殷偉東

（重慶工商大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,重慶 400067）

1 綜述

廣義Nash問題提供了一個非合作博弈的數(shù)學模型，在這種博弈中，每個參與者都沒有比對手更大的領導地位。當一個或多個參與者在游戲中扮演領導者的角色時，就會形成一個多主從博弈，其中最簡單的是由一個領導者和多個跟隨者組成的Stackelberg博弈。由于多主從博弈可以表述為Nash問題和Stackelberg博弈的推廣，它已經(jīng)被許多學者深入研究[1-4]，并將其應用于電力市場、經(jīng)濟學、工程等方面。例如Pang等[5]首先對多主從博弈進行了研究，研究了一類可退化為準變分不等式的多主從博弈。俞建[6-7]的研究已經(jīng)確立了存在多主從博弈平衡點，并且也驗證了一主和二主多從博弈中存在Nash均衡點。另外，楊哲等[8]也對多主從博弈的均衡點是否存在進行了探討。鄧喜才等[9]證明了一類多主從博弈存在均衡點。Yu等[10]研究了具有單值目標函數(shù)的兩主多從博弈，并得到了局部凸拓撲空間中的一個均衡存在定理。Basar等[11]提供了兩人與多人主從博弈描述，并且展示了主從博弈均衡點的相關成果。Leyffer等[12]通過求解非線性優(yōu)化問題得到了多主多從博弈的均衡點。Outrata[13]通過將多主從博弈轉化為均衡問題，討論了一個策略向量成為均衡問題的非合作解的必要條件。Sherali[14]給出了具有特式結構的多主從博弈弱Pareto-Nash均衡存在性和唯一性的結果。Hu等[15]研究了一類可表述為變分不等式的多主從博弈，并得到了一些存在性的結果。Ding[16]引入并研究了一類更一般的多主從博弈模型，并在非緊FC-空間中建立了一些均衡存在定理。Morgan等[17]在他們的論文中，引入了偽連續(xù)性概念，并確證了在具體環(huán)境中，給定玩家的支付函數(shù)是偽連續(xù)性時，至少會存在一個Nash均衡點。蔡江華等[18]率先公開在偽連續(xù)性狀況下的主從博弈Nash均衡點存在性的定理，同時他們也運用非線性問題的本質(zhì)連通區(qū)存在性來研究主從博弈的Nash均衡點的本質(zhì)連通區(qū)。Jia等[19]的研究中，當玩家支付函數(shù)是連續(xù)的時候，對廣義多目標主從博弈的弱Pareto-Nash均衡存在性進行了闡述，并且深入研究了其穩(wěn)定性。

受到之前研究的啟發(fā)，在廣義多目標多主體多從體博弈問題存在一個弱Pareto-Nash均衡點的基礎上，本文降低了對于參與者支付函數(shù)的連續(xù)性需求，借鑒了Zeng[20]研究中關于廣義上偽連續(xù)的解釋，基于局中人的支付函數(shù)在廣義上呈現(xiàn)偽連續(xù)性和上偽連續(xù)性這一先決條件，構建了廣義多目標多主從博弈的弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，再根據(jù)本質(zhì)解的定義，對廣義多主體-多從體博弈下弱Pareto-Nash均衡解的穩(wěn)定性進行分析。

2 廣義多目標多主體-多從體博弈

2.1 廣義多目標多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡的模型

多個領導者與跟隨者之間的主從博弈可以按照以下方法進行說明：

領導者和跟隨者先后采取策略，其決定過程為領導者制定決策并通告跟隨者。在跟隨者掌握領導者的決定x∈X后，跟隨者會再度執(zhí)行一輪參數(shù)廣義限制多目標博弈，通過含有領導者策略參數(shù)的廣義約束多目標博弈模型來構建追隨者的均衡解，設K:Xi×X-i→2Y代表追隨者的參數(shù)廣義約束多目標博弈的弱Pareto-Nash均衡解集，它表示對于任意的x=(xi,x-i)∈X，K(xi,x-i)代表跟隨者的參數(shù)廣義約束多目標博弈的弱Pareto-Nash均衡解集。對任意的y?∈K(xi,x-i)，都有，使得對于任意的j∈J，都存在，對于所有的，都滿足如下的性質(zhì)：

