摘 要：布魯納將兒童認(rèn)知的發(fā)展分為動(dòng)作表征、形象表征和符號(hào)表征三個(gè)階段。前一階段是后一階段的基礎(chǔ)，三者不能相互替代；前面階段不會(huì)因?yàn)楹竺骐A段的出現(xiàn)而完全消失，三者可以共同存在。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，而數(shù)學(xué)化就是在具體、半具體半抽象、抽象之間的鋪排，也是穿行于實(shí)物與符號(hào)之間的形式化過渡。因此，可以根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展三階段論設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。對(duì)此，需要高度重視、充分利用形象表征。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；布魯納；認(rèn)知發(fā)展階段；認(rèn)知表征

本文系2020年度江蘇省社科基金后期資助項(xiàng)目“教師發(fā)展指導(dǎo)者研究”（編號(hào)：20HQ054）、江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“指向核心素養(yǎng)的義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)探究教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（編號(hào)：D/2021/01/156）的階段性研究成果。

布魯納是美國(guó)著名心理學(xué)家、教育學(xué)家，是將心理學(xué)理論應(yīng)用于教育的典型代表。他對(duì)認(rèn)知過程進(jìn)行過大量的研究，提出了包括兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論在內(nèi)的眾多經(jīng)典教育理論。兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論提出至今已有50余年，對(duì)今天的中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)仍有重要的指導(dǎo)意義。

一、布魯納兒童認(rèn)知發(fā)展階段論概述

布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論是在繼承和批判皮亞杰認(rèn)知發(fā)生論的基礎(chǔ)上，總結(jié)認(rèn)知發(fā)展實(shí)驗(yàn)的結(jié)論而提出來的。布魯納認(rèn)為，兒童智力的發(fā)展表現(xiàn)為再現(xiàn)模式的變化，根據(jù)兒童再現(xiàn)表象所依據(jù)的媒介不同，將兒童認(rèn)知的發(fā)展分為動(dòng)作表征、形象表征和符號(hào)表征三個(gè)階段。[1］

動(dòng)作表征是指用動(dòng)作來表達(dá)關(guān)于世界的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的表征方式。這種方式也被稱為動(dòng)作再現(xiàn)模式，具有高度操作性。它主要表現(xiàn)為一個(gè)人知道怎樣去做某件事情，是由一套適合得到某種結(jié)果的行動(dòng)構(gòu)成的。動(dòng)作表征是兒童認(rèn)知發(fā)展的第一階段，是幼兒認(rèn)識(shí)外界事物的主要方式，在成人的認(rèn)知活動(dòng)中也自始至終發(fā)揮作用。

形象表征是指用圖形或意象來再現(xiàn)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的表征方式。它相當(dāng)于皮亞杰兒童認(rèn)知發(fā)展階段論描述的“具體運(yùn)算水平”的認(rèn)知活動(dòng)，即依賴于事物的外部特征或事物在頭腦中的表象來認(rèn)識(shí)和掌握事物。形象表征出現(xiàn)在動(dòng)作表征之后，是兒童認(rèn)知發(fā)展的第二階段，在６至７歲兒童的認(rèn)知活動(dòng)中表現(xiàn)得最為明顯，在兒童期后的認(rèn)識(shí)活動(dòng)中也一直發(fā)揮重要作用。

符號(hào)表征是最高級(jí)的表征形式，就是用詞匯和語(yǔ)言的形式建立的表征，具有高度生成性和概括性。符號(hào)表征階段，無思維的行動(dòng)和知覺性的理解被符號(hào)系統(tǒng)取代，復(fù)雜的經(jīng)驗(yàn)和思想被簡(jiǎn)縮成精練的語(yǔ)言或符號(hào)，使信息更容易從記憶中檢索與提取。

動(dòng)作、形象和符號(hào)是人們借以知覺、認(rèn)識(shí)、保持和再現(xiàn)外界事物的三種不同的表征方式，分別代表兒童認(rèn)知發(fā)展的三個(gè)不同階段。一方面，前一階段是后一階段的基礎(chǔ)，三者不能相互替代。另一方面，前面階段不會(huì)因?yàn)楹竺骐A段的出現(xiàn)而完全消失，三者可以共同存在。因此，布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論可以用圖1來表示。

在整個(gè)小學(xué)階段，第一學(xué)段（1—2年級(jí)）學(xué)生以動(dòng)作表征為主；第二學(xué)段（3—4年級(jí)）學(xué)生以形象表征為主，同時(shí)兼有動(dòng)作表征；第三學(xué)段（5—6年級(jí)）學(xué)生以符號(hào)表征為主，同時(shí)兼有動(dòng)作表征和形象表征。其中，形象表征階段是一個(gè)非常重要的階段，它起著承上啟下的作用。事實(shí)上，心理學(xué)的相關(guān)研究表明，小學(xué)第二學(xué)段是從具體形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵期。

