淺談小學(xué)數(shù)學(xué)借助幾何直觀促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階

【摘 要】幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀對提升他們的數(shù)學(xué)思維起著不可忽視的作用。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師更要在學(xué)生已有直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上滲透與幾何直觀相關(guān)的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生形成幾何直觀核心素養(yǎng)。本文從幾何直觀助力概念教學(xué)、建立直觀模型和助力數(shù)學(xué)表達(dá)三個(gè)方面淺析如何借助幾何直觀提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 幾何直觀 核心素養(yǎng)

幾何直觀素養(yǎng)的形成能夠幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，提升數(shù)學(xué)思維能力。教師在教學(xué)中應(yīng)注重幾何直觀思維的滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生解決問題的能力。在此過程中，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)特征，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。

在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，部分教師缺少對幾何直觀內(nèi)涵的理解，錯(cuò)誤地認(rèn)為在教學(xué)中運(yùn)用直觀模型就是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，只重視直觀，忽視引導(dǎo)學(xué)生利用圖形對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)進(jìn)行歸納、分析，致使學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)得不到提升。筆者認(rèn)為滲透幾何直觀的教學(xué)是依托于圖表或圖形，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生探究知識的本質(zhì)，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。借助幾何直觀解決問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探究，引導(dǎo)學(xué)生建立一種深入、全面的數(shù)學(xué)進(jìn)階思維能力。

一、幾何直觀助力抽象性知識的教學(xué)

數(shù)學(xué)教材中的抽象性知識常以語言文字的形式進(jìn)行描述，通常表現(xiàn)為語言簡潔、意蘊(yùn)豐富。學(xué)生只有理解、掌握數(shù)學(xué)抽象性知識，才能發(fā)揮分析、說理的能力，發(fā)展邏輯思維。但是，小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、心理特征和思維特點(diǎn)還不足以對抽象性知識有直觀、清晰的認(rèn)識，尤其是中、低段學(xué)生以形象思維為主，他們的閱歷尚淺，生活經(jīng)驗(yàn)不足，力透紙背的能力有限，在閱讀教材中的抽象性知識時(shí)，把握不了關(guān)鍵、理解不了本質(zhì)。教師必須為他們提供理解抽象概念的“腳手架”，在課堂教學(xué)中可借助多種手段幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)抽象性知識，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。而幾何直觀素養(yǎng)的培育和滲透，可以讓知識的呈現(xiàn)更直觀、形象。

例如，教師在教授人教版四下“三角形的內(nèi)角和”這一節(jié)課時(shí)，針對“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°”這一定理，如果學(xué)生單單從教材中的文字描述是難以深度理解的。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何驗(yàn)證三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°。學(xué)生經(jīng)過溝通、交流，有的在紙張上剪出一個(gè)三角形，用量角器分別測量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并把這三個(gè)角相加，最終得出這個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°；還有的把三角形中的三個(gè)內(nèi)角剪下來，拼在一起，得到一個(gè)平角，進(jìn)而驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°。在該定理的驗(yàn)證過程中，類似量一量、剪一剪和拼一拼等操作手段滲透了幾何直觀思維，促使學(xué)生在動(dòng)手操作、思考內(nèi)化中驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和為180°”。通過直觀的操作活動(dòng)所帶來的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，比空洞的文字描述更讓人印象深刻，并幫助學(xué)生經(jīng)歷抽象性知識的驗(yàn)證過程，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

二、幾何直觀建立直觀模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”這一基本核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)問題往往是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象而來，分析和解決問題的能力對于小學(xué)階段的學(xué)生來說十分重要。古人云：“授人以魚不如授人以漁?！庇纱丝芍?，教師教授學(xué)生掌握解決問題的方法遠(yuǎn)比掌握知識重要得多。但是，學(xué)生收獲解決問題的方法不是單純靠教師的講解、傳授就能輕易獲得的，它需要學(xué)生經(jīng)歷對解決問題方法的直觀感悟過程。數(shù)形結(jié)合是一種解決問題的重要數(shù)學(xué)思想。教師可以借助圖形幫助學(xué)生分析和解決問題，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想構(gòu)建問題模型，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑，從而幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，達(dá)到“會(huì)一道題等于會(huì)一類題”的效果。

