嚴(yán)潔

［摘? 要］ 概念教學(xué)可以把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是激發(fā)學(xué)生探索欲的基礎(chǔ)，更是促進(jìn)學(xué)力發(fā)展的前提. 文章以“余弦定理”的概念教學(xué)為例，具體從“情境創(chuàng)設(shè)，實(shí)例導(dǎo)入”“深入探究，形成概念”“應(yīng)用概念，鞏固提升”“拓展延伸，發(fā)展能力”四方面展開(kāi)分析，并從以下三方面談幾點(diǎn)思考：立足教材，體現(xiàn)概念形成過(guò)程；問(wèn)題設(shè)計(jì)，明確概念探究方向；注重思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 概念教學(xué)；情境；思維；學(xué)力

數(shù)學(xué)概念是邏輯的起點(diǎn)，是促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的基礎(chǔ). 世間萬(wàn)物的形成與發(fā)展都遵循一定的程序，具有一定的自然性特征，數(shù)學(xué)概念亦不例外. 教材中所呈現(xiàn)的概念一般都是用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼Z(yǔ)言直接呈現(xiàn)，缺乏對(duì)概念形成過(guò)程的介紹，這無(wú)形中會(huì)掩蓋概念形成過(guò)程的自然性特征［1］. 若將抽象的概念直接“灌輸”給學(xué)生，會(huì)讓學(xué)生感到一知半解，無(wú)法理解其本質(zhì). 在此筆者以“余弦定理”的概念教學(xué)為例，從以下幾方面展開(kāi)分析，并提出幾點(diǎn)思考.

教學(xué)過(guò)程

1. 情境創(chuàng)設(shè)，實(shí)例導(dǎo)入

高中階段的數(shù)學(xué)在內(nèi)容和形式上都比初中數(shù)學(xué)要抽象，對(duì)教師的專(zhuān)業(yè)水平與學(xué)生的思維能力的要求越來(lái)越高. 課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師可通過(guò)問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)學(xué)生的探索欲，減少數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的枯燥性，從更大程度上提高學(xué)生的思維能力與解決問(wèn)題的能力.

課堂導(dǎo)入所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境需要遵循以下幾個(gè)特性：①目的性，目標(biāo)明確的情境，可讓學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的思考；②價(jià)值性，創(chuàng)設(shè)情境的目的在于導(dǎo)入新課，切忌為了情境而創(chuàng)設(shè)情境；③符合學(xué)生的認(rèn)知，難易程度適中的問(wèn)題情境才能起到激趣啟思的作用.

本節(jié)課，教師直接以問(wèn)題情境切入課堂教學(xué).

問(wèn)題1 請(qǐng)大家回顧一下用正弦定理求解常見(jiàn)問(wèn)題的兩類(lèi)情況.

問(wèn)題2 （情境創(chuàng)設(shè)）如圖1所示，已知AC=1338，BC=700，∠ACB=110.8°，請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求AB的長(zhǎng)度.

學(xué)生討論并歸納此問(wèn)題情境的特征：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，即在△ABC中，已知邊AC，BC的長(zhǎng)度以及這兩邊的夾角∠ACB的值，求第三邊AB的長(zhǎng)度. 從問(wèn)題本質(zhì)來(lái)看，這是一道解三角形的實(shí)際問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖 問(wèn)題1，復(fù)習(xí)正弦定理的運(yùn)用類(lèi)型，為接下來(lái)類(lèi)比余弦定理的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)；問(wèn)題2，情境的提出，順利完成余弦定理的引入. 這兩個(gè)問(wèn)題都建立在“以生為本”的基礎(chǔ)上，從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，將待解決的問(wèn)題形象化，以提高學(xué)生的抽象與建模能力，為促進(jìn)學(xué)生“四基”與“四能”的發(fā)展奠定基礎(chǔ).

2. 深入探究，形成概念

學(xué)生通過(guò)對(duì)上述問(wèn)題情境的思考與分析，發(fā)現(xiàn)利用所熟悉的正弦定理的兩種類(lèi)型并不能快速獲得邊AB的長(zhǎng)度，過(guò)程很煩瑣，從而引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生去探究新的解題策略的想法.

