林秀芬

［摘? 要］ 教學(xué)目標(biāo)是實(shí)施教學(xué)的依據(jù)，亦是課堂教學(xué)成效的評價標(biāo)準(zhǔn)，問題則是達(dá)成各個目標(biāo)的“驅(qū)動器”. 文章以“直線與平面垂直的判定”教學(xué)為例，從分解教學(xué)目標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)，談?wù)勗鯓永脝栴}驅(qū)動與活動開展來逐個實(shí)現(xiàn)子目標(biāo)，并提出分解目標(biāo)是有效教學(xué)的前提，科學(xué)提問是有效教學(xué)的關(guān)鍵，操作活動是有效教學(xué)的保障.

［關(guān)鍵詞］ 問題驅(qū)動；分解目標(biāo)；教學(xué)

目標(biāo)是實(shí)施教學(xué)的依據(jù)，但課標(biāo)所提出的目標(biāo)一般都比較籠統(tǒng)，屬于上位目標(biāo)，與我們的實(shí)際教學(xué)存在一定的距離. 這就要求教師對目標(biāo)進(jìn)行深入解讀與分解，用問題為目標(biāo)鋪設(shè)更多的臺階. 教師可將目標(biāo)作為教學(xué)的主線，將問題巧妙地融合在教學(xué)活動中，引導(dǎo)學(xué)生圍繞問題進(jìn)行新知探究. 本文以“直線與平面垂直的判定”教學(xué)為例，談?wù)勅绾畏纸饽繕?biāo)，并利用“問題驅(qū)動”逐個實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的具體操作方法.

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)1 借助多媒體與實(shí)例，讓學(xué)生在觀察中感知并理解線面之間的垂直關(guān)系，自主抽象出直線與平面垂直的概念.

目標(biāo)分解（子目標(biāo)）：①通過問題吸引學(xué)生的注意力；②開展活動，讓學(xué)生感知線面垂直是線面相交的一種特殊狀態(tài)，滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想；③類比線面平行，讓學(xué)生感知“平面化與降維”的一般思想，啟發(fā)學(xué)生在聯(lián)想、類比中研究空間幾何關(guān)系；④觀察活動，讓學(xué)生感知線面垂直的本質(zhì)；⑤抽象并歸納線面垂直的概念；⑥讓學(xué)生從活動的正、反兩面，感知線面垂直關(guān)系的內(nèi)涵，擁有良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)；⑦滲透類比思想，增強(qiáng)學(xué)生的空間感.

教學(xué)目標(biāo)2 從定義與事實(shí)出發(fā)，讓學(xué)生在直觀操作中感知并歸納線面垂直的判定定理.

目標(biāo)分解（子目標(biāo)）：①利用問題驅(qū)動，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突；②通過實(shí)際操作與問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生感悟折紙活動的內(nèi)涵；③讓學(xué)生在活動中感知“有限代替無限”，滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想；④從活動探究中歸納判定定理，培養(yǎng)學(xué)生的抽象力；⑤讓學(xué)生深刻感悟線線垂直推導(dǎo)線面垂直，應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想.

教學(xué)目標(biāo)3 用定義和判定定理證明線面垂直關(guān)系.

目標(biāo)分解（子目標(biāo)）：①通過對問題的解決，讓學(xué)生感知“符號化”，獲得從文字語言向符號語言轉(zhuǎn)化的能力；②在問題的解決中，強(qiáng)化判定定理的作用，體會這是證明線面垂直關(guān)系的一般方法；③感知判定定理的應(yīng)用，體會轉(zhuǎn)化思想的實(shí)際應(yīng)用價值與意義.

教學(xué)過程

1. 問題驅(qū)動，讓學(xué)生對直線與平面垂直的關(guān)系產(chǎn)生明確認(rèn)識

問題1 在同一個空間內(nèi)，“一條直線”和“一個平面”之間具有哪些位置關(guān)系？

生1：具有線在面內(nèi)、線面平行與線面相交三種位置關(guān)系.

師：能列舉一些日常生活中線面相交的實(shí)例嗎？

生2：旗桿與地面.

生3：意大利的比薩斜塔.

