張原園 古再力努爾·依明 苗瑾超
摘?要:復變函數(shù)與積分變換課程在電子信息類工科專業(yè)中占據(jù)舉足輕重的作用,由于課程應用性強,相比高等數(shù)學較為抽象、復雜,大多數(shù)授課教師是數(shù)學系專任教師,不能盡可能地將課程內(nèi)容充分聯(lián)系電子信息類專業(yè)進行有側(cè)重的講解,導致授課效果不是很理想,對通信工程專業(yè)學生后續(xù)學習信號與系統(tǒng)等專業(yè)核心課程不能做好銜接工作。筆者采用實踐與理論相結(jié)合的教學方式,融合前期電路分析、后期信號與系統(tǒng)部分內(nèi)容,提高學生學習興趣;通過實例講解,學生能夠充分了解設(shè)置課程的作用及其意義,從而達到對課程內(nèi)容的精準掌握。
關(guān)鍵詞:復變函數(shù)與積分變換;通信工程;信號與系統(tǒng);實踐教學
Abstract:The?course?of?complex?variable?function?and?integral?transformation?plays?an?important?role?in?electronic?and?information?engineering?majors.Because?of?its?strong?applicability,the?course?is?more?abstract?and?complex?than?advanced?mathematics,and?most?of?the?teachers?are?fulltime?teachers?in?the?Department?of?Mathematics,who?are?unable?to?fully?link?the?course?content?with?the?electronic?and?information?majors?for?focused?explanation,resulting?in?poor?teaching?effect,Communication?engineering?students?can't?do?a?good?job?;in?connecting?the?core?courses?of?signal?and?system.The?author?adopts?the?teaching?method?of?combining?practice?and?theory,integrating?the?;contents?of?circuit?analysis?in?the?early?stage,signal?and?system?in?the?later?stage,to?improve?students'?learning?interest;Through?the?explanation?of?examples,students?can?fully?understand?the?role?and?significance?of?the?curriculum,so?as?to?accurately?grasp?the?content?of?the?curriculum.
Keywords:Complex?function?and?integral?transformation;Communication?engineering;Signal?and?system;Practical?teaching
一、復變函數(shù)與積分變換課程內(nèi)容
復變函數(shù)與積分變換課程主要分為兩個重點內(nèi)容,復變函數(shù)部分主要講授復變函數(shù)論,包括復數(shù)與復變函數(shù)、解析函數(shù)、復變函數(shù)的積分、級數(shù)、留數(shù)、保留映射,其理論產(chǎn)生于18世紀,在19世紀得到全面發(fā)展,歐拉、拉普拉斯、柯西、黎曼等眾多數(shù)學家為復變函數(shù)論的開拓及豐富做出了巨大的貢獻[1]。積分變換是在實變函數(shù)與微積分基礎(chǔ)之上發(fā)展而來的,主要講授傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容,主要應用在電子信息類工科專業(yè)中[2]。復變函數(shù)與積分變換作為工科專業(yè)中一門基礎(chǔ)必修課程,在通信工程、自動控制、電子信息等專業(yè)有著非常重要的作用,相比于高等數(shù)學有明顯的難度提升,在學習過程中如果一再對概念講解,脫離現(xiàn)實技術(shù)應用難免導致課程效果較差,不能夠引起學生興趣,造成被動學習、填鴨式教學[3]。建議教學過程中要講究側(cè)重點,結(jié)合實踐應用,提高學生學習興趣,增加多種教學方式,讓學生能夠充分了解課程作用及其意義,更好地掌握課程內(nèi)容[4]。
二、復變函數(shù)在通信工程專業(yè)中應用
作為高等院校眾多專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程,首先,通過復變函數(shù)與積分變換的學習,能夠培養(yǎng)學生抽象思維能力、邏輯思維能力、空間想象能力和科學計算能力;培養(yǎng)學生利用復變函數(shù)、積分變換的方法來有效地、系統(tǒng)地解決一些工程實際問題;逐步培養(yǎng)學生能夠建立復雜數(shù)學模型的能力,并為后續(xù)的專業(yè)基礎(chǔ)課程、專業(yè)核心課程的學習,以及將來從事教學、科研及其他實際工作打下堅實的理論知識基礎(chǔ)。其次,復變函數(shù)中傅里葉變換、拉普拉斯變換等內(nèi)容作為信號與系統(tǒng)課程中的核心內(nèi)容,直接關(guān)系著通信工程專業(yè)學生后續(xù)專業(yè)課程的學習效果,通過引入信號與系統(tǒng)中相關(guān)內(nèi)容,更好地體悟復變函數(shù)與積分變換的工具作用,學習過程中要重點弄明白傅里葉變換的來龍去脈,能夠更好地對信號的變換、信號之間運算、信號表述有更為全面系統(tǒng)的認識。傅里葉變換、拉普拉斯變換在信號處理、圖像處理等領(lǐng)域發(fā)揮巨大的作用,如何巧妙地講授積分變換內(nèi)容也是專任教師需要思考的主要問題[510]。
