林超　張愛莉

［摘 要］為了滿足學(xué)生學(xué)的需求，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)可先從教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的元認(rèn)知中提煉出核心問(wèn)題，再依據(jù)一定的邏輯關(guān)系梳理課堂教學(xué)內(nèi)容及與之有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，然后預(yù)設(shè)一系列以核心問(wèn)題為中心的數(shù)學(xué)問(wèn)題，即形成一條由“關(guān)注知識(shí)”轉(zhuǎn)向“關(guān)注能力”、由“給出知識(shí)”轉(zhuǎn)向“引起活動(dòng)”、由“關(guān)注教師教”轉(zhuǎn)向“關(guān)注學(xué)生學(xué)”的問(wèn)題串。

［關(guān)鍵詞］問(wèn)題串；核心問(wèn)題；作業(yè)設(shè)計(jì)

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2024）02-0054-04

筆者在習(xí)題講評(píng)、專題練習(xí)等教學(xué)中，圍繞核心概念設(shè)計(jì)有序變化的問(wèn)題串，讓學(xué)生根據(jù)題干中的線索提示，經(jīng)歷“觀察思考（出現(xiàn)困惑）—實(shí)踐探究（動(dòng)手操作）—對(duì)比反思（提煉總結(jié)）”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，從而以板塊化的形式推進(jìn)課堂練習(xí)的教學(xué)。下面以“圓柱表面積和體積綜合練習(xí)”為例，呈現(xiàn)具體做法（如圖1）。

此項(xiàng)作業(yè)是在教學(xué)完圓柱的表面積和體積后，為幫助學(xué)生及時(shí)將新知從碎片化轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)化，形成統(tǒng)一的“知識(shí)體”，而在課堂教學(xué)中進(jìn)行的綜合提升練習(xí)?？紤]到學(xué)生已基于實(shí)物探究了圓柱的基本特征，基于遷移探究了圓柱表面積的計(jì)算方法，基于類比推導(dǎo)了圓柱的體積計(jì)算公式，為促進(jìn)學(xué)生思維層級(jí)的躍遷，使學(xué)生突破知識(shí)邊界，筆者依據(jù)本次練習(xí)的核心問(wèn)題“分析圓柱切割前后圖形的聯(lián)系，如形狀、表面積、體積等的變化情況”設(shè)計(jì)了“問(wèn)題串教學(xué)結(jié)構(gòu)鏈”（如圖2），并按照“用適當(dāng)?shù)姆椒庸A柱，并依據(jù)這些方法解決與之相關(guān)的表面積和體積問(wèn)題”的設(shè)計(jì)思路，整理出如圖1所示的4個(gè)相互關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，并以“問(wèn)題聯(lián)動(dòng)”的方式構(gòu)建問(wèn)題串，幫助學(xué)生尋找到方法解決圓柱切割之后，與表面積和體積的有關(guān)問(wèn)題。

一、練習(xí)設(shè)計(jì)顯整體，于“瞻前顧后”中點(diǎn)燃思維火花

教學(xué)實(shí)踐證明，許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)題之間其實(shí)是相通的，都是從源于教材的某一道例題或習(xí)題中衍生變化而來(lái)的。故筆者認(rèn)為，在設(shè)計(jì)練習(xí)中的“問(wèn)題串”時(shí)，可以通過(guò)對(duì)教材中一道典型例題的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)（核心問(wèn)題）進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?，衍生出既可以是從屬關(guān)系，也可以是并列關(guān)系，還可以是層級(jí)關(guān)系的子問(wèn)題，讓學(xué)生在例題的有序變化中發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題的變化規(guī)律，體會(huì)變化中的不變，從而找到該系列問(wèn)題的根本解決辦法。同時(shí)，在設(shè)計(jì)過(guò)程中需把握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)及學(xué)生的具體學(xué)情，從而對(duì)問(wèn)題串進(jìn)行整體布局，發(fā)揮其伙伴學(xué)習(xí)的功能，彰顯伙伴學(xué)習(xí)的價(jià)值。

