黃雅倩

［摘? 要］ 科學(xué)、合理的問(wèn)題情境能有效激活學(xué)生的思維，引發(fā)學(xué)生思考與交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 研究者以“弧度制”為例，從“情境創(chuàng)設(shè)，復(fù)習(xí)導(dǎo)入”“活動(dòng)探究，形成概念”“揭露本質(zhì)，建立聯(lián)系”“應(yīng)用新知，深化理解”“歸納總結(jié)，提煉升華”等方面展開(kāi)教學(xué)，并從如下幾點(diǎn)談一些思考：注重滲透數(shù)學(xué)文化，激趣啟思；關(guān)注知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知體系；加強(qiáng)提煉數(shù)學(xué)思想，發(fā)展素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 問(wèn)題情境；核心素養(yǎng)；弧度制

科學(xué)、合理的問(wèn)題情境往往能有效激活學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，引發(fā)學(xué)生思考與交流. 基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計(jì)逐層遞進(jìn)的問(wèn)題情境，是踐行新課標(biāo)要求的基礎(chǔ)，也是不斷拔高學(xué)生思維、提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的保障. 為了驗(yàn)證這種說(shuō)法，筆者對(duì)此進(jìn)行了實(shí)踐與研究，現(xiàn)以“弧度制”的教學(xué)為例，展開(kāi)實(shí)踐與思考.

教學(xué)分析

“弧度制”具有承上啟下的作用，“上”為初中階段所學(xué)的“度（角的度量單位）”，“下”為高中階段推廣的角的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在本節(jié)課前對(duì)“任意角”已有所了解. 本節(jié)課作為“三角函數(shù)”章節(jié)的第二課，教學(xué)初始目標(biāo)在于引發(fā)學(xué)生認(rèn)知矛盾，矛盾體現(xiàn)在“角度與三角函數(shù)值之間無(wú)法直接運(yùn)算”方面，完成該目標(biāo)，“弧度制”也應(yīng)運(yùn)而生. 關(guān)于“三角函數(shù)自變量與函數(shù)值的單位”問(wèn)題的統(tǒng)一，可讓角與實(shí)數(shù)之間形成對(duì)應(yīng)的聯(lián)系，這對(duì)后續(xù)研究任意角的三角函數(shù)以及函數(shù)相關(guān)運(yùn)算等具有關(guān)鍵性的作用.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

1. 情境創(chuàng)設(shè)，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

情境1 在正弦表的研究歷程中，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多意外發(fā)現(xiàn)在等式sin30°=0.5中，等號(hào)右側(cè)的實(shí)數(shù)0.5與等號(hào)左側(cè)的sin30°的單位制不同. 顯然，這是一個(gè)矛盾. 在這種背景下，我們可否計(jì)算出sin30°+30°的具體值是多少？

設(shè)計(jì)意圖 課堂起始階段，將數(shù)學(xué)史料作為課堂導(dǎo)入的第一個(gè)情境，意在啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生突破原本對(duì)問(wèn)題封閉的認(rèn)識(shí)，感知“角度”的正弦值實(shí)則為“實(shí)數(shù)”. sin30°+30°這個(gè)式子的提出，為學(xué)生思考指明了方向，即角度的正弦值與角度是否可以相加？sin30°為實(shí)數(shù)，而30°卻是角的度數(shù)，因此兩者并不具備相加的條件，由此成功引發(fā)了學(xué)生的認(rèn)知沖突，為接下來(lái)的教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

問(wèn)題1 你們接觸過(guò)哪些度量角的單位？

生1：初中階段接觸過(guò)度量角的單位有：度、分、秒.

師：這三個(gè)單位的進(jìn)位制分別是什么？

生2：1度為60分，1分為60秒，因此為六十進(jìn)制.

師：我們?cè)撊绾味x1度的角呢？

生3：可將1度的角理解為周角的.

隨著交流的深入，不僅勾起了學(xué)生對(duì)角度制的回憶，還促使學(xué)生自主抽象出什么是角度制，為接下來(lái)更加深入的探索做鋪墊.

