向定云

【摘 要】 數(shù)學(xué)作為一門有著極強(qiáng)實(shí)用性且比較抽象的特殊科目，對學(xué)生的邏輯思維能力有著較高要求，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，大部分學(xué)生都沒有完善的思維體系，解題時(shí)思路容易變得混亂，以至于錯(cuò)誤頻出，究其原因在于數(shù)學(xué)解題能力有待提高.初中數(shù)學(xué)教師可教授給學(xué)生類比法的使用技巧，提高他們的數(shù)學(xué)解題能力.本文據(jù)此展開深入分析與研究，并羅列出部分解題實(shí)例.

【關(guān)鍵詞】 類比法;初中數(shù)學(xué);解題教學(xué)

類比法作為依據(jù)兩類對象具有的某些類似特征同其中一類對象的已知特征，推導(dǎo)出另外一類對象同樣具有此類特征的一種方法.在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練中，一些學(xué)生往往會經(jīng)歷推測和聯(lián)想，這便是對類比思想的應(yīng)用，從特殊到一般的體現(xiàn)，當(dāng)遇到部分難度較大的題目時(shí)，教師可指導(dǎo)他們采用類比法，結(jié)合兩個(gè)對象間的相似屬性推測出存在的聯(lián)系，使其通過類比解決數(shù)學(xué)試題，在這種新途徑、新方法支持下提高學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)他們的自信心.

1 巧妙借助結(jié)構(gòu)化類比，探究數(shù)學(xué)解題本質(zhì)

在之前的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不少教師都比較喜歡著重講解理論知識的方式，多次強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)試題中涉及的公式、定理等，知識點(diǎn)之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性通常遭到忽視，沒有帶領(lǐng)學(xué)生通過類比的方式展開訓(xùn)練，影響他們解題能力的提高.要想解決這一不利問題，教師可巧妙借助結(jié)構(gòu)化類比的教學(xué)方式，引領(lǐng)學(xué)生結(jié)合數(shù)學(xué)題目的結(jié)構(gòu)特征，將原題引申、轉(zhuǎn)化成比較熟悉的題目，展開比較，幫助他們掌握題型結(jié)構(gòu)，探究數(shù)學(xué)解題本質(zhì)^[1].

例1 如圖1所示，已知AB=3，BC=7，AC=5，那么A的度數(shù)是多大？

解題思路 當(dāng)題干中直接給出一個(gè)三角形的三邊具體長度時(shí)，能夠基于正弦、余弦定理視角進(jìn)行解決，但是初中學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)過勾股定理相關(guān)知識，這一方法難度稍大，不少學(xué)生都不知所措.這時(shí)教師可提示學(xué)生巧妙借助結(jié)構(gòu)化類比方法，使其結(jié)合有關(guān)直角三角形的知識把NA和直角相聯(lián)系，他們將會對BA進(jìn)行延長，再過點(diǎn)C作延長線的垂線段，把垂足設(shè)為點(diǎn)D，AD=z，如圖2所示.接著，學(xué)生結(jié)合已學(xué)知識和輔助線得到CD= 25-z²，根據(jù)勾股定理能夠得到（3+z）2 + （ 25-z²）²=49，求得z= 55，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及AD=：AC，能夠求出NBAC=120°之后，教師要求學(xué)生在三角形內(nèi)部構(gòu)造出一個(gè)新的直角三角形，讓他們分析、對比這兩種解題方法的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，提高數(shù)學(xué)解題能力.

設(shè)計(jì)說明 在這一試題中，學(xué)生因?yàn)闆]有正式學(xué)習(xí)過正弦、余弦定理知識，教師指導(dǎo)他們靈活使用結(jié)構(gòu)化類比的方法，把求解難度較大的常規(guī)三角形類比特殊的直角三角形，讓他們利用直角三角形相關(guān)知識解答試題.

2 巧妙借助模式化類比，確定數(shù)學(xué)解題途徑

針對初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)來說，相對于結(jié)構(gòu)化類比而言，模式化類比即為根據(jù)試題展現(xiàn)出的表象特征，找到可以展開類比且性質(zhì)相同的試題，關(guān)聯(lián)表現(xiàn)主要體現(xiàn)在解題方法與策略方面，有著一定的類似性，這是進(jìn)行類比切入的關(guān)鍵之處.具體來說，教師在平常的解題訓(xùn)練中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中自主歸納與積極概括，探尋最佳解題途徑，巧妙借助模式化類別感知到數(shù)學(xué)知識內(nèi)部之間的關(guān)聯(lián)性，從而有效提高他們的數(shù)學(xué)解題能力^[2].

