聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)原理討論

宿德志,張紀(jì)磊,孫曉偉,段金鵬,馬帥奇

(海軍航空大學(xué) 航空基礎(chǔ)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264001)

聲波特性測(cè)量在聲波定位、探傷、測(cè)距等應(yīng)用中具有重要的實(shí)用意義[1],空氣中的聲速測(cè)量是大學(xué)物理基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之一,該實(shí)驗(yàn)通常采用駐波法和相位比較法兩種方式測(cè)量聲速[2]. 而這兩種方法從概念上是存在矛盾的,駐波法認(rèn)為發(fā)射端和接收端之間形成了駐波,而相位比較法又認(rèn)為這是一個(gè)行波. 此外,實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)聲壓振幅并不以正弦或余弦規(guī)律變化,實(shí)驗(yàn)中S1為發(fā)射端,S2既是接收端也是反射端(如圖2所示),當(dāng)S2移動(dòng)時(shí)所形成的波并不是一列波[3]. 正是由于以上種種問(wèn)題,該實(shí)驗(yàn)一直存有爭(zhēng)議,從20世紀(jì)90年代開(kāi)始,很多人都針對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了研究,很多物理實(shí)驗(yàn)教材認(rèn)為在S1和S2間產(chǎn)生了由入射波和反射波疊加而形成的駐波,因此,可根據(jù)駐波的波節(jié)間距為半波長(zhǎng)進(jìn)行測(cè)量[4-6]. 而文獻(xiàn)[7]和[8]指出由于聲波傳輸過(guò)程中存在衰減,因此,S1和S2間形成的并非理想駐波,但其僅考慮了入射波和反射波的疊加,仿真精度有限. 文獻(xiàn)[9]也指出S1和S2間并非理想駐波,并指出應(yīng)采用聲壓方程進(jìn)行計(jì)算.

在此基礎(chǔ)上,部分研究人員認(rèn)為是聲波無(wú)限次反射疊加的結(jié)果,如文獻(xiàn)[10]指出S2接收的聲壓信號(hào)為正方向傳播的波在S2處無(wú)限次疊加的結(jié)果,并進(jìn)行了仿真分析. 文獻(xiàn)[11]認(rèn)為實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果應(yīng)為無(wú)窮多列波的疊加,并將這些波列按照正方向和反方向兩個(gè)進(jìn)行分別相加,進(jìn)行了理論公式的推導(dǎo). 但是其僅計(jì)算了S1和S2距離為半波長(zhǎng)整數(shù)倍這些特殊點(diǎn)的結(jié)果,所得到的結(jié)論不具有普適性. 文獻(xiàn)[12]利用一維黏性介質(zhì)波動(dòng)方程的穩(wěn)態(tài)解和邊界條件對(duì)S1和S2間的聲壓分布進(jìn)行了求解,并針對(duì)聲吸收系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1的情況進(jìn)行了討論. 文獻(xiàn)[13]在這種假設(shè)下,進(jìn)行了理論推導(dǎo),獲得了和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象較為吻合的結(jié)果,但是在推導(dǎo)中聲波振幅和聲壓振幅概念有些混淆,且沒(méi)有對(duì)相位比較法進(jìn)行分析,缺少實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的支撐. 隨后文獻(xiàn)[14]指出接收器的聲壓信號(hào)應(yīng)該包括正方向和反方向傳播的波的無(wú)限次疊加,并利用一維時(shí)諧平面聲壓方程進(jìn)行了理論推導(dǎo),通過(guò)函數(shù)擬合得到的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果吻合較好,但是,理論推導(dǎo)中采用的近似條件為聲吸收系數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1,而其實(shí)驗(yàn)擬合的均值卻為2.357,此外也沒(méi)有對(duì)相位比較法給出解釋.

從以上分析可知,該實(shí)驗(yàn)中接收端移動(dòng)時(shí)聲壓變化的推導(dǎo)還不夠完善,尤其是對(duì)相位比較法的原理研究還不清楚. 因此,本文從振幅與聲壓的關(guān)系出發(fā),利用平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)、聲壓反射系數(shù)公式和波的疊加原理深入研究S1和S2間的聲壓振幅和相位變化情況,為正確理解該實(shí)驗(yàn)的物理本質(zhì)提供理論指導(dǎo).