學(xué)生自主探索與交流，認(rèn)為添加輔助線(xiàn)、化斜三角形成直角三角形的方法可解決問(wèn)題2. 教師適時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥，提出這種方法的煩瑣之處在于需要進(jìn)行復(fù)雜的分類(lèi)討論. 當(dāng)學(xué)生的思維出現(xiàn)“憤”“悱”狀態(tài)時(shí)，教師順勢(shì)提出以下問(wèn)題.

問(wèn)題3 觀察圖1，可見(jiàn)待求的邊AB的長(zhǎng)度實(shí)則為點(diǎn)A，B之間的距離. 對(duì)于求兩點(diǎn)之間的距離，我們熟悉的方法有哪些？

問(wèn)題4 怎樣建立平面直角坐標(biāo)系？

問(wèn)題5 點(diǎn)A，B的坐標(biāo)該怎么表示呢？

設(shè)計(jì)意圖 化斜三角形成直角三角形是學(xué)生熟悉的“形”，用坐標(biāo)法探索數(shù)學(xué)問(wèn)題屬于抽象的“數(shù)”，此處通過(guò)問(wèn)題串的方式，引導(dǎo)學(xué)生“化形為數(shù)”，借助抽象精確的“數(shù)”來(lái)研究直觀的“形”. 意在讓學(xué)生的思維從感性直觀向理性抽象轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生借助兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題.

結(jié)合兩點(diǎn)之間的距離公式，學(xué)生寫(xiě)出如下等式：c2=AB2=（acosC－b）2+（asinC－0）2=a2－2abcosC+b2. 觀察這個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)三角形中存在的四個(gè)元素.

師：觀察圖2，對(duì)照以上等式中所涉及的四個(gè)元素的位置，通過(guò)類(lèi)比分析，嘗試寫(xiě)出其他結(jié)論.

學(xué)生通過(guò)自主思考與交流，總結(jié)出余弦定理的概念. （過(guò)程與內(nèi)容略）

設(shè)計(jì)意圖 此過(guò)程是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，學(xué)生通過(guò)觀察、思考、猜想、分析與歸納，獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象思維解決問(wèn)題的能力，為形成良好的數(shù)學(xué)抽象與數(shù)據(jù)分析能力奠定了基礎(chǔ).

問(wèn)題6 余弦定理公式體現(xiàn)出了三角形中三條邊和一個(gè)角的關(guān)系，若三角形的三條邊為已知條件，該怎樣求三個(gè)角呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生親歷從直觀到抽象的概念形成過(guò)程，深化學(xué)生對(duì)余弦定理的認(rèn)識(shí)，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、邏輯推理能力以及直觀想象能力奠定基礎(chǔ).

3. 應(yīng)用概念，鞏固提升

掌握概念的目的在于能將它靈活地應(yīng)用在實(shí)際解題中，幫助學(xué)生形成解題技巧，提高學(xué)生的解題能力.

例題1 已知△ABC的三條邊的長(zhǎng)分別為3，5，7，則△ABC的最大角是多少？

變式題1：已知△ABC的三條邊的長(zhǎng)之比為3∶5∶7，則△ABC的最大角是多少？

變式題2：已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7，求△ABC的最大角.

例題1及其變式題讓學(xué)生口述回答，教師采用面對(duì)面、點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的方式進(jìn)行評(píng)價(jià). 例題2則由師生共同探討、分析，通過(guò)教師的板演讓學(xué)生感知解題的規(guī)范要求，學(xué)生從中體驗(yàn)到解法的合理性和解題的優(yōu)化策略. 例題2的變式題要求學(xué)生獨(dú)立思考并完成解答，該變式題具有滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用.

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生感知概念是如何形成與發(fā)展的，激發(fā)學(xué)生對(duì)余弦定理的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)形成科學(xué)的認(rèn)識(shí). 這兩個(gè)例題的應(yīng)用，還具有滲透方程思想和化歸思想的作用，引發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)范應(yīng)用數(shù)學(xué)思維來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展.