……

師：非常好?。ㄓ肞PT展示比薩斜塔和旗桿）如果我們將旗桿與比薩斜塔都視為直線，地面理解為一個平面，這兩幅圖都能反映出線面相交的關(guān)系，它們之間有什么區(qū)別嗎？

生4：有區(qū)別，旗桿與地面是垂直的關(guān)系，斜塔與地面并不垂直.

設(shè)計(jì)意圖 以問題驅(qū)動學(xué)生的思維，引出生活實(shí)例，借助多媒體展示兩種典型的線面相交關(guān)系，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的①②兩個子目標(biāo).

問題2 該如何準(zhǔn)確定義直線與平面垂直呢？

要求學(xué)生結(jié)合直線與平面平行的關(guān)系的研究方法與思想，來探索直線與平面垂直的關(guān)系. 在探索過程中，要求學(xué)生準(zhǔn)確表達(dá)“平面化與降維”的基本思想，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的子目標(biāo)③.

活動1 將一個圓錐放在桌上，圓錐的軸SO與桌面是垂直的關(guān)系嗎？這和旗桿與地面的關(guān)系一樣嗎？

生5：是垂直的關(guān)系，和旗桿與地面的關(guān)系是一樣的.

師：現(xiàn)在請大家為這種直線與平面垂直的關(guān)系準(zhǔn)確下個定義. （略）

問題3 圓錐的軸SO與其底面中的哪些直線是垂直的？是否可以說圓錐的軸SO與其底面內(nèi)任意的直線都是垂直的？

活動2 多媒體展示圓錐形成的過程.

師：大家親眼觀看了圓錐演變的過程，誰來說一說圓錐的軸SO與其底面內(nèi)過圓心的直線之間是怎樣的位置關(guān)系？

生6：為垂直關(guān)系.

師：那么與不過圓心的直線之間又是怎樣的位置關(guān)系呢？由此獲得怎樣的結(jié)論？

生6：同樣為垂直關(guān)系，可獲得結(jié)論“圓錐的軸SO與其底面內(nèi)的任意一條直線之間均為垂直關(guān)系”.

設(shè)計(jì)意圖 通過教學(xué)活動的開展，引導(dǎo)學(xué)生自主探索并解決問題3，順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的子目標(biāo)④.

師：不錯！綜上分析，如何定義“一條直線”與“一個平面”之間的垂直關(guān)系呢？

基于以上探索，學(xué)生很快就提出了自己的見解，并在老師和同學(xué)的補(bǔ)充下，總結(jié)出相應(yīng)的結(jié)論. 整個過程順利、流暢，學(xué)生的參與熱情也很高，充分凸顯了新課標(biāo)中的“以生為本”“積極參與”“高效互動”等教育理念. 教師將學(xué)生提煉出來的結(jié)論進(jìn)行板書，進(jìn)一步深化學(xué)生的理解，為接下來的實(shí)際應(yīng)用做鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖 在問題的驅(qū)動下，師生積極互動，學(xué)生用自己的語言表達(dá)直線與平面垂直的關(guān)系，為準(zhǔn)確抽象線面垂直的定義奠定了基礎(chǔ)，順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的子目標(biāo)⑤.

問題4 如果將板書中的“任意一條直線”更改為“所有直線”或“無數(shù)條直線”，此命題還成立嗎？

生7：改成“所有直線”的命題是成立的，但改成“無數(shù)條直線”的命題則出現(xiàn)了偏差. “所有”和“任意”表達(dá)的是同一個意思，但與“無數(shù)”卻不是等價的.

活動3 教師將手中的直角三角板記作Rt△ABC（直角頂點(diǎn)為C），教鞭記作l. 將直角三角板的AC邊貼放在黑板上（非豎直），將教鞭也貼放在黑板上（平行于AC），那么直角三角板的BC邊始終與教鞭l垂直，逐漸移動l，要求學(xué)生觀察BC邊與黑板是否為垂直的關(guān)系.

問題5 若一條直線AB與一個平面α內(nèi)的一條直線l并非垂直的關(guān)系，那么直線AB與平面α是否為垂直的關(guān)系？

活動4 將全班48名學(xué)生分成六組，引導(dǎo)學(xué)生用鉛筆和數(shù)學(xué)書作為實(shí)驗(yàn)器材，進(jìn)行情境模擬與合作探究，各組匯報結(jié)論.