1 基本原理

由于實(shí)驗(yàn)中采用聲壓換能器作為發(fā)射端和接收端,因此測(cè)量的物理量是聲壓而非位移,聲壓p通常定義為某點(diǎn)壓強(qiáng)相對(duì)于靜態(tài)聲壓的增量. 所以首先由聲波位移平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)推導(dǎo)出聲壓的波函數(shù). 當(dāng)傳播介質(zhì)為均勻彈性介質(zhì)時(shí),考慮沿正向傳播的平面簡(jiǎn)諧聲波,取介質(zhì)中的一個(gè)微元進(jìn)行受力分析,如圖1所示.

圖1 介質(zhì)微元受力分析圖

設(shè)圖1中微元的厚度為Δx,截面積為S,且與聲波傳播方向垂直,則該介質(zhì)微元質(zhì)量為

Δm=ΔxSρ

(1)

其中ρ為介質(zhì)的密度. 則該微元所受的合外力可由左右兩側(cè)壓強(qiáng)差Δp=p2-p1(其中p1和p2分別為該微元左側(cè)和右側(cè)相對(duì)于靜態(tài)聲壓的增量)進(jìn)行求解為

F1-F2=-SΔp

(2)

又由牛頓第二定律有

F1-F2=Δma

(3)

其中a為微元振動(dòng)的加速度. 聯(lián)立以上3式可得

(4)

(5)

令ξ表示微元偏離平衡位置的位移,則根據(jù)加速度的定義可將上式轉(zhuǎn)換為

(6)

上式即一維聲場(chǎng)中的介質(zhì)微元運(yùn)動(dòng)方程. 考慮實(shí)驗(yàn)中超聲波為一維簡(jiǎn)諧波的情況,其平面簡(jiǎn)諧波函數(shù)為

ξ=ξ0cos(ωt-kx+φ)

(7)

(8)

令上式對(duì)x進(jìn)行積分可得

(9)

(10)

(11)

這就是理想的均勻彈性介質(zhì)平面簡(jiǎn)諧波的聲壓波函數(shù). 當(dāng)介質(zhì)存在損耗時(shí),波數(shù)k=k0-iη為復(fù)數(shù),其中η表示振幅隨傳播距離的衰減速度,也被稱為聲吸收系數(shù). 不妨設(shè)φ0=0,則式(11)可以化簡(jiǎn)為

p=p0e-ηxei(ωt-k0x),

(12)

上式即為存在介質(zhì)損耗時(shí)的聲波傳播函數(shù). 此外,聲波在由介質(zhì)1入射到交界面的反射和透射可分別用聲壓反射系數(shù)R和聲壓透射系數(shù)T進(jìn)行描述[15]

(13)

(14)

其中,Z1=ρ1u1和Z2=ρ2u2分別為介質(zhì)1和2的聲阻抗率,pi0、pr0和pt0分別為入射波、反射波和透射波的聲壓振幅.

2 多次反射疊加的聲場(chǎng)

實(shí)驗(yàn)采用裝置如圖2所示,其中S1為發(fā)射端,S2為接收端. 根據(jù)前述分析,聲波會(huì)在S1和S2間往復(fù)傳播,多次疊加.

圖2 實(shí)驗(yàn)裝置圖

設(shè)置S1和S2間的距離為L(zhǎng),則根據(jù)式(12)可得第1列至第n列正向聲波在S2處的聲壓振動(dòng)方程分別為:

(15)

其中,R為聲壓反射系數(shù),同理可得n列反向聲波在S2處的聲壓振動(dòng)方程為

(16)

將式(15)和式(16)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加可得

(17)

則當(dāng)n→∞時(shí),利用等比數(shù)列公式可求得式(17)各項(xiàng)的和為

(18)

將上式化簡(jiǎn)后可得

(e-ηLei(ωt-k0L)+R2e-3ηLei(ωt+k0L+π))

(19)

則式(19)的可理解為兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,可知合成后仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng),則S2處的聲壓方程的可表示為

pL=ALcos(ωt+φL)

(20)

其中,振幅AL和初相位φL為

(21)

(22)

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 駐波法測(cè)量討論

為研究S2處聲壓振幅AL隨距離L的變化規(guī)律,取η=0.1,R=0.95,λ=0.01,進(jìn)行了仿真計(jì)算,結(jié)果如圖3所示.