4. 拓展延伸，發(fā)展能力

結(jié)合正弦、余弦定理解三角形（解三角形的四種常見(jiàn)類(lèi)型：SSA，AAS，SAS，SSS），把知識(shí)拓展延伸，以夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，拓寬學(xué)生的思維，發(fā)展學(xué)生的解題能力.

問(wèn)題7 請(qǐng)大家結(jié)合三角形相似和全等的知識(shí)，分析三角形的四種常見(jiàn)類(lèi)型該如何求解.

采取小組合作交流，教師適當(dāng)點(diǎn)撥的方式進(jìn)行分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只有SSA這種類(lèi)型與他們?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息有所差別，其他都一樣；SSA這種類(lèi)型的三角形不能確定，存在一解、兩解或無(wú)解的情況. 通過(guò)探討，學(xué)生獲得了如下結(jié)論：若三角形的三邊已知，角是唯一且確定的；若三角形三邊的比值已知，角也是唯一且確定的……

設(shè)計(jì)意圖 將三角形全等與相似的規(guī)律通過(guò)問(wèn)題的探索抽象出來(lái)，可以建構(gòu)高階層次的單元知識(shí)概念，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的較高境界. 在此過(guò)程中，教師給予學(xué)生充足的思考時(shí)間與探索空間，學(xué)生在問(wèn)題的導(dǎo)向下，有效增強(qiáng)了思維的深度與廣度，為形成良好的邏輯思維能力與數(shù)學(xué)抽象能力奠定了基礎(chǔ).

幾點(diǎn)思考

1. 立足教材，體現(xiàn)概念形成過(guò)程

教材是實(shí)施教學(xué)的依據(jù)，是促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)概念的重要外因之一. 然而，教材所呈現(xiàn)的知識(shí)是靜態(tài)的，而師生的思維卻是靈活多變的，每個(gè)人對(duì)教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容會(huì)有不一樣的理解. 作為教師，應(yīng)立足教材，想方設(shè)法將概念形成的過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生對(duì)概念的形成源頭、發(fā)展過(guò)程有一個(gè)確切的認(rèn)識(shí)，從真正意義上了解概念的“前世今生”.

作家巴爾扎克認(rèn)為：一個(gè)能思想的人，才是一個(gè)力量無(wú)邊的人. 教師作為課堂的組織者，務(wù)必有自己獨(dú)特的教學(xué)風(fēng)格與思想，閱讀教材時(shí)，決不可局限于教材所呈現(xiàn)的文字概念，而應(yīng)從教材的字里行間探尋概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法以及概念的來(lái)龍去脈，明確概念源自何處，到哪兒去，具有怎樣的作用等［2］.

師生不斷地鉆研、探索教材所蘊(yùn)含的深意，才能領(lǐng)悟到概念的內(nèi)涵與外延，教學(xué)活動(dòng)才能夠完整、出彩.

例如本節(jié)課，若直接從坐標(biāo)法出發(fā)，引入余弦定理的概念，會(huì)讓學(xué)生感到云里霧里，一臉茫然. 而從問(wèn)題情境的引入，再結(jié)合教材中的內(nèi)容，由實(shí)際問(wèn)題引發(fā)數(shù)學(xué)建模，探尋求解策略，引出坐標(biāo)法，直至獲得余弦定理，學(xué)生的思維經(jīng)歷了“直觀想象—數(shù)學(xué)建?！壿嬐评怼獢?shù)學(xué)抽象”的過(guò)程，有效促進(jìn)了數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展.

2. 問(wèn)題設(shè)計(jì)，明確概念探究方向

學(xué)貴有疑，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，概念教學(xué)中的問(wèn)題設(shè)計(jì)決定學(xué)生思維的方向. 概念教學(xué)的關(guān)鍵在于突出概念形成的過(guò)程，追求概念的自然生成，讓學(xué)生能從根本上理解概念.

概念的形成一般源自以下兩個(gè)方面：①客觀世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象；②原有數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)上的邏輯建構(gòu). 在對(duì)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象抽象或邏輯結(jié)構(gòu)建構(gòu)的過(guò)程中難免會(huì)產(chǎn)生一些認(rèn)知沖突，這些認(rèn)知沖突屬于概念形成過(guò)程中學(xué)生所遇到的困境，在此處設(shè)計(jì)合適的問(wèn)題，是促使學(xué)生了解概念本質(zhì)的關(guān)鍵.