二、布魯納兒童認(rèn)知發(fā)展階段論運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的典型案例

根據(jù)布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論設(shè)計(jì)教學(xué)，就是要關(guān)照各個(gè)階段學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生選擇恰當(dāng)?shù)姆绞絹肀碚髦R(shí)經(jīng)驗(yàn)和思維過程，助力學(xué)生的知識(shí)理解和思維發(fā)展。荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化。顧泠沅教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)化就是在具體、半具體半抽象、抽象之間的鋪排，也是穿行于實(shí)物與符號(hào)之間的形式化過渡。因此，可以根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展三階段論設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。對(duì)此，需要高度重視、充分利用形象表征，因?yàn)樗哂邪刖唧w半抽象的特點(diǎn)，是具體和抽象的中介，是從實(shí)物到符號(hào)過渡的關(guān)鍵。［2］這一思想可以貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，指導(dǎo)很多重要內(nèi)容的教學(xué)。下面針對(duì)“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)、“圖形與幾何”知識(shí)和解決實(shí)際問題的教學(xué)，呈現(xiàn)幾個(gè)典型案例。

【案例1】 “退位減法”的教學(xué)［3］

兩位數(shù)退位減法的基礎(chǔ)是10以內(nèi)數(shù)的分與合和20以內(nèi)數(shù)的加減，延伸內(nèi)容是簡(jiǎn)便運(yùn)算、連續(xù)退位減法和隔位退位減法。在這一系列內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生對(duì)算理“退一當(dāng)十”的理解經(jīng)歷從了解到熟知再到加深的過程。對(duì)于兩位數(shù)的減法（包括退位減法），美國(guó)著名教育心理學(xué)家加涅等制作過一個(gè)機(jī)械化操作的流程圖。［4］該流程圖忽視了人腦和電腦的區(qū)別，學(xué)生經(jīng)過這樣的機(jī)械操作過程是無法理解算理的。關(guān)于兩位數(shù)的退位減法，根據(jù)布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論，可以設(shè)計(jì)如圖2所示的教學(xué)過程：學(xué)生初學(xué)整數(shù)的加減時(shí)，如學(xué)習(xí)10以內(nèi)數(shù)的分與合、20以內(nèi)數(shù)的加減時(shí)，可以用小棒、小方塊等具象的學(xué)具說明算理；學(xué)習(xí)兩位數(shù)的退位減法時(shí)，學(xué)生的認(rèn)知已經(jīng)達(dá)到表象水平，因此再用具象的學(xué)具來解決問題是認(rèn)知的倒退，可以用半具體半抽象的計(jì)數(shù)器說明算理，從而幫助理解抽象的符號(hào)運(yùn)算52-27。

【案例2】 “有余數(shù)的除法”的教學(xué)［5］

“有余數(shù)的除法”的教學(xué)，教師一般讓學(xué)生用乘法口訣進(jìn)行試商訓(xùn)練，這種程式化的訓(xùn)練忽略了學(xué)生對(duì)試商意義的理解。其實(shí)，可以充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)如圖3所示的“分豆子”情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷三個(gè)階段的活動(dòng)：首先是具體的實(shí)物操作——分豆子，然后是半具體半抽象的表象操作——腦中分豆子，最后是抽象的符號(hào)操作——數(shù)式運(yùn)算。其中，“腦中分豆子”是使學(xué)生越過從實(shí)物到符號(hào)的鴻溝的中介。經(jīng)歷這樣的數(shù)學(xué)化過程，學(xué)生不僅深刻理解了有余數(shù)的除法，而且找到了運(yùn)算規(guī)律。

【案例3】 “長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)與面積”的教學(xué)［6］

教學(xué)長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)與面積時(shí)，教師往往就事論事，強(qiáng)調(diào)公式的記憶和運(yùn)算的操練，而忽略學(xué)生對(duì)原理的理解，造成學(xué)生容易出現(xiàn)混淆周長(zhǎng)與面積的錯(cuò)誤。教材將周長(zhǎng)與面積分開教學(xué)，但這不能從源頭上解決問題。實(shí)際上，周長(zhǎng)與面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)分別是一段一段和一塊一塊相加（測(cè)量），在這個(gè)基礎(chǔ)上推導(dǎo)出公式。相對(duì)來說，面積公式的得出較為復(fù)雜。教學(xué)時(shí)，可以設(shè)計(jì)比較長(zhǎng)方形和正方形面積的情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具象地用實(shí)物數(shù)方格—表象地在腦中數(shù)方格—抽象地用公式計(jì)算”的三階段探究過程，從而幫助學(xué)生充分理解面積計(jì)算的實(shí)質(zhì)，區(qū)分面積計(jì)算與周長(zhǎng)計(jì)算。

