廣東省中山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528400)楊沛娟

1 試題呈現(xiàn)

(2023 廣東一模試題) 已知點(diǎn)A, 點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓上不同的三個(gè)點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí),ΔABC恰好是邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形.

(1)求橢圓C標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若O為原點(diǎn),且滿足,求ΔABC的面積.

2 試題解析

(1)當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)C為橢圓的頂點(diǎn)時(shí),ΔABC恰好構(gòu)成邊長(zhǎng)為2 的等邊三角形, ①當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)C中有兩個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),一個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)時(shí),不妨設(shè)點(diǎn)A, 點(diǎn)B為上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn), 點(diǎn)C為右頂點(diǎn), 此時(shí),,b= 1.②當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)B和點(diǎn)C中有一個(gè)點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn),兩個(gè)點(diǎn)為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),不妨設(shè)點(diǎn)A,點(diǎn)B為左頂點(diǎn)和右頂點(diǎn),點(diǎn)C為上頂點(diǎn),此時(shí),a= 1,(舍去).所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)設(shè)A(p,q),B(x1,y1),C(x2,y2),因?yàn)? 所以p+x1+x2= 0,q+y1+y2= 0, ①當(dāng)直線BC斜率不存在時(shí),即x1=x2,y1=-y2,則A(-2x1,0),因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上, 所以, 則有, 所以, 點(diǎn)A到BC的距離為, 此時(shí).

②當(dāng)直線BC斜率存在時(shí), 設(shè)直線BC方程為y=kx+m, 聯(lián)立得消去y整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,滿足

3 試題探究

通過探究此題的高數(shù)背景,可以得到此題的一個(gè)一般結(jié)論,從而得到此題的一個(gè)極為簡(jiǎn)便的解法:

4 拓展訓(xùn)練

例1(23 屆西城區(qū)一模)已知橢圓C:x2+ 2y2=2, 點(diǎn)A,B在橢圓C上, 且OA⊥OB(O為原點(diǎn)).設(shè)AB的中點(diǎn)為M, 射線OM交橢圓C于點(diǎn)N.

圖2

(1)當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí),求直線AB的方程;

(1)求橢圓C的方程;

(2)三個(gè)頂點(diǎn)均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形, ΔBMN是以B為直角頂點(diǎn)的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形,求ΔBMN的面積.

分析(1)利用題目條件建立a,c的方程組,進(jìn)而求出橢圓C的方程;

(2) 聯(lián)立直線與橢圓表示出M,N的橫坐標(biāo), 進(jìn)而表示出|BM|,|BN|, 利用等角三角形求出k的值, 從而求出ΔBMN的面積.