圖3 AL隨距離L的變化規(guī)律

圖4 固定L時(shí)的聲壓分布

圖5 波列數(shù)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響

從圖5中可以看到隨著波列數(shù)的增大,各極大值的位置基本不變,但是極大值的幅值隨這波列數(shù)增大而增大. 為進(jìn)一步考慮聲吸收系數(shù)對(duì)結(jié)果的影響,計(jì)算了η=1時(shí)的AL隨距離L的變化情況,如圖6所示.

圖6 AL隨距離L的變化規(guī)律

(23)

化簡(jiǎn)后有

(24)

當(dāng)S1和S2的距離滿足式(24)時(shí),會(huì)出現(xiàn)聲壓極大值,即等式兩側(cè)函數(shù)的交點(diǎn)即為極值位置. 令R=0.9,繪制了聲吸收系數(shù)η分別為0.04、0.4和4時(shí)的曲線,如圖7所示.

圖7 極值位置分布情況

3.2 相位比較法測(cè)量討論

從式(22)可以看到,φL并不是嚴(yán)格的周期函數(shù),將其化簡(jiǎn)后可得

tan(φL)=f(L)tan(k0L)

(25)

圖8 相位比較法測(cè)量精度的影響因素分析

3.3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建立的聲壓多次反射模型的正確性,利用SV-DH-8型聲速測(cè)定儀、SVX-6型聲速測(cè)定信號(hào)源和DS1102c型數(shù)字示波器,分別采用駐波法和相位比較法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量,采用的超聲波頻率為37 kHz,實(shí)驗(yàn)室溫度為20.6 ℃,空氣相對(duì)濕度為41%,文獻(xiàn)[15]給出當(dāng)前實(shí)驗(yàn)條件下聲吸收系數(shù)的測(cè)量值η=0.027 38,而聲壓反射系數(shù)R通常難以測(cè)量,因此部分文獻(xiàn)采用式(13)對(duì)其進(jìn)行估算,而實(shí)際上式(13)僅對(duì)無(wú)限大的理想交界面成立,導(dǎo)致這種估算具有較大的誤差. 因此,本文利用式(21)對(duì)聲壓的實(shí)測(cè)值進(jìn)行函數(shù)擬合,從而估算聲壓反射系數(shù)R,擬合結(jié)果如圖9所示.

圖9 駐波法聲壓擬合結(jié)果

聲壓反射系數(shù)的擬合值為R=0.305,擬合的相關(guān)系數(shù)為0.971 2,從圖9中可以看到,實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果吻合較好,很好的驗(yàn)證了本文模型的正確性. 從圖9中可以發(fā)現(xiàn),聲壓信號(hào)在極大值附近擬合較好,而在極小值附近吻合程度要差一些,其主要原因是極小值附近的聲壓信號(hào)受噪聲等因素影響較大,因此,很難進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量. 進(jìn)一步將擬合得到的聲壓反射系數(shù)R=0.305代入式(22)可計(jì)算得到相位比較法的理論值,將其與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比,結(jié)果如圖10所示.

圖10 相位比較法測(cè)量結(jié)果對(duì)比

從圖10中可以發(fā)現(xiàn),相位隨距離的變化近似為線性關(guān)系,但由于相位求解采用反正切函數(shù),相位測(cè)量值對(duì)距離較為敏感,因此,相位測(cè)量值存在一定的隨機(jī)誤差,使得其較為分散. 此外,實(shí)驗(yàn)中利用數(shù)字示波器測(cè)量相位,信號(hào)傳輸線中的噪聲干擾也會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生一定影響.

4 結(jié)論

本文從物理本質(zhì)上分析了聲速測(cè)量的原理,針對(duì)當(dāng)前聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)存在的疑問(wèn)進(jìn)行了詳細(xì)的建模和理論推導(dǎo),并利用得到的結(jié)果正確解釋了實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 相比于理想的駐波法模型,本文模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合更好. 傳統(tǒng)的駐波模型僅僅是與實(shí)際聲壓分布具有相同的極大值間距才得到了正確的測(cè)量結(jié)果,但并不能反應(yīng)該實(shí)驗(yàn)的物理本質(zhì). 因此,聲壓的多次反射模型是更完善的理論模型,本文的研究對(duì)正確理解該實(shí)驗(yàn)的物理本質(zhì)具有指導(dǎo)意義.