設(shè)計(jì)意圖 調(diào)動學(xué)生參與探究的積極性，讓學(xué)生在活動中各揚(yáng)所長，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的子目標(biāo)⑥.

結(jié)論 實(shí)驗(yàn)證明，直線AB與平面α并非垂直的關(guān)系. 應(yīng)用反證法證明：若直線AB與平面α垂直，也就是說直線AB與平面α內(nèi)的所有直線都是垂直的關(guān)系，自然與直線l也垂直，這與題設(shè)條件不相符. 由此可確定直線AB與平面α并非垂直的關(guān)系.

問題6 眾所周知，過平面內(nèi)的一點(diǎn)，唯有一條直線與已知直線呈垂直的關(guān)系. 若將平面換成空間，則過一點(diǎn)與平面垂直的直線有多少呢？

設(shè)計(jì)意圖 通過問題驅(qū)動，引發(fā)學(xué)生思考，順勢引出“點(diǎn)到平面的距離”. 這是一個為提升學(xué)生的思維能力鋪設(shè)臺階的過程，順利達(dá)成教學(xué)目標(biāo)1中的子目標(biāo)⑦.

2. 親歷操作，確認(rèn)直線與平面垂直的判定定理

問題7 用定義來判斷直線與平面垂直的關(guān)系，存在諸多不便，是否有更便捷的判定方法呢？

設(shè)計(jì)意圖 以問題引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激活學(xué)生思維的發(fā)散性，帶領(lǐng)學(xué)生尋找更便捷的判定方法. 讓學(xué)生感知無限可以轉(zhuǎn)化為有限，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)2中的子目標(biāo)①.

活動5 要求學(xué)生取出事先準(zhǔn)備好的三角形紙片（△ABC），如圖1所示，過頂點(diǎn)A折疊△ABC（AD為折痕）. 如圖2所示，將折疊后的紙片放在桌面（平面α）上，使得BD，DC邊與平面α接觸.

問題8 折疊△ABC后，紙片的形狀哪一面發(fā)生了變化？折痕AD與平面α是垂直的關(guān)系嗎？

學(xué)生探究，認(rèn)為折痕AD與DB，DC邊都不是垂直的關(guān)系，因此判斷折痕AD與平面α不是垂直的關(guān)系（以線面垂直定義為依據(jù)）.

問題9 怎么折疊才能讓折痕AD與平面α呈垂直的關(guān)系呢？

生8：當(dāng)折痕AD為BC邊上的高時，其與平面α呈垂直的關(guān)系.

師：大家同意這個說法嗎？有沒有其他意見？

活動6 以AD（BC邊上的高）為折痕，將折疊后的紙片繞AD轉(zhuǎn)動，若DB，DC邊不與桌面（平面α）接觸，觀察折痕AD與平面α是否為垂直的關(guān)系.

學(xué)生操作，獲得結(jié)論：如圖3所示，要讓折痕AD與平面α垂直，除了要滿足“AD為BC邊上的高”這個條件外，還要滿足“DB，DC不在一條直線上，且均在平面α內(nèi)”.

師：這個結(jié)論是否正確呢，我們接著往下探究.

活動7 當(dāng)AD⊥BC時，固定BD，且確保DB，DC緊貼平面α，讓紙片的△ADC部分圍繞AD旋轉(zhuǎn)，折痕AD與平面α是垂直的關(guān)系嗎？

學(xué)生操作，獲得結(jié)論：當(dāng)紙片的△ADC部分圍繞AD旋轉(zhuǎn)時，DC與平面α一直相貼，DC在旋轉(zhuǎn)過程中會形成“痕跡”，“痕跡”所在的直線與AD均為垂直的關(guān)系，由此可確定AD與平面α為垂直的關(guān)系.

師：通過以上探究活動，可知DC在旋轉(zhuǎn)過程中的“痕跡”必過點(diǎn)D，那么折痕AD與不過點(diǎn)D的直線存在垂直關(guān)系嗎？

學(xué)生經(jīng)過探索，提出：根據(jù)異面直線垂直的知識，可確定折痕AD與不過點(diǎn)D的直線也存在垂直關(guān)系.