2.2 廣義多目標多主體-多從體博弈弱Pareto-Nash均衡點的存在性和預備知識

定義2.1[20]設是定義了序關系的拓撲向量空間，其中int≠?，Ε是一個拓撲向量空間X的一個非空凸子集，f:E→Rl是一個向量值映射。

（2）如果(-f)在z0處上偽連續(xù)，則稱f在z0∈Rl處下偽連續(xù)。如果f在每一處z0∈Rl都是下偽連續(xù)，則稱f在Rl上下偽連續(xù)。

（3）如果f既是上偽連續(xù)又是下偽連續(xù)，則稱f是偽連續(xù)。

引理2.1[20]設f是定義在Rl上的一個擴展實值函數(shù)。那么，下面這些陳述是等價的。

（1）f在Rl上是上偽連續(xù)。

（2）L={(z,λ) ∈ Rl×f(Rl∣)f(z) ≥λ}在Rl×f(Rl)是閉的。

（3）對所有的λ∈f(Rl)，Uλ={z∈R∣lf(z) ≥λ}是閉的。

此外，上偽連續(xù)性保證了在緊集上存在最大點。

引理2.2[20]設X為一個Hausdorff空間，且X是局部凸的。E是X中的一個緊子集，且E是非空的和具有凸性。設 : 2E F E→ 具有上半連續(xù)性，且對任意的x∈E，F(xiàn)(x) 是非空的，同時F(x) 具有閉性和凸性。那么F在Ε中有一個不動點。

引理2.3[20]假設X和Y是兩個局部凸的Hausdorff空間和Y是緊的，則集值映射 : 2Y F X→ 有緊值且上半連續(xù)當且僅當它是一個閉映射。

3 廣義多目標多主從博弈的通有穩(wěn)定性

下面分情況討論：

第一種情況：

同理可以得到集值映射Γ上半連續(xù)。

注3.1：蔡江華等[18]的研究中得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，定理3.1得到了多主多從博弈解映射的上半連續(xù)性，所以本文與蔡江華等[18]所考慮的模型不同。蔡江華等[18]考慮的是單目標單主多從博弈，本文廣義多目標多主從博弈考慮的是具有多個目標的博弈問題，這種廣義形式允許玩家追求多個不同的目標，而不僅限于單一的優(yōu)化目標。

注3.2：Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（1）中，局中人支付函數(shù)是連續(xù)的。本文定理3.2的條件（1）中，局中人支付函數(shù)是廣義上偽連續(xù)的，所以本文考慮的局中人支付函數(shù)連續(xù)的條件更弱。Jia等[19]的研究中的定理3.6的條件（2）中，考慮的是映射Φi似-擬凹，本文定理3.2的條件（2）中，考慮的是映射iΦ-廣義擬凸，所以本文考慮的映射iΦ的凸性條件更弱。所以本文推廣了Jia等[19]的研究中的相應結果。

定義3.1 設ζ∈?。（1）如果對任意ε>0，都存在δ>0，使得對任意ζ′∈，ρ(ζ,ζ′)<δ，存在‖x-x′‖<ε，使得x′∈W(ζ′)，那么x∈W(ζ)是本質(zhì)的。（2）如果每一個x∈W(ζ)都是本質(zhì)的，那么ζ是本質(zhì)的。

引理3.2[19]假設Ζ是一個度量空間，X是一個具有完備性的度量空間和 : 2Z W X→ 是一個上半連續(xù)映射。那么在X中可以找到一個稠密且剩余的子集Q，確保W在Q上保持下半連續(xù)性。

注3.3：從上述定義可以知道，ζ∈?是本質(zhì)的集值映射W在ζ∈?處是下半連續(xù)的。

定理3.3?中有一個稠密且剩余的子集Q，使得對于每一個ζ∈?都是本質(zhì)的。

證明 通過引理3.1，引理3.2和注3.3，可以直接得到定理3.3。

4 結論

因為廣義多目標多主從博弈允許參與者不局限于單一的優(yōu)化目標，所以這種博弈被廣泛應用于經(jīng)濟學、管理學等領域。在局中人支付函數(shù)偽連續(xù)的條件下，蔡江華等[18]已經(jīng)得到了單主多從博弈解映射的上半連續(xù)性。因為在廣義多目標多主從博弈中，允許玩家追求多個不同的目標，所以本文利用局中人支付函數(shù)廣義偽連續(xù)的條件，將僅限于單一的優(yōu)化目標的單主多從博弈推廣至廣義多目標多主從博弈中，并得到了廣義多目標多主從博弈解映射的上半連續(xù)性。然后，在映射Φi似-擬凹和參與者支付函數(shù)具有連續(xù)性的條件下，Jia等[19]已經(jīng)證實了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，本文的創(chuàng)新點在于，不僅優(yōu)化了參與者支付函數(shù)連續(xù)的條件，還降低了映射iΦ的凹性的約束條件，利用參與者支付函數(shù)更弱的廣義上偽連續(xù)性和映射iΦ-廣義擬凸的條件，得到了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性，在一定程度上拓展了Jia等[19]的研究成果。最后，基于廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡解映射的上半連續(xù)性以及本質(zhì)解的定義，得到了廣義多目標多主從博弈弱Pareto-Nash均衡的穩(wěn)定性。