為了解決學(xué)生在概念形成過(guò)程中所產(chǎn)生的認(rèn)知沖突，教師在新概念的引入中需要帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行概念的檢驗(yàn)與論證，即明確概念的生成是否合理. 對(duì)概念進(jìn)行合理性分析的過(guò)程，就是學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程，如推理表述或舉反例等，都是為了讓概念的生成更嚴(yán)謹(jǐn).

恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題有助于促進(jìn)概念探究框架的建構(gòu)，同時(shí)問(wèn)題還能有效驅(qū)動(dòng)情境的展開(kāi)，保證課堂效率. 問(wèn)題提出需要瞄準(zhǔn)時(shí)機(jī)，掌握火候，如在新舊知識(shí)的銜接處提問(wèn)，在知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)處提問(wèn)，在學(xué)生認(rèn)知障礙處提問(wèn)或在學(xué)生思維的節(jié)點(diǎn)處提問(wèn)，都能為概念探究與數(shù)學(xué)表達(dá)搭建平臺(tái)，提高學(xué)生的抽象與概括能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

本節(jié)課教學(xué)，逐層深入的問(wèn)題，成功引發(fā)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、完善、歸納總結(jié)概念，讓學(xué)生獲得了良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，為學(xué)生自主完善知識(shí)體系夯實(shí)了基礎(chǔ).

3. 注重思維，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力發(fā)展

在概念教學(xué)中，仍然有些教師存在“輕概念，重解題”的思想，一味地強(qiáng)調(diào)關(guān)鍵詞的作用，而忽視了親歷概念生成過(guò)程的必要性，至于概念生成過(guò)程中學(xué)生思維的變化情況如何更毫不在意，這種行為嚴(yán)重阻礙了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的掌握，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

概念學(xué)習(xí)是一個(gè)由表及里、循序漸進(jìn)的過(guò)程. 對(duì)于大多數(shù)概念而言，都有一定的形成背景，因此教師可以情境作為概念教學(xué)的切入口，激發(fā)學(xué)生對(duì)概念的探究欲. 當(dāng)學(xué)生應(yīng)用原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)無(wú)法解決相應(yīng)的問(wèn)題時(shí)，則可以通過(guò)實(shí)例的引入來(lái)幫助學(xué)生建構(gòu)新的概念，讓學(xué)生從直觀感知中抽象出概念的內(nèi)涵，促進(jìn)思維的生長(zhǎng).

事實(shí)告訴我們，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)、互動(dòng)、合作、共生的教學(xué)活動(dòng)，不僅能凸顯學(xué)生在課堂中的主體性地位，還能讓學(xué)生以問(wèn)題為核心促進(jìn)思維的有效發(fā)展，彰顯“教隨學(xué)定”的靈動(dòng)性，“學(xué)隨思定”的深刻性［3］. 高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，不再是單純的知識(shí)傳授，更重要的是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生終身學(xué)習(xí)的能力.

本節(jié)課教學(xué)，教師并沒(méi)有著重強(qiáng)調(diào)概念中關(guān)鍵詞語(yǔ)的重要性，而是根據(jù)概念結(jié)構(gòu)與實(shí)際意義展開(kāi)闡述，引導(dǎo)學(xué)生親歷概念生成過(guò)程，為學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)奠定了基礎(chǔ). 學(xué)生結(jié)合原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，與新知進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)只有SSA這種類(lèi)型的三角形與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的信息有所差別，其他類(lèi)型都是高度一致的. 這個(gè)發(fā)現(xiàn)成功激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，為新知的建構(gòu)夯實(shí)了基礎(chǔ).

總之，教師要基于學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，科學(xué)合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，讓學(xué)生在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，經(jīng)歷概念形成與發(fā)展的過(guò)程，獲得良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，從真正意義上促進(jìn)學(xué)習(xí)能力的發(fā)展.

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