例2 已知存在實(shí)數(shù)a "，c滿足aWbWc，且ab +bc + ca = 0，abc =1 ，使得不等式 |a+b| ）k|c|恒成立的最大實(shí)數(shù)k是什么？

解題思路 通過對題目內(nèi)容的閱讀發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)方程和三個(gè)變量，學(xué)生進(jìn)行解題時(shí)極易受到這些已知信息的干擾，教師應(yīng)引領(lǐng)他們基于固有信息切入，獲得一個(gè)與之等價(jià)的條件，由于a6c =1，則實(shí)數(shù)a，b，c均不為0，這三個(gè)實(shí)數(shù)不存在負(fù)數(shù)，或者存在2個(gè)負(fù)數(shù)，又結(jié)合abc=1可以得到ab= 1 >0，將其

c

代入ab +bc +ca=0就能夠得到a +b = - ＼ < 0 ，c²

所以有a &b < 0，接下來，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)基本不等式的性質(zhì)巧妙借助類比法，根據(jù)“一元二次方程根和系數(shù)之間的關(guān)系”構(gòu)造出以ab兩個(gè)實(shí)數(shù)為根的一元二次方程，建立出相應(yīng)的不等式，類比推理后發(fā)現(xiàn)a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)為一元二次方程z² + ＼x+ 1

_c2 _c

=0的兩個(gè)根，所以1 a + b |= 12 24c = 4 | c 1 ，此c²

時(shí)不等式滿足題設(shè)條件，求得最大實(shí)數(shù)k為4.

設(shè)計(jì)說明 本道試題難度相對較大，學(xué)生需結(jié)合問題表象找到能夠進(jìn)行類比且性質(zhì)相同的問題，即為不等式的關(guān)系，同一元二次方程展開類別建立不等關(guān)系，有助于他們快速求出本題結(jié)果，使其找到最佳解題路徑.

3 巧妙借助特殊化類比，找到數(shù)學(xué)解題靈感

特殊化類比即為把原命題中比較復(fù)雜的元素作精簡化處理，采用多維化的訴求方式把復(fù)雜問題類比成簡單問題，這是一種化繁為簡、由難到易的解題方法，能夠省掉一些計(jì)算步驟，減少學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率，鍛煉與提高他們的解題能力.對此，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，當(dāng)遇到一些比較復(fù)雜的試題時(shí)，教師可以指引學(xué)生巧妙借助特殊化類比法，由此將復(fù)雜化的問題內(nèi)容進(jìn)行簡單化處理，使其從中快速找到解題的靈感，幫助他們形成簡潔的解題思路^[3].

例3 在直角三角形ABC中，已知ZACB=90°，AC=8，BC=4，現(xiàn)在分別以AC與BC為直徑畫兩個(gè)半圓，如圖3所示，求陰影部分面積的大小.

解題思路 面對此類圖形比較復(fù)雜的題目，學(xué)生很難快速找到解題的切入點(diǎn)，從而陷入到思維障礙之中，這時(shí)教師可引領(lǐng)他們深層次梳理解題思路，巧妙借助特殊化類比的方法對圖中的陰影之處進(jìn)行觀察，且把它們類比成兩個(gè)半圓的面積，把圖中各個(gè)部分的面積分別設(shè)為S「S2，S3，S4，S5，如圖4所示，這樣能夠得到兩個(gè)半圓的面積之和是Si+S：， +S4 +S2+S3 +S4，直角三角形ABC的面積是S3 +S4 +S$，陰影部分的面積是S1 +S2 +S4，則圖中陰影部分的面積是兩個(gè)半圓的面積減去三角形的面積，將相關(guān)數(shù)據(jù)代入到相應(yīng)的公式之中，最終經(jīng)過計(jì)算得出圖中陰影部分的面積是1（反一16.

設(shè)計(jì)說明 這類試題不僅可以助推學(xué)生更好地鞏固計(jì)算扇形面積的方法，還能夠讓他們回顧有關(guān)三角形面積的知識，教師指導(dǎo)學(xué)生巧妙借助特殊化類比的方法，將原題中復(fù)雜的內(nèi)容變得簡單化，借此改善他們的思維品質(zhì)，使其通過不間斷的解題訓(xùn)練逐漸養(yǎng)成善于思考的優(yōu)良習(xí)慣.

4 結(jié)語

總而言之，在初中數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練活動中巧妙借助類比法，能夠驅(qū)使學(xué)生積極展開類比推理，激起知識遷移意識，這對增進(jìn)他們知識理解程度、提升數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力意義重大，教師需明確類比法在解題中的優(yōu)勢，引領(lǐng)學(xué)生通過專項(xiàng)解題訓(xùn)練慢慢形成類比習(xí)慣，使其善于尋求知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，全力提高他們的數(shù)學(xué)解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]楊梅.類比法在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（07）：143-145.

[2]高鈺良.淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中類比法對解題思維的促進(jìn)作用 [J].讀寫算，2021 （03）：57 - 58.

[3]陳兆緒.類比中獲新知 應(yīng)用中顯能力———從初中數(shù)學(xué)類比法解題談起[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（08）：68 - 70.