師：由此可見，折痕AD不僅與平面α內(nèi)的過點(diǎn)D的所有直線垂直，還與平面α內(nèi)的不過點(diǎn)D的所有直線也垂直，因此折痕AD與平面α內(nèi)的所有直線都是垂直的關(guān)系，即折痕AD垂直于平面α.

問題10 請大家嘗試分別用文字、圖形與符號表述直線與平面垂直的判定定理.

設(shè)計(jì)意圖 通過逐層遞進(jìn)的活動探究，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識形成與發(fā)展的過程，感知直線與平面垂直的判定定理的本質(zhì)與內(nèi)涵，確定判定定理的條件，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)2中的子目標(biāo)④.

問題11 通過以上探究，請大家分別從“定義”與“判定定理”兩個維度分析線面垂直的情況.

設(shè)計(jì)意圖 總結(jié)問題，可進(jìn)一步深化學(xué)生對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的理解，優(yōu)化思維，既為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)2中的子目標(biāo)⑤奠定基礎(chǔ)，也為接下來的聯(lián)系活動創(chuàng)造條件.

3. 練習(xí)訓(xùn)練，深化理解并應(yīng)用定義與定理

問題12 （1）已知AB∥CD，AB與平面α垂直，求證：CD與平面α也是垂直的關(guān)系.

（2）如圖4所示，已知四棱錐S－ABCD的底面為一個矩形，且SA⊥AB，SA⊥AC，M，N分別為AB，SC的中點(diǎn)，求證：①SA⊥平面ABCD；②MN⊥AB.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生將本節(jié)課獲得的知識靈活地應(yīng)用到實(shí)際解題中，達(dá)到學(xué)以致用的目的，以及教學(xué)目標(biāo)3中的子目標(biāo)①②③.

4. 提煉總結(jié)，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系

問題13 大家在本節(jié)課中學(xué)到了哪些知識？應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？有什么收獲？你們覺得本節(jié)課有哪些環(huán)節(jié)比較好，哪些環(huán)節(jié)還需要改進(jìn)？

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生回顧本節(jié)課的教學(xué)過程，提煉線面垂直研究中用到的數(shù)學(xué)思想和方法，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，達(dá)成本節(jié)課所有的教學(xué)目標(biāo).

教學(xué)思考

1. 分解目標(biāo)是有效教學(xué)的前提

課標(biāo)提出的教學(xué)目標(biāo)相對寬泛，教師在實(shí)際操作時，存在一定的障礙. 將籠統(tǒng)的教學(xué)目標(biāo)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況分解成一個個容易達(dá)成的子目標(biāo)，降低學(xué)生跨入課堂學(xué)習(xí)的門檻，讓學(xué)生在“低起點(diǎn)、小步子”的環(huán)境中，逐步實(shí)現(xiàn)子目標(biāo)，積少成多，邁向終極目標(biāo).

2. 科學(xué)提問是有效教學(xué)的關(guān)鍵

問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)教學(xué)離不開一個個問題的驅(qū)動與支持. 以分解目標(biāo)為核心，科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卦O(shè)計(jì)問題，有利于激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生的思維隨著逐層遞進(jìn)的問題拾級而上. 科學(xué)提問是有效教學(xué)的關(guān)鍵，也是培養(yǎng)學(xué)生情感目標(biāo)的基礎(chǔ)，因此需要教師站在宏觀的角度去設(shè)計(jì)問題，制定長遠(yuǎn)的教學(xué)計(jì)劃.

3. 操作活動是有效教學(xué)的保障

布魯納認(rèn)為：學(xué)習(xí)不僅僅是語言信息的接收過程，更是知識的探究與體驗(yàn)過程. 確實(shí)，課堂作為師生互動的場所，要體現(xiàn)出“以生為本”的教學(xué)理念. 科學(xué)有效的操作活動能為學(xué)生搭建連貫的思維“腳手架”，讓學(xué)生在親歷知識形成與發(fā)展的過程中，自主建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo).

總之，教學(xué)目標(biāo)是一堂課的核心，將目標(biāo)分解成一個個便于操作、容易落實(shí)與評價的子目標(biāo)，能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生從真正意義上理解并掌握新知，為促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).