以“圓柱表面積和體積綜合練習(xí)”中的問(wèn)題1為例，本題是對(duì)蘇教版教材六年級(jí)下冊(cè)第14頁(yè)的一道練習(xí)問(wèn)題的再思考（如圖3）。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，這道題及其所代表的這一類題是練習(xí)中的“?？汀?，但在這類作業(yè)題中，學(xué)生還是會(huì)出現(xiàn)不理解切割方法、找不到圓柱變化前后的特征、不清楚增加面的個(gè)數(shù)和形狀等情況，這暴露了教學(xué)設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題，若不深究這些概念的細(xì)節(jié)、存在的關(guān)聯(lián)、可能的變化及變化之后的表象，學(xué)生的疑惑將不斷增大。

另外，設(shè)計(jì)的練習(xí)也不宜以題論題，應(yīng)設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)思考，使他們做出更明智的判斷和行動(dòng)。因此，筆者在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)直接從例題出發(fā)，在保持原題的主要條件基本不改變的前提下，去掉個(gè)別條件，繼續(xù)演繹、深化、探究本題可能產(chǎn)生的新結(jié)論，使之衍生出一組能體現(xiàn)新、舊題目的已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生能從整體上掌握知識(shí)和解題方法的系列問(wèn)題，即形成以問(wèn)題1為代表的問(wèn)題串。

在問(wèn)題1的反饋中，關(guān)于第一小問(wèn)“可以怎樣切”，學(xué)生都能找到3種切法，并能根據(jù)提示作圖。但不同學(xué)生的空間素養(yǎng)和作圖基礎(chǔ)不盡相同，因此所作之圖與表述的清晰程度各有高低：有的只畫出了切割線，有的畫出了切割后的立體圖形，有的不僅表意清楚還能圖文并茂（如圖4）。

關(guān)于第二小問(wèn)“切法特點(diǎn)”的作答，有的學(xué)生只描述了切法和切后的份數(shù)，如：這些切法有的是橫著切的，有的是豎著切的，有的是斜著切的；都能把圓柱平均分成大小相等的兩份。以上描述沒能挖掘出圓柱加工后隱藏的特征信息。

有的學(xué)生描述了體積和表面積的變化情況，如：對(duì)于三種切法，圓柱的體積都不變，表面積都是增加了兩個(gè)完全相等的面。還有的學(xué)生描述了切割后立體圖形的形狀、截面的形狀和個(gè)數(shù)，如：都平均分成了體積相等的兩份，但是切出來(lái)的形狀不同，第一種方法切出來(lái)每份都是一個(gè)圓柱，表面積增加的是兩個(gè)直徑為10分米的圓的面積；第二種方法切出來(lái)的每份是一個(gè)半圓柱，表面積增加的是兩個(gè)長(zhǎng)20分米、寬10分米的長(zhǎng)方形的面積；第三種方法切出來(lái)的是兩個(gè)不規(guī)則的立體圖形，表面積增加的是兩個(gè)橢圓的面積。部分學(xué)生能根據(jù)畫出的示意圖，用文字條理清晰地描述圖形變化前后的本質(zhì)特征。

由此可知，并不是每個(gè)學(xué)生都能很好地抓住問(wèn)題的重點(diǎn)與關(guān)鍵，或是能上升到應(yīng)有的高度。張齊華老師指出，問(wèn)題應(yīng)該是模糊的，是學(xué)生一眼看不到底的，需要不斷開掘和延展，過(guò)程中可能會(huì)引發(fā)新的問(wèn)題與思考，問(wèn)題與問(wèn)題之間會(huì)碰撞，橫向與縱向之間會(huì)勾連。在這里，整個(gè)問(wèn)題串的開篇——問(wèn)題1的設(shè)計(jì)便是通過(guò)改變已知條件及需求解的結(jié)論，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行了模糊處理，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探究，并通過(guò)2個(gè)小問(wèn)層層遞進(jìn)，使學(xué)生更加注意這類問(wèn)題，從而從整體上把握此類知識(shí)。

二、練習(xí)設(shè)計(jì)顯層次，于“多元融通”中探查思維高度

要想提升學(xué)生的思維能力、抽象概括能力，教師可以多元融通教學(xué)方式，設(shè)計(jì)在邏輯上有特定聯(lián)系、在思維上層層遞進(jìn)的問(wèn)題串，進(jìn)而在練習(xí)中促進(jìn)學(xué)生的個(gè)體思維在經(jīng)驗(yàn)的支持下逐漸深入，群體思維在分享的碰撞下實(shí)現(xiàn)進(jìn)步。