問(wèn)題2 大家還記得之前的學(xué)習(xí)中，接觸過(guò)哪些單位制可用來(lái)度量長(zhǎng)度嗎？它們各自的進(jìn)位制是什么？

在這個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)下，學(xué)生快速搜索知識(shí)結(jié)構(gòu)，很快就總結(jié)出常見(jiàn)的度量長(zhǎng)度的單位制有米、碼、英尺等，而且這幾種單位制均屬于十進(jìn)制.

師：既然度量長(zhǎng)度的單位制有多種，那么度量角的單位制是否也存在多種呢？我們可否借助不同的單位制對(duì)角進(jìn)行度量？能否應(yīng)用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大??？

設(shè)計(jì)意圖 舊知的復(fù)習(xí)意在讓學(xué)生更清晰地理解度量角的單位制以及度量長(zhǎng)度的單位制是什么，激發(fā)學(xué)生探索角度單位制的興趣，為弧度制的引入做鋪墊. 在類比思想的幫助下，學(xué)生初步感知知識(shí)間的聯(lián)系，這對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、類比推理能力等具有重要影響.

2. 活動(dòng)探究，形成概念

探究?jī)?nèi)容 用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小，需以“任意角”的定義作為出發(fā)點(diǎn)，探索與角度大小相關(guān)的量.

如圖1所示，射線OA圍繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至OB處形成角α. 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OA上的一點(diǎn)P（非端點(diǎn)）形成的軌跡為一個(gè)圓弧，這個(gè)圓弧與圓心角α呈相對(duì)應(yīng)的關(guān)系.

問(wèn)題3 說(shuō)說(shuō)圖1中射線OA在旋轉(zhuǎn)時(shí)涉及哪些條件，所涉及的條件之間有沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)點(diǎn)？

學(xué)生略作思考，很快就給出明確的結(jié)論：射線OA在旋轉(zhuǎn)時(shí)涉及的條件有圓的半徑、弧長(zhǎng)與圓心角等，這些條件之間存在一定的關(guān)聯(lián)性，如在半徑不發(fā)生改變的背景下，圓心角的度數(shù)越大，則圓心角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)也越長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖 調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與認(rèn)知基礎(chǔ)，促使學(xué)生更好地建構(gòu)與內(nèi)化新知. 圓心角影響因素的研究順利勾起了學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，為抽象弧度制的概念奠定了基礎(chǔ).

3. 揭露本質(zhì)，建立聯(lián)系

師：正角、負(fù)角、零角受什么因素影響？

師：通過(guò)以上探索，大家覺(jué)得“弧度制度量的角的集合”與“實(shí)數(shù)集”之間有聯(lián)系嗎？

師生、生生積極互動(dòng)，建立它們相對(duì)應(yīng)的關(guān)系（如圖4所示）.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)文化的滲透進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對(duì)弧度制的研究興趣，并深化學(xué)生對(duì)弧度制的認(rèn)識(shí). 學(xué)生在此環(huán)節(jié)感知到弧度制的本質(zhì)，感悟到重要的數(shù)學(xué)思想（特殊到一般），并逐步意識(shí)到“弧度制度量的角的集合”與“實(shí)數(shù)集”之間竟然具有相對(duì)應(yīng)的關(guān)系，再次提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問(wèn)題6 若想探尋弧度制與角度制之間的關(guān)系，可以從什么角度去分析？從中可否總結(jié)出弧度與角度的換算公式？

學(xué)生合作探索，從周角出發(fā)獲得360°=2π rad，0°=0 rad，并總結(jié)出相應(yīng)的換算公式（如圖5所示）.

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生在問(wèn)題的啟發(fā)下應(yīng)用類比思想從特殊到一般展開(kāi)探索，不僅深化了對(duì)角的度量制的理解，還成功建立了相應(yīng)的關(guān)系，從本質(zhì)上了解了角的度量制. 互化公式的提煉，有效推動(dòng)了學(xué)生邏輯推理能力的發(fā)展.

4. 應(yīng)用新知，深化理解

例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度：①精確值；②近似值，精確到0.001.