例如，在人教版五上“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”的教學(xué)中，教師出示問題情境：“在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？”對于學(xué)生來說，單純地通過文字理解其中植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系并不容易，而且各種模型之間易產(chǎn)生混淆。為了探究方便，教師先把題中的100米換成20米，然后引導(dǎo)學(xué)生把“道路”抽象成一條線段，“樹”抽象成線段上的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上借助點(diǎn)與線段的組合，把植樹問題的三種情況逐一直觀呈現(xiàn)，促使學(xué)生感悟植樹問題中三種的數(shù)量關(guān)系。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并尋找生活中的“植樹問題”，把鋸木頭、時(shí)鐘打點(diǎn)和爬樓梯等數(shù)學(xué)問題劃歸到“植樹問題”中去，提升學(xué)生解決問題的能力。

三、幾何直觀助力數(shù)學(xué)表達(dá)

動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、概括提升是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的“三部曲”。動(dòng)手操作能化無形為有形；觀察發(fā)現(xiàn)能培養(yǎng)學(xué)生重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度；概括提升能促進(jìn)學(xué)生思維和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的發(fā)展。因此，在課堂教學(xué)中，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、比較、歸納，并把操作的過程用直觀的方式呈現(xiàn)出來，把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟規(guī)律的內(nèi)涵，提高學(xué)生的概括能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更為有效、深入。

數(shù)學(xué)從來都不是一門死記硬背的學(xué)科，自主探究是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的方法。在滲透幾何直觀這一核心素養(yǎng)時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以放手讓學(xué)生自主探究，進(jìn)而更好地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思考和方法。例如，在教學(xué)人教版三下“長方形的面積計(jì)算”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師出示題目：請同學(xué)們利用12個(gè)相同的小正方形去擺大的長方形。并讓學(xué)生把擺出的長方形畫在方格紙上，用圖形表征的方式把學(xué)生的思考表達(dá)出來。學(xué)生在稿紙中呈現(xiàn)的思考有以下三種（見圖1～圖3）。接著，教師繼續(xù)提出問題：“如果每個(gè)小正方形的邊長為1厘米，那么每種長方形的面積、長、寬分別是多少？請仔細(xì)觀察圖形，思考長、寬與面積之間存在什么關(guān)系?！蓖ㄟ^觀察、測量、交流討論，學(xué)生得出答案：“得出的三種長方形的面積都是12平方厘米。圖1的長和寬分別為12厘米、1厘米，圖2的長和寬分別為6厘米、2厘米，圖3的長和寬分別為4厘米、3厘米。通過觀察、計(jì)算發(fā)現(xiàn)，長方形的面積大小就是長與寬的積?！苯又?，教師讓學(xué)生驗(yàn)證是不是所有長方形都存在這樣的規(guī)律。通過自主操作，學(xué)生不僅概括出長方形的面積計(jì)算方法，而且積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了推理意識，發(fā)展了幾何直觀，從而把學(xué)生的數(shù)學(xué)思考引向深處。

總而言之，教師要不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，不斷改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得適應(yīng)未來發(fā)展需要的綜合能力。同時(shí)，教師還應(yīng)緊扣教材特點(diǎn)，滲透核心素養(yǎng)的培育，激發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)知識體系。在具體的策略實(shí)施中，教師可借助滲透幾何直觀的數(shù)學(xué)課堂，促使學(xué)生通過自主探索的體驗(yàn)和合作交流的感悟，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升。同時(shí)，教師通過挖掘創(chuàng)新、豐富、有趣的教學(xué)資源，實(shí)施有效的教學(xué)方法、教學(xué)模式，讓學(xué)生全身心積極參與，獲得發(fā)展有意義的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)成功，把幾何直觀作為一種關(guān)鍵要素融入學(xué)生的學(xué)習(xí)中，提升數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階頓悟。

（作者單位：福建省閩江師專附屬永泰小學(xué)

本專輯責(zé)任編輯：宋曉穎）

幾何直觀素養(yǎng)的形成能夠幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，提升數(shù)學(xué)思維能力。教師在教學(xué)中應(yīng)注重幾何直觀思維的滲透，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生解決問題的能力。在此過程中，可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)特征，建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型。

在當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，部分教師缺少對幾何直觀內(nèi)涵的理解，錯(cuò)誤地認(rèn)為在教學(xué)中運(yùn)用直觀模型就是培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，只重視直觀，忽視引導(dǎo)學(xué)生利用圖形對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)進(jìn)行歸納、分析，致使學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)得不到提升。筆者認(rèn)為滲透幾何直觀的教學(xué)是依托于圖表或圖形，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生探究知識的本質(zhì)，培養(yǎng)分析、解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。借助幾何直觀解決問題、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識能引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探究，引導(dǎo)學(xué)生建立一種深入、全面的數(shù)學(xué)進(jìn)階思維能力。