以“圓柱表面積和體積綜合練習(xí)”中的問(wèn)題2為例，這道題是對(duì)問(wèn)題1的拓展與延伸，考慮到學(xué)生在解決問(wèn)題1時(shí)出現(xiàn)的薄弱點(diǎn)，還需通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓?，將未知條件轉(zhuǎn)化成已知條件，從而解決問(wèn)題。故教師有必要設(shè)計(jì)一系列提煉生活原型的知識(shí)串，將生活中有關(guān)分割的知識(shí)提取出來(lái)，分類之后反復(fù)建構(gòu)、系統(tǒng)重組。設(shè)計(jì)時(shí)，筆者希望能引導(dǎo)學(xué)生搜尋與自己生活經(jīng)驗(yàn)相似的知識(shí)儲(chǔ)備，對(duì)已學(xué)的立體圖形做一些能體現(xiàn)層次性的“加工”。從反饋（如圖5）中可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生選擇的加工方式是“拼接”“縮短”和“削減”，少數(shù)學(xué)生想到了“疊加、疊減”。

由此可知，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)確實(shí)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，教師所關(guān)注的不應(yīng)只是如何幫助學(xué)生更好地掌握各種具體的解題策略，還應(yīng)對(duì)學(xué)生的解題活動(dòng)起到一定的啟發(fā)和指導(dǎo)作用。從反饋中還可發(fā)現(xiàn)，學(xué)生習(xí)慣借助對(duì)生活原型的記憶或?qū)?shí)物的直觀操作獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，若是設(shè)計(jì)的問(wèn)題沒有具體或可視化的載體，可以借問(wèn)題1的作圖之利，再次把抽象的思維化為有形的圖，以圖助思，扶梯而上。同時(shí)，交流共享反饋中所出示的四種加工方式，“拼接”和“縮短”以學(xué)生獨(dú)立思考、自由回答、師生交流為主，“削減”以學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)表達(dá)、師生交流（教師選擇性參與）為主，“疊加、疊減”以伙伴學(xué)習(xí)、教師評(píng)價(jià)為主。在這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生在問(wèn)題串的驅(qū)動(dòng)下反復(fù)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的思考和想象的內(nèi)化，促進(jìn)思維向深處蔓延。

在后續(xù)的成果共享中，學(xué)生互相啟發(fā)，在“切割”“拼接”“縮短”“削減”“疊加、疊減”之外，還找到了“倒水”、“鍛造”及“卷一卷”等有數(shù)學(xué)意義的加工方式（如圖6）。問(wèn)題研究至此，學(xué)生可以根據(jù)自己對(duì)加工方式的理解串聯(lián)其他相關(guān)的問(wèn)題，還可以根據(jù)自己對(duì)知識(shí)的把握深度尋找生活中可以解決的問(wèn)題，進(jìn)而推動(dòng)思維進(jìn)程、提升思維質(zhì)量，將“通過(guò)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題引導(dǎo)學(xué)生深入進(jìn)行思考”這一思想更好地貫穿于“問(wèn)題串”設(shè)計(jì)的全過(guò)程中。

三、練習(xí)設(shè)計(jì)顯針對(duì)，于“系統(tǒng)思辨”中完善思維體系

在問(wèn)題2的反饋中，筆者參與了組間交流，獲取了學(xué)生在確定加工方式后，對(duì)示意圖的繪制產(chǎn)生的各種想法，如：加工得到的形體將由幾個(gè)面組成？各有幾個(gè)什么形狀的平面圖形？有沒有曲面？曲面切下來(lái)應(yīng)該是什么圖形？各個(gè)形狀之間的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？畫的時(shí)候，哪些線條、截面是對(duì)應(yīng)的？這些基于直觀分析生成的問(wèn)題都具有自身的教學(xué)作用及價(jià)值導(dǎo)向，教師若能有意識(shí)地貫穿于后續(xù)的“問(wèn)題串”中，或能確保整體設(shè)計(jì)意圖的達(dá)成。由此，練習(xí)單上的問(wèn)題3和問(wèn)題4便自然形成。

