劉天齊

摘 要 不少大學(xué)物理教材將“柔軟無彈性輕繩”作為一種經(jīng)典模型并圍繞其理想性提出了一系列的題目，而不同的求解方法可能得到不同的答案，這本質(zhì)上是因?yàn)檫@種模型中隱含著加速度奇點(diǎn)，而各解法對(duì)加速度奇點(diǎn)的處理不同。為了系統(tǒng)性地解決不同解法之間的分歧，本文首先選取了有關(guān)加速度奇點(diǎn)的三個(gè)經(jīng)典物理問題，然后綜述了這些題目的若干解法，接著分析其正確性，最后歸納出了有關(guān)加速度奇點(diǎn)的物理問題的一般規(guī)律，并提出了多種應(yīng)對(duì)方法，以更準(zhǔn)確地處理有關(guān)加速度奇點(diǎn)的物理問題。

關(guān)鍵詞 大學(xué)物理;柔軟無彈性輕繩;加速度奇點(diǎn);微元法

“加速度奇點(diǎn)”[1]指質(zhì)量無窮小，但在某瞬時(shí)的加速度為無窮大的理想質(zhì)點(diǎn)，常見于“柔軟無彈性輕繩或鏈條”的經(jīng)典理想模型中[2-5]，求解有關(guān)這類模型的問題時(shí)可能產(chǎn)生不易發(fā)現(xiàn)的陷阱。本文將深入探究柔軟無彈性輕繩的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，找到加速度奇點(diǎn)問題的一般規(guī)律，以糾正柔軟無彈性輕繩中加速度奇點(diǎn)問題的解法上存在的錯(cuò)誤。

1 鈍角擺問題

1.1 題目

常見的單擺都是銳角擺，即擺角不超過90°的單擺，如果擺角超過90°則為鈍角擺。如圖1（a）所示的一鈍角擺，一長為l 的柔軟無彈性輕繩一端系于光滑的釘子上，另一端掛著一個(gè)質(zhì)量為m 的小球，一開始繩恰好繃直，高于釘子，θ 為30°。無初速度地釋放小球，求小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度u。

4 關(guān)于加速度奇點(diǎn)的討論

由上面三個(gè)例題可知，“加速度奇點(diǎn)”常存在于各種理想模型中，除了不可伸長的柔軟無彈性輕繩與鏈條之外，還有理想氣體分子間的碰撞等模型。從這些模型中可以歸納出應(yīng)對(duì)“加速度奇點(diǎn)”的方法。

第一，“加速度奇點(diǎn)”可能使得質(zhì)量無窮小的物體產(chǎn)生不容忽略的反作用力。由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，處理無窮大量或無窮小量時(shí)，最嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖龇ㄊ前炎鼋苹蛉O限放在最后一步，為此，計(jì)算有關(guān)“加速度奇點(diǎn)”的問題時(shí)應(yīng)當(dāng)盡量最后再做近似，例如3.4節(jié)的解法在最后一步才令r→0+ 。此外，當(dāng)柔軟無彈性輕繩的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可能會(huì)突變時(shí)，還應(yīng)當(dāng)采用微元法，例如繩落釘問題中，繩子在緊貼著釘子下落的過程中會(huì)突然躍離釘子，如果把繩整體化考慮，就容易犯3.2節(jié)的錯(cuò)誤，而3.4節(jié)把繩微元化考慮，考慮到了繩的每一部分的狀態(tài)，不易出錯(cuò)，并且3.4節(jié)相比3.3節(jié)的解法更為嚴(yán)謹(jǐn)，可以證明繩子在整體躍起之前不會(huì)有部分先躍起，且繩子在躍起前不會(huì)在離心力的作用下產(chǎn)生畸變。

第二，“加速度奇點(diǎn)”可能使得機(jī)械能不守恒，如繩落桌問題的題b和鈍角擺問題，這兩個(gè)問題中，繩子上的某一點(diǎn)或整條繩子在某一時(shí)刻為“加速度奇點(diǎn)”，且此處的速度大小有突變，類似于非彈性碰撞，機(jī)械能不守恒;繩落桌問題的題a和繩落釘問題中，繩子上的某處在某一時(shí)刻有“加速度奇點(diǎn)”，但此處的速度大小沒有突變，類似于彈性碰撞，機(jī)械能守恒。綜上，可以總結(jié)出以下規(guī)律：若“加速度奇點(diǎn)”處速度大小有突變，則機(jī)械能不守恒;若沒有“加速度奇點(diǎn)”，或“加速度奇點(diǎn)”處速度大小不變，則機(jī)械能守恒。

第三，“加速度奇點(diǎn)”可能使得物體運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)發(fā)生突變，如繩落釘問題中繩子會(huì)躍起，又如繩落桌問題，如果沒有凹槽的限制，繩在速度達(dá)到一定值的時(shí)候會(huì)脫離桌沿而躍出[6]。為此，可以先假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，再檢驗(yàn)系統(tǒng)初值是否滿足假設(shè)，最后討論假設(shè)態(tài)的可持續(xù)性。這樣就可以證明系統(tǒng)在第一次出現(xiàn)狀態(tài)突變之前一直是穩(wěn)定的，也可以導(dǎo)出何時(shí)出現(xiàn)第一次狀態(tài)突變。

5 結(jié)語

本文通過討論三個(gè)有關(guān)“加速度奇點(diǎn)”的例題，得出了“加速度奇點(diǎn)”可能產(chǎn)生的三個(gè)反常物理效果，最終給出了相應(yīng)的應(yīng)對(duì)方法，可以指導(dǎo)“加速度奇點(diǎn)”問題的建模與計(jì)算。未來的研究可進(jìn)一步探索含有“加速度奇點(diǎn)”的柔軟無彈性輕繩在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)突變后的行為，例如繩落釘問題中繩在躍起后的運(yùn)動(dòng)軌跡。

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