一、幾何直觀助力抽象性知識的教學(xué)

數(shù)學(xué)教材中的抽象性知識常以語言文字的形式進(jìn)行描述，通常表現(xiàn)為語言簡潔、意蘊(yùn)豐富。學(xué)生只有理解、掌握數(shù)學(xué)抽象性知識，才能發(fā)揮分析、說理的能力，發(fā)展邏輯思維。但是，小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、心理特征和思維特點(diǎn)還不足以對抽象性知識有直觀、清晰的認(rèn)識，尤其是中、低段學(xué)生以形象思維為主，他們的閱歷尚淺，生活經(jīng)驗(yàn)不足，力透紙背的能力有限，在閱讀教材中的抽象性知識時(shí)，把握不了關(guān)鍵、理解不了本質(zhì)。教師必須為他們提供理解抽象概念的“腳手架”，在課堂教學(xué)中可借助多種手段幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)抽象性知識，達(dá)到事半功倍的教學(xué)效果。而幾何直觀素養(yǎng)的培育和滲透，可以讓知識的呈現(xiàn)更直觀、形象。

例如，教師在教授人教版四下“三角形的內(nèi)角和”這一節(jié)課時(shí)，針對“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°”這一定理，如果學(xué)生單單從教材中的文字描述是難以深度理解的。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考如何驗(yàn)證三角形的三個(gè)內(nèi)角和為180°。學(xué)生經(jīng)過溝通、交流，有的在紙張上剪出一個(gè)三角形，用量角器分別測量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，并把這三個(gè)角相加，最終得出這個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°；還有的把三角形中的三個(gè)內(nèi)角剪下來，拼在一起，得到一個(gè)平角，進(jìn)而驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°。在該定理的驗(yàn)證過程中，類似量一量、剪一剪和拼一拼等操作手段滲透了幾何直觀思維，促使學(xué)生在動(dòng)手操作、思考內(nèi)化中驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和為180°”。通過直觀的操作活動(dòng)所帶來的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，比空洞的文字描述更讓人印象深刻，并幫助學(xué)生經(jīng)歷抽象性知識的驗(yàn)證過程，把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵。

二、幾何直觀建立直觀模型

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出要培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”這一基本核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)問題往往是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象而來，分析和解決問題的能力對于小學(xué)階段的學(xué)生來說十分重要。古人云：“授人以魚不如授人以漁?！庇纱丝芍處熃淌趯W(xué)生掌握解決問題的方法遠(yuǎn)比掌握知識重要得多。但是，學(xué)生收獲解決問題的方法不是單純靠教師的講解、傳授就能輕易獲得的，它需要學(xué)生經(jīng)歷對解決問題方法的直觀感悟過程。數(shù)形結(jié)合是一種解決問題的重要數(shù)學(xué)思想。教師可以借助圖形幫助學(xué)生分析和解決問題，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想構(gòu)建問題模型，掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑，從而幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題，達(dá)到“會(huì)一道題等于會(huì)一類題”的效果。

例如，在人教版五上“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”的教學(xué)中，教師出示問題情境：“在100米的道路一邊植樹，每隔5米栽一棵，一共要栽多少棵？”對于學(xué)生來說，單純地通過文字理解其中植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系并不容易，而且各種模型之間易產(chǎn)生混淆。為了探究方便，教師先把題中的100米換成20米，然后引導(dǎo)學(xué)生把“道路”抽象成一條線段，“樹”抽象成線段上的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在稿紙上借助點(diǎn)與線段的組合，把植樹問題的三種情況逐一直觀呈現(xiàn)，促使學(xué)生感悟植樹問題中三種的數(shù)量關(guān)系。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，并尋找生活中的“植樹問題”，把鋸木頭、時(shí)鐘打點(diǎn)和爬樓梯等數(shù)學(xué)問題劃歸到“植樹問題”中去，提升學(xué)生解決問題的能力。

三、幾何直觀助力數(shù)學(xué)表達(dá)

