊的長(zhǎng)分別為6和8，能否根據(jù)這個(gè)條件求出第三條邊的值？

設(shè)計(jì)意圖 由淺入深的變式設(shè)計(jì)能讓學(xué)生的思維經(jīng)歷從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變過(guò)程. 變式涉及“直接引用—間接應(yīng)用—構(gòu)造應(yīng)用”三個(gè)層次，變式間層次清晰，梯度明顯，且環(huán)環(huán)相扣.

問(wèn)題5 如圖10所示，分別以一個(gè)直角三角形的三條邊向外側(cè)作正方形，記三個(gè)正方形的面積分別為S，S，S，那么結(jié)論S=S+S成立嗎？

變式1 如圖11所示，分別以一個(gè)直角三角形的三條邊向外側(cè)作等腰直角三角形，記三個(gè)等腰直角三角形的面積分別為S，S，S，那么結(jié)論S=S+S成立嗎？

變式2 如圖12所示，分別以一個(gè)直角三角形的三條邊向外側(cè)作半圓，記三個(gè)半圓的面積分別為S，S，S，那么結(jié)論S=S+S成立嗎？

變式3 按照這種變式思路，還可以設(shè)計(jì)出怎樣的問(wèn)題？并說(shuō)說(shuō)這些問(wèn)題的結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題5所展示的一組變式以圖形的變化為主線，意在引導(dǎo)學(xué)生研究以直角三角形三邊為邊所擴(kuò)展而來(lái)的幾何圖形面積間存在的關(guān)系.

此環(huán)節(jié)，教師的主導(dǎo)作用有：①精心設(shè)計(jì)針對(duì)性強(qiáng)、具有可探索性的變式問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注到勾股定理的應(yīng)用. ②變式的提出，鼓勵(lì)學(xué)生自主探索. ③要求學(xué)生結(jié)合變式規(guī)律進(jìn)行編題. ④對(duì)勾股定理的應(yīng)用技巧進(jìn)行點(diǎn)撥與評(píng)價(jià).

學(xué)生的主體地位體現(xiàn)在：①準(zhǔn)確利用勾股定理解決問(wèn)題，同時(shí)關(guān)注到多解的情況. ②主動(dòng)研究變式，獲得題組，擴(kuò)大學(xué)習(xí)成效. ③積極參與編題，形成創(chuàng)新意識(shí). ④邊解題邊總結(jié)，獲得定理的應(yīng)用技巧.

6. 課堂總結(jié)

問(wèn)題6 數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：如果其他星球上真的有外星人存在，那么人類可應(yīng)用“勾股圖”與他們聯(lián)系［2］. 聯(lián)系本節(jié)課你們對(duì)勾股定理的理解，說(shuō)說(shuō)你們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí).

學(xué)生主要做出以下幾點(diǎn)總結(jié)：

（1）勾股定理源遠(yuǎn)流長(zhǎng)

古今中外流傳了五百多種證明勾股定理的方法，且廣泛地應(yīng)用在現(xiàn)實(shí)生活中，是數(shù)學(xué)世界的千古第一定理，在2002年還被選為第24屆在北京舉行的國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)標(biāo).

（2）利用數(shù)形結(jié)合證定理

學(xué)生將幾種常見(jiàn)的證明方法羅列到一起，展示勾股定理的證明過(guò)程，形成了良好的數(shù)形結(jié)合思想.

（3）勾股定理的數(shù)學(xué)美

如圖13所示，通過(guò)對(duì)圖形進(jìn)行不斷延伸，可形成無(wú)與倫比的勾股樹，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生在問(wèn)題6的引導(dǎo)下，對(duì)勾股定理的文化、數(shù)學(xué)美，以及數(shù)學(xué)思想等進(jìn)行總結(jié)分析，感知這千古第一定理的魅力，從而產(chǎn)生情感共鳴，培養(yǎng)探索精神.

此環(huán)節(jié)中，教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在問(wèn)題的提出上，而學(xué)生的主體地位表現(xiàn)在自主從不同角度總結(jié)勾股定理的特點(diǎn)，提煉勾股定理的本質(zhì)特征.

教學(xué)思考

1. 情境創(chuàng)設(shè)要具有召喚作用

課堂中，學(xué)生的參與性并不完全是自發(fā)的，大部分時(shí)候需要教師結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特征，創(chuàng)造一些情境渲染教學(xué)環(huán)境，為學(xué)生的積極參與搭建平臺(tái)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，召喚學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，從而讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)習(xí)是一件愉快的事情.

本節(jié)課，教師從數(shù)學(xué)史出發(fā)，以畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)看到的地磚圖案為情境，成功地激發(fā)了學(xué)生對(duì)知識(shí)探究的欲望，讓學(xué)生不由自主地參與到勾股定理的研究中. 情境創(chuàng)設(shè)的過(guò)程，體現(xiàn)了教師在課堂中的主導(dǎo)作用，而學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考、研究與探索，則體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

2. 注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透工作

教學(xué)除了傳授知識(shí)與技能，還要注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其中，數(shù)學(xué)文化的滲透是必不可少的環(huán)節(jié)，它對(duì)陶冶學(xué)生的數(shù)學(xué)情操，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美具有重要影響. 本節(jié)課，教師通過(guò)大量數(shù)學(xué)故事與圖案的引入，成功地激發(fā)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的興趣與對(duì)數(shù)學(xué)美的追求. 數(shù)學(xué)史料由教師提供，體現(xiàn)了教師的主導(dǎo)作用，而真正接納知識(shí)、形成能力則展現(xiàn)了學(xué)生的主體地位.

3. 關(guān)注探究過(guò)程學(xué)生的參與性

教學(xué)不僅僅是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的過(guò)程，還體現(xiàn)了一些社會(huì)化的元素［3］. 教學(xué)中，教師的講授、學(xué)生的互動(dòng)與交流對(duì)課堂的進(jìn)展均具有重要的促進(jìn)作用. 尤其是在合作交流中，學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)圖形進(jìn)行描述時(shí)，需清晰、完整，并與同伴的思維進(jìn)行類比，力爭(zhēng)對(duì)知識(shí)形成更深層次的理解.

總之，以“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)是落實(shí)新課標(biāo)的體現(xiàn)，是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成與發(fā)展的重要舉措. 每一位教師都應(yīng)積極地反思自身的教學(xué)行為，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)更加優(yōu)越的學(xué)習(xí)環(huán)境，以充分激發(fā)學(xué)生在課堂中的主人翁意識(shí)，促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng).

參考文獻(xiàn)：

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