例2 如表1所示，將特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)填寫完整.

設(shè)計(jì)意圖 前兩個(gè)例題意在引導(dǎo)學(xué)生熟練掌握角度制和弧度制的轉(zhuǎn)化，最后一個(gè)例題則讓學(xué)生充分體驗(yàn)弧度制的實(shí)用性，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力.

5. 歸納總結(jié)，提煉升華

問(wèn)題7 回顧本節(jié)課研究弧度制的流程，談?wù)勀愕氖斋@與感悟.

以小組合作交流的方式，學(xué)生分別從研究路徑、研究?jī)?nèi)容（弧度制的定義、角與實(shí)數(shù)之間的聯(lián)系、弧度制與角度制的換算、扇形公式）、思想方法（類比思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊到一般思想）等方面展開(kāi)總結(jié)與分析.

設(shè)計(jì)意圖 思路清晰地總結(jié)不僅能將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等梳理清楚，還能有效提升學(xué)生的歸納能力與創(chuàng)新意識(shí).

教學(xué)思考

1. 注重滲透數(shù)學(xué)文化，激趣啟思

鄭毓信認(rèn)為：若教學(xué)僅僅關(guān)注知識(shí)與技能方面，教師充其量為一個(gè)“教書匠”；若在教學(xué)過(guò)程中充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維，則稱得上是給學(xué)生帶來(lái)智慧的“智者”；若能給予學(xué)生文化熏陶，這樣的教師則屬于真正意義上的“大師”. 確實(shí)，數(shù)學(xué)文化博大精深，不僅能豐盈學(xué)生的內(nèi)心世界，開(kāi)闊學(xué)生的視野，還能幫助學(xué)生理解知識(shí)的來(lái)龍去脈，發(fā)展理性精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)精神.

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)要關(guān)注知識(shí)形成與發(fā)展的背景，利用恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境激發(fā)學(xué)生的探索興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力. 如本節(jié)課就以阿耶波多研究正弦表時(shí)遇到的情況作為導(dǎo)入的起點(diǎn)，成功吸引了學(xué)生的注意力，起到了激趣啟思的作用，為整節(jié)課的教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

2. 關(guān)注知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，完善認(rèn)知體系

每一個(gè)問(wèn)題的提出，不能僅僅關(guān)注問(wèn)題本身，還要注意問(wèn)題間有沒(méi)有一定的邏輯關(guān)系，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)知識(shí)點(diǎn)是孤立無(wú)援的，每一個(gè)知識(shí)都是知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中不可或缺的一部分. 事實(shí)證明，問(wèn)題間的邏輯關(guān)系不僅以一種遞進(jìn)的關(guān)系呈現(xiàn)，還表現(xiàn)在后一個(gè)問(wèn)題是前一個(gè)問(wèn)題的進(jìn)階.

縱觀本節(jié)課的教學(xué)，教師以逐層遞進(jìn)的問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)課堂，一環(huán)扣一環(huán)的問(wèn)題及引導(dǎo)讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的形成與發(fā)展有了更加深刻的理解，尤其是問(wèn)題情境和問(wèn)題串的交替呈現(xiàn)，為學(xué)生的思維提供了廣闊的空間.

3. 加強(qiáng)提煉數(shù)學(xué)思想，發(fā)展素養(yǎng)

學(xué)生在活動(dòng)中不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，沉淀思想方法，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)的利好. 本節(jié)課不僅通過(guò)一個(gè)個(gè)循序漸進(jìn)的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)了良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，還在一個(gè)個(gè)問(wèn)題的研究與探索中提煉了多種數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)弧度制的理解. 學(xué)生所獲得的研究方法與數(shù)學(xué)思想，會(huì)成為其受益終身的能力以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

總之，創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境是提高課堂效率、彰顯教師智慧的基本手段. 在以核心素養(yǎng)為背景的當(dāng)下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平出發(fā)，通過(guò)由淺入深的問(wèn)題增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與度，這是發(fā)展學(xué)生學(xué)力、提升學(xué)生思維品質(zhì)的重要舉措.