動(dòng)手操作、觀察發(fā)現(xiàn)、概括提升是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的“三部曲”。動(dòng)手操作能化無形為有形；觀察發(fā)現(xiàn)能培養(yǎng)學(xué)生重證據(jù)、講道理的科學(xué)態(tài)度；概括提升能促進(jìn)學(xué)生思維和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的發(fā)展。因此，在課堂教學(xué)中，教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、比較、歸納，并把操作的過程用直觀的方式呈現(xiàn)出來，把發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，有利于學(xué)生深刻領(lǐng)悟規(guī)律的內(nèi)涵，提高學(xué)生的概括能力，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更為有效、深入。

數(shù)學(xué)從來都不是一門死記硬背的學(xué)科，自主探究是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)必不可少的方法。在滲透幾何直觀這一核心素養(yǎng)時(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教師可以放手讓學(xué)生自主探究，進(jìn)而更好地用數(shù)學(xué)語言表達(dá)自己的思考和方法。例如，在教學(xué)人教版三下“長方形的面積計(jì)算”相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師出示題目：請同學(xué)們利用12個(gè)相同的小正方形去擺大的長方形。并讓學(xué)生把擺出的長方形畫在方格紙上，用圖形表征的方式把學(xué)生的思考表達(dá)出來。學(xué)生在稿紙中呈現(xiàn)的思考有以下三種（見圖1～圖3）。接著，教師繼續(xù)提出問題：“如果每個(gè)小正方形的邊長為1厘米，那么每種長方形的面積、長、寬分別是多少？請仔細(xì)觀察圖形，思考長、寬與面積之間存在什么關(guān)系?！蓖ㄟ^觀察、測量、交流討論，學(xué)生得出答案：“得出的三種長方形的面積都是12平方厘米。圖1的長和寬分別為12厘米、1厘米，圖2的長和寬分別為6厘米、2厘米，圖3的長和寬分別為4厘米、3厘米。通過觀察、計(jì)算發(fā)現(xiàn)，長方形的面積大小就是長與寬的積?！苯又?，教師讓學(xué)生驗(yàn)證是不是所有長方形都存在這樣的規(guī)律。通過自主操作，學(xué)生不僅概括出長方形的面積計(jì)算方法，而且積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了推理意識，發(fā)展了幾何直觀，從而把學(xué)生的數(shù)學(xué)思考引向深處。

總而言之，教師要不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，不斷改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)模式，使學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得適應(yīng)未來發(fā)展需要的綜合能力。同時(shí)，教師還應(yīng)緊扣教材特點(diǎn)，滲透核心素養(yǎng)的培育，激發(fā)學(xué)生自主建構(gòu)知識體系。在具體的策略實(shí)施中，教師可借助滲透幾何直觀的數(shù)學(xué)課堂，促使學(xué)生通過自主探索的體驗(yàn)和合作交流的感悟，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升。同時(shí)，教師通過挖掘創(chuàng)新、豐富、有趣的教學(xué)資源，實(shí)施有效的教學(xué)方法、教學(xué)模式，讓學(xué)生全身心積極參與，獲得發(fā)展有意義的學(xué)習(xí)過程，體驗(yàn)成功，把幾何直觀作為一種關(guān)鍵要素融入學(xué)生的學(xué)習(xí)中，提升數(shù)學(xué)思維的進(jìn)階頓悟。

（作者單位：福建省閩江師專附屬永泰小學(xué)

本專輯責(zé)任編輯：宋曉穎）

參考文獻(xiàn)

［1］王海靜.借助幾何直觀，優(yōu)化計(jì)算教學(xué)［J］.江西教育，2024（10）：64-67.

［2］金雪強(qiáng).論數(shù)形結(jié)合思想在“雙減”之下數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2023（05）：57-58，61.

［3］呂夢嬋.幾何直觀，數(shù)學(xué)思維的“助推劑”［J］.文理導(dǎo)航（下旬），2022（07）：31-33.

［4］湯琴.基于“幾何直觀”的小學(xué)數(shù)學(xué)游戲教學(xué)設(shè)計(jì)研究［D］.江蘇大學(xué)，2020.

編后記

在新課標(biāo)背景下，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)注重構(gòu)建學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促使他們實(shí)現(xiàn)素養(yǎng)的自主內(nèi)化。數(shù)學(xué)課程的核心素養(yǎng)主要包括“三會(huì)”，而“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”中的“數(shù)學(xué)眼光”主要表現(xiàn)為量感、幾何直觀、空間觀念等方面，本專輯選取與量感和幾何直觀相關(guān)的兩篇文章，旨在助力一線教師探索與核心素養(yǎng)有關(guān)的教學(xué)策略。