此外，關(guān)于周長(zhǎng)與面積，學(xué)生還存在“圖形的周長(zhǎng)長(zhǎng)，面積就大”的錯(cuò)覺。為了使學(xué)生徹底弄清楚周長(zhǎng)與面積的關(guān)系，滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材（三年級(jí)下冊(cè)）設(shè)計(jì)了兩個(gè)探究活動(dòng)：一是用12根火柴棒圍出不同的圖形，比較誰的面積大，得出關(guān)于周長(zhǎng)相等時(shí)圖形面積最大情況的結(jié)論；二是用20根火柴棒圍出不同的長(zhǎng)方形，得出“在周長(zhǎng)相等的情況下，長(zhǎng)和寬越接近，長(zhǎng)方形面積越大；當(dāng)長(zhǎng)和寬相等，即長(zhǎng)方形成為正方形時(shí)，面積最大”的結(jié)論。這兩個(gè)問題實(shí)際上是等周問題的雛形。但是實(shí)際探究過程中，學(xué)生用火柴棒或小棒圍圖形時(shí)，容易出現(xiàn)歪斜的問題，很難擺出方正的圖形來。實(shí)際上，根據(jù)布魯納的認(rèn)知發(fā)展三階段論，學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)與面積時(shí)，可以借助一些具象的操作來理解概念，如用繩子量周長(zhǎng)、數(shù)小方塊求面積等；而在研究周長(zhǎng)與面積的關(guān)系時(shí)，因?yàn)閷?duì)周長(zhǎng)與面積的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到表象水平，所以可以采用在虛線方格紙上畫圖形這種表象操作的方法。虛線方格紙不僅能防止歪斜現(xiàn)象，而且限定了單位，便于比較。

【案例4】 “數(shù)圖形的學(xué)問”的教學(xué)

“數(shù)圖形的學(xué)問”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)的內(nèi)容，屬于簡(jiǎn)單的組合問題。教材首先從“鼴鼠鉆洞”的情境（如圖4所示）出發(fā)，讓學(xué)生探究“鼴鼠有幾條跑動(dòng)路線”，引出四點(diǎn)組合問題；然后通過“菜地旅行”的情境，拓展到五點(diǎn)及更多點(diǎn)的組合問題。教學(xué)中，對(duì)于第一個(gè)問題情境，學(xué)生通常會(huì)出現(xiàn)三種做法：在情境圖上畫并數(shù)路線、畫示意圖并數(shù)路線和直接列式計(jì)算。其中，第二種方法通常占大多數(shù)，并且具體有如圖5所示的三種。這里，第一種方法是具體的動(dòng)作表征，第二種方法是半具體半抽象的形象表征，第三種方法是抽象的符號(hào)表征。對(duì)此，教師可以抓住第二種方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“求鼴鼠跑動(dòng)路線條數(shù)”到“數(shù)線段條數(shù)”再到“列式計(jì)算”的數(shù)學(xué)化過程。

最后需要指出的是，利用布魯納的兒童認(rèn)知發(fā)展三階段論指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，需要謹(jǐn)防“認(rèn)知倒退”的現(xiàn)象，比如：學(xué)生對(duì)某些內(nèi)容的認(rèn)知已經(jīng)達(dá)到抽象階段，不需要再借助具象了，教學(xué)活動(dòng)卻仍然通過實(shí)物操作來完成［7-8］，不但繁復(fù)費(fèi)力，而且沒有成效。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 范燕瑩.世界著名教育思想家布魯納［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：3.

［2］ 俞宏毓，朱向陽(yáng).充分利用表象，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化——《數(shù)圖形的學(xué)問》一課教學(xué)與思考［J］.教育研究與評(píng)論（小學(xué)教育教學(xué)），2021（8）：8993.

［3］ 顧泠沅.課堂視野中的教師及其指導(dǎo)者［R］.上海：未來十年中國(guó)數(shù)學(xué)教育展望學(xué)術(shù)研討會(huì)議，2013.

［4］ R.M.加涅，W.W.韋杰，K.C.戈勒斯，等.教學(xué)設(shè)計(jì)原理（第五版）［M］.王小明，龐維國(guó)，陳保華，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007：139.

［5］ 顧泠沅，王潔.教師在教育行動(dòng)中成長(zhǎng)——以課例為載體的教師教育模式研究（上）［J］.課程·教材·教法，2003（1）：915.

［6］ 俞宏毓.“長(zhǎng)方形和正方形的面積與周長(zhǎng)”教學(xué)指導(dǎo)研究報(bào)告［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2014（3）：7175.

［7］ 俞宏毓，朱向陽(yáng)，顧泠沅.管窺小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)現(xiàn)狀——“兩位數(shù)減兩位數(shù)退位減法”教學(xué)案例分析［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（1）：4348.

［8］ 俞宏毓，潘勇.教師發(fā)展指導(dǎo)者工作的案例研究——以“異分母分?jǐn)?shù)的加減法”教學(xué)指導(dǎo)為例［J］.教育學(xué)術(shù)月刊，2013（7）：103105+111.