解釋注重多元 驗證立足守恒

運算律的學習有助于豐富和加深學生對運算本身的理解，感受抽象、推理、模型等基本數(shù)學思想。以往交換律教學中，對猜想的驗證，只停留在從等式兩邊算式結果是否相等來判斷，忽視了交換律的本質是守恒，而守恒即對稱。教學中，教師應充分引導學生解釋算式相等的道理，讓學生更多地去關注算式的結構與意義，進而理解交換律的本質。

一、情境導入，初探規(guī)律

師：同學們，從教材的圖片中你知道了哪些數(shù)學信息？怎樣列式計算？

生1：40+56=96（千米）。

師：說說算式表示什么意思？

生1：40+56表示上午的路程加下午的路程。

師：還有不同的算式嗎？

生2：56+40=96（千米），表示下午的路程加上午的路程。

師：這兩個算式列法不同，中間可以用什么符號連接？

生齊答：等號。（板書：40+56=56+40）

師：仔細觀察這兩個算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生3：40和56的位置變了。

師：怎么變的？

生4：交換了位置。

生5：都等于96。

生6：他的意思是兩個加數(shù)的位置交換了，但結果不變，都等于96。

師：為什么交換這兩個加數(shù)的位置，和不變呢？如果不計算，你能解釋為什么相等嗎？

生7：我可以結合線段圖來解釋。40+56就是用上午加下午；56+40就是用下午加上午，結果是不變的。

師：你說的結果不變是指什么不變？

生7：兩段的和是不變的，求的都是這一整段。（生指著線段圖比劃）

【評析：借助李叔叔騎車旅行的情境引出問題，學生嘗試解決，列出兩種算式，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進而借助線段圖解釋，體驗不同的驗證方法?！?/p>

二、大膽猜想，驗證規(guī)律

師：交換40、56這兩個加數(shù)的位置，和不變?？吹竭@組等式，你有了哪些大膽的猜想？

生1：加法算式中，加數(shù)交換位置，和都不變。

師：數(shù)學具有嚴謹性，我們的猜想目前還只是猜想，到底對不對需要有證據，如何驗證我們的猜想？（板書：猜想、驗證）

生2：可以舉例。

師：舉例是一個好辦法。接下來我們一起來驗證加法運算是否有這個規(guī)律？

（出示問題：請你寫出幾個這樣的等式，能寫出不一樣的嗎？不計算進行解釋驗證。）

師：有沒有不明白的地方？你認為哪些要求很重要？

生1：等式。

生2：不一樣。

生3：這樣的。

師：“這樣的”是怎樣的？

生3：就是像黑板那樣的。（生指等式）

生4：不計算進行解釋驗證。

師：不計算進行解釋驗證是什么意思？

生5：兩個數(shù)相加，然后交換兩個加數(shù)的位置，想辦法說明它們兩邊相等，但是不能用計算來說明。

學生獨立思考，動手實踐，在學習單上完成。

【評析：交換兩個加數(shù)的位置，和不變。學生對此有較豐富的認知基礎，容易提出猜想。但如何驗證，學生缺乏相應的學習經驗。通過師生對話交流，學生逐步明確驗證的方法和要關注的要素?！?/p>

三、總結提升，拓展規(guī)律

師：回顧一下，我們是怎樣研究加法交換律的？

生1：一開始是猜想，再驗證，最后得出結論。

師：我們通過一個例子發(fā)現(xiàn)相等的現(xiàn)象，于是有了猜想，然后舉例驗證，舉例時盡量舉不同類別的例子，通過不計算的方式進行解釋說理，最后得出結論，用符號表示出規(guī)律。除了在加法中發(fā)現(xiàn)了加法交換律，你還有哪些猜想？

生2：有沒有減法交換律、乘法交換律、除法交換律？

師：請你先獨立思考，再和同桌交流，如果有，為什么？如果沒有，又是為什么？不計算進行解釋。

學生獨立探索，同桌合作交流。

生1：我認為減法有，因為線段中1-1就沒有了，交換1-1也是沒有，正好相等。

師：她說的這個等式中有沒有交換律？

生2：只有在特定情況下，也就是說被減數(shù)和減數(shù)都一樣的時候才行，如果在其他情況下就不行了。

師：什么情況不行？

生3：被減數(shù)和減數(shù)不同就不行。例如40-8不等于8-40。如果我有40元可以給你8元，但如果我只有8元就給不了你40元了。

生4：我認為乘法有交換律，比如說2×3=3×2，它們都表示2個3或者3個2。

師：乘法有沒有不相等的例子？

生齊：沒有。

師：還有嗎？

生5：我認為除法也不可以，只不過跟減法一樣有特殊。2÷2=2÷2是可以的，但10÷2不等于2÷10，10里面有幾個2和2里面有幾個10的意思不一樣。

師：只有所有的例子都適用時才能說這種運算的交換律成立。如果有例子不適用就不能說它有交換律。大家都認為乘法是有交換律，誰來說說乘法交換律是怎樣的？

生1：兩個數(shù)相乘，交換兩個乘數(shù)的位置，積不變。

師：能用字母來表示嗎？

生2：a×b=b×a。

師：你能用生活中的例子來解釋a×b=b×a嗎？跟同桌交流一下。

生3：我買了2包棒棒糖，每包有3根，或買了3包棒棒糖，每包有2根，數(shù)量相等。

師：（教師出示長方形）這是一個長方形，你能看到a和b嗎？

生4：a和b是它的長和寬。

師：用a和b表示長方形的長和寬，“長×寬”和“寬×長”求的是什么？

生齊答：都是面積。

師：觀察乘法的等式，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：我發(fā)現(xiàn)乘法交換律也有對稱，等號兩邊完全相同。

師：今天我們學習了交換律，誰有交換律？

生6：加法和乘法。（板書課題：交換律）

師：（課件出示）其實我們早在之前的學習中就接觸過交換律，一年級的分與合、一圖四式、表內乘法、加法和乘法的驗算、長方形的面積計算等都運用了交換律。

【評析：加法交換律的研究是教師扶著學生走，那乘法、減法和除法就是放手讓學生學。這一過程，教師緊緊抓住“不計算進行解釋”，讓學生進一步借助運算意義、面積模型等驗證，促進學生守恒觀念的形成。】

四、解決問題，運用規(guī)律

1.填空

①300+600=600+

②" " "×65=65×35

③78+" " "=43+

④a×" " "=12×

師：第③題第一空你怎么想到是43呢？

生1：因為加法交換律是交換兩個加數(shù)的位置，既然等號前面是78，后面是43，所以肯定是78和43交換位置。

生2：我是根據對稱來想的，43和43對稱，78和78對稱。

師：有同學左邊填22，右邊填57，可以嗎，為什么？

生3：不可以。這樣雖然等式兩邊都等于100，兩邊相等，但不符合交換律。

師：在a×" " " =12×" " "中

a表示什么？

生4：可以是任何數(shù)。

【評析：鞏固練習沒有停留在對答案的淺層次上，而是讓學生說想法和理由，關注發(fā)展學生的高階思維，進一步加深學生對對稱和守恒的理解?！?/p>