三、通信工程專業(yè)中復變函數(shù)教學實踐
(一)激發(fā)學生興趣
通過實例教學激發(fā)學生學習復變函數(shù)的興趣,通過前期的學習掌握復變函數(shù)基本運算、基本概念、基本定義。后期重點講授傅里葉變換的來龍去脈,提出時頻域概念、周期與非周期概念,從熟悉的時域擴展到頻域,從周期過度非周期,通過直觀理解可以知道時域是以時間軸為參考、頻域是以頻率為參考。下圖1表示音頻信號時域—頻域轉(zhuǎn)換圖,圖1(a)表示隨時間變換的一段音頻,經(jīng)過傅里葉變換能夠看到圖1(b)是信號在頻域上的變換,通過在不同的域得到不同的觀察結(jié)果,直觀形象地說明問題,不斷引導學生、激發(fā)學生探索興趣。
(二)重難點講授
圖2是通過基本信號疊加形成方波的過程,能夠充分展示信號之間的構(gòu)成與表示。通過動態(tài)演示不同諧波疊加形成方波過程,明白任何波形可由正弦波n次疊加形成。講解傅里葉變換類似于對數(shù)運算能將積商運算轉(zhuǎn)換成加減運算一樣,講解積分變換是一種數(shù)學變換,它能將卷積運算變成乘積運算,能將微積分運算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運算,使問題進一步簡化。
(三)銜接信號與系統(tǒng)后續(xù)課程
講解圖像處理中的基本操作,通過對傅里葉變換的了解,增加學生學習興趣,利用傅里葉變換做一些圖像處理實踐練習,進而體會其實際意義。通過圖像去噪、邊緣提取、濾波、OFDM調(diào)制與解調(diào)等例子的學習,完成對相關(guān)知識的理解及熟練應用。圖3是通過對椒鹽噪聲圖像進行傅里葉變換后,去掉高頻噪聲部分,再進行傅里葉反變換后恢復的椒鹽噪聲圖像結(jié)果。
圖3中(a)(b)(c)分別表示對高頻成分進行濾除,保留圖像中心600×600、300×300、30×30圖像塊之后恢復的結(jié)果,從結(jié)果中可以得到(b)圖相比(a)圖噪點減少了許多,(c)圖相比(b)圖因為濾除過多,將一部分低頻也進行了濾除,導致圖片失真。通過實例使同學們能更好地理解重點知識的具體應用,更好地進行后續(xù)課程的學習。
講解拉普拉斯變換在解微分方程中的應用,回顧之前高等數(shù)學及電路分析求解微分方程的步驟,一般在時域中求解微分方程首先需要通過特征方程來求解特征根,進而得到齊次解,之后根據(jù)齊次解判斷特解類型,帶入方程得到相應特解,最后齊次解加特解構(gòu)成微分方程的全解,將已知參數(shù)帶入得到最終結(jié)果。在拉普拉斯變換章節(jié)中,我們通過對方程兩端進行拉普拉斯正變換,根據(jù)拉普拉斯變換性質(zhì),得到像函數(shù)在S域的代數(shù)方程,從而求解出未知函數(shù)X(s)的像函數(shù),最后通過逆變換得到方程的解,具體操作流程如圖4。通過講解使用拉普拉斯變換性質(zhì)求解微分方程的過程,比較前期使用經(jīng)典時域方法求解微分方程的流程,更加深入地體會到拉普拉斯變換的優(yōu)勢以及便捷之處。
四、如何學好復變函數(shù)與積分變換
前期首先認真學習高等數(shù)學、電路分析、大學物理等必修課程,高等數(shù)學作為高等院校大部分專業(yè)的基礎(chǔ)必修課程,在后續(xù)學習中有著非常重要的作用,極限思維、抽象思維、邏輯推理、數(shù)形結(jié)合等從各方面影響后續(xù)復變函數(shù)與積分變換的學習;電路分析的學習為后續(xù)復變函數(shù)與積分變換提供了實際例子,更好地理解域的轉(zhuǎn)化對求解電路參數(shù)提供了更好的方法。
理解復變函數(shù)前期基本概念、定理,掌握復變函數(shù)運算及幾何表示,通過類比高等數(shù)學導數(shù)方面的內(nèi)容掌握解析函數(shù)概念及其主要內(nèi)容,通過類比高等數(shù)學積分、級數(shù)等方面內(nèi)容掌握復變函數(shù)積分、級數(shù)等內(nèi)容。
針對后半部分積分與變換的內(nèi)容,首先聯(lián)系高等數(shù)學的傅里葉變換章節(jié)進行初步學習,掌握傅里葉變換的基本內(nèi)容,通過信號與系統(tǒng)中的實例講解δ函數(shù)、階躍函數(shù)概念、帕薩瓦爾定理、卷積等內(nèi)容,聯(lián)系電路分析中相關(guān)知識從工程方面進行理解。從積分變換使用范圍上講解傅里葉變換到拉普拉斯變換的過渡原因,講解使用拉普拉斯變換解決RLC動態(tài)微分方程的方法,理解其核心思想。
通過前后學期知識點的串聯(lián)交織,能夠更好地使學生回顧前期知識,掌握后續(xù)內(nèi)容的方向,知識之間的聯(lián)系更加緊密,不會有很強的跳躍性,導致學生難以接受,喪失學習興趣。通過實踐教學,使學生學習興趣更加濃厚,能夠利用所學知識解決相關(guān)問題,提升自身技能,增加獲得感、成就感,有利于后續(xù)課程的順利展開。
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基金項目:2022年度新疆理工學院校級教育教學研究和改革項目——通信工程專業(yè)學生工程創(chuàng)新實踐能力培養(yǎng)模式的研究
作者簡介:張原園(1996—?),男,漢族,陜西蒲城人,碩士,助教,研究方向:通信信號處理、計算機視覺;古再力努爾·依明(1996—?),女,維吾爾族,新疆庫車人,碩士,助教,研究方向:自然語言處理。
*通訊作者:苗瑾超(1987—?),女,漢族,陜西西安人,碩士,副教授,從事通信工程專業(yè)教學研究。