具體來(lái)說(shuō)，練習(xí)在設(shè)計(jì)初期應(yīng)清楚地點(diǎn)明核心問(wèn)題，而且也應(yīng)在全部的練習(xí)過(guò)程中不斷重復(fù)、強(qiáng)化核心問(wèn)題，其間可根據(jù)練習(xí)情況適時(shí)調(diào)整問(wèn)題串，即有一個(gè)對(duì)核心問(wèn)題逐步明朗與不斷深化的調(diào)適過(guò)程，包括對(duì)子問(wèn)題的必要調(diào)整及適當(dāng)糾錯(cuò)。這樣的思辨可使問(wèn)題串更具有針對(duì)性，使學(xué)生自然地理解核心問(wèn)題，逐步完善思維體系。

在問(wèn)題3的反饋中，筆者發(fā)現(xiàn)有個(gè)別學(xué)生因?yàn)樽约褐划嬃艘粭l切割線，就認(rèn)為只增加了一個(gè)面，理解出現(xiàn)偏差，這體現(xiàn)了其空間想象能力的薄弱。其余學(xué)生會(huì)選擇自己熟悉的截面進(jìn)行面積計(jì)算，但也出現(xiàn)了忽略不同切法導(dǎo)致截面與增加的面積也不同的情況，繼而只選擇計(jì)算增加的長(zhǎng)方形面積或圓形面積。再看問(wèn)題4，圓柱切割后可能被分成兩個(gè)小圓柱或兩個(gè)半圓柱，多數(shù)學(xué)生選擇計(jì)算熟悉的圓柱表面積，而對(duì)于不熟悉的半圓柱，部分學(xué)生沒有算上長(zhǎng)方形截面的面積。針對(duì)此種問(wèn)題，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)比對(duì)正確圖示與錯(cuò)誤圖示，幫助學(xué)生深入理解題意。

回顧問(wèn)題1至問(wèn)題4，如果由教師直接拋出教材上的例題或是改編題，對(duì)學(xué)生而言都是突然且刻意的，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)新問(wèn)題的重建和認(rèn)知是漸進(jìn)的過(guò)程，若是缺少自主內(nèi)化作為表層理解勾連深層理解的內(nèi)力，那么學(xué)生的思維體系是不完整的。如在圖形加工環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生面對(duì)“加工方式有什么不同？不同在哪？圖形加工前后又有什么聯(lián)系？什么變了？什么沒變？”等問(wèn)題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生圍繞“相同”與“不同”、“變”與“不變”進(jìn)行觀察比較，緊扣核心問(wèn)題，抓牢基本原理。同時(shí)，鄭毓信教授指出：只有通過(guò)深入地揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容背后的思維方法，我們才能真正做到將數(shù)學(xué)課講活、講懂、講深。實(shí)現(xiàn)這樣的目標(biāo)，不僅需要教師展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，學(xué)生的自主內(nèi)化也是其中不可缺少的一環(huán)，能最大限度地發(fā)揮“問(wèn)題串”的教學(xué)價(jià)值?；谏鲜稣J(rèn)識(shí)，筆者建構(gòu)出“問(wèn)題串邏輯結(jié)構(gòu)鏈”的基本樣態(tài)（如圖7），以期構(gòu)建成一條完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維鏈。

綜上所述，問(wèn)題串的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)、思維習(xí)慣和學(xué)習(xí)水平，并基于對(duì)核心問(wèn)題的理解，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的差異性及多種學(xué)習(xí)傾向，最終明晰構(gòu)建高度組織化和結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系才是設(shè)計(jì)的目的。因此，在設(shè)計(jì)問(wèn)題串時(shí)不僅需要合理設(shè)置疑難，于幫扶中激勵(lì)學(xué)生循著問(wèn)題階梯逐步提升，還需通過(guò)個(gè)體經(jīng)驗(yàn)與群體經(jīng)驗(yàn)的互啟互鑒，使個(gè)體思維與群體思維互助，為實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體性架構(gòu)充分發(fā)揮其應(yīng)有功能。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

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[2] 鄭毓信.數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2008.

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