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      對(duì)一道等差數(shù)列一題多解問(wèn)題的思考

      2024-05-22 14:06:37孫晨淇
      關(guān)鍵詞:等差數(shù)列數(shù)學(xué)思考

      摘要:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要學(xué)會(huì)基本的知識(shí)、思想和方法,更重要的是要學(xué)會(huì)地思考問(wèn)題,以一道課本例題為例,不僅對(duì)知識(shí)、思想和方法進(jìn)行了梳理,還展示了學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這個(gè)問(wèn)題不同解法的完整思考過(guò)程。

      關(guān)鍵詞:等差數(shù)列? 課本例題? 數(shù)學(xué)思考

      1 問(wèn)題提出

      在數(shù)列學(xué)習(xí)過(guò)程中,選擇性必修第二冊(cè)4.2.2《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式》第21頁(yè)例7提供了以下解法。

      題目1已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220。由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎?

      這個(gè)題求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差,條件給了兩條關(guān)于該數(shù)列前n項(xiàng)和的條件,由本課所學(xué)知識(shí),我們可以用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程組,求解便可得出首項(xiàng)和公差。

      下面是解答過(guò)程。

      解法1 由題意,知

      S10=310, S20=1220。

      把它們代入公式

      Sn=na1+d,

      得[10a1+45d=31020a1+190d=1220]

      解方程組,得[a1=4d=6]

      所以,該等差數(shù)列的首項(xiàng)為4,公差為6。

      這是課本上給出的比較常規(guī)的解答,建立方程組求出兩個(gè)基本量。結(jié)合等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),我對(duì)這道例題進(jìn)行深入的思考和研究,并想出了以下解法。

      2 方法拓展

      2.1利用Sn的特征

      思考1? 已知Sn=na1+[n(n-1)2d],那么把它展開(kāi)整理一下可得關(guān)于n的一元二次方程,即Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),其中A=[d2],B=a1-[d2],由此,可以找出解該題的另一種思路,利用A,B代替a1,d,間接求解。

      解2? 由上述公式,得

      [S10=100A+10B=310S20=400A+20B=1220]

      解方程組,得[A=3B=1]

      由A,B含義得[a1=4d=6]

      2.2利用[Snn]的特征

      思考2? 已知Sn=na1+[n(n-1)2d],那么整理可得[Sn]= [d2]n+(a1-[d2]),此時(shí)公式為關(guān)于n的一次函數(shù),因?yàn)榈炔顢?shù)列可與一次函數(shù)相互轉(zhuǎn)化,所以此公式可以轉(zhuǎn)換為公差d=[d2] 的等差數(shù)列,可由等差數(shù)列的性質(zhì)解出此題。

      解3 由上述公式,得[S1010=31S2020=61]

      解得d′=[S2020-S101010]=3

      所以[d=2d′=4a1=4]

      2.3利用等差數(shù)列性質(zhì)

      思考3? 已知{an}為等差數(shù)列,那么Sn,S2n-Sn,S3n- S2n,……為等差數(shù)列,公差為n2d,由此可解此題。

      解4 由上述性質(zhì),得

      S10,S20-S10,S30-S20……

      已知[S10=310S20=1220]

      所以

      S20-S10=910

      所以

      d′=n2d=100d=600

      解得

      d=6

      再代入公式,得

      S10=10a1+270=310

      解得

      a1=4

      綜上[d=6a1=4]

      3 一題多解

      思考4 這里給出了本題四種不同的解法,相對(duì)于課本上提供的解法1,這些解法比較簡(jiǎn)單,但是需要建立在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)充分掌握的基礎(chǔ)上。下面結(jié)合歷年一道高考題,我們研究一下這些方法的應(yīng)用。

      題目2 (2010遼寧高考文科 14題)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S3=3,S6=24,則a9=

      解1 由Sn=na1+[n(n-1)2d],得

      [3a1+3d=36a1+15d=24]

      解方程組,得[a1=-1d=2]

      所以

      a9=15

      解2 由Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)),得[9A+3B=336A+6B=24]

      解方程組,得[A=1B=-2]

      由A,B含義得[a1=-1d=2]

      解3 由[Snn]= [d2]n+(a1-[d2]),得

      [S33=1S66=4]

      解得

      d′=1

      所以[d=2d′=2a1=-1]

      解4 由上述性質(zhì),得

      S3,S6-S3,S9-S6……

      已知[S3=3S6=24]

      所以

      S6-S3=21

      所以

      d′=9d=18

      解得

      d=2

      再代入公式,得

      S3=3a1+6=3

      解得

      a1=-1

      綜上[d=2a1=-1]

      由題目2證明,此四種方法適用于大部分等差數(shù)列求解問(wèn)題,今后面對(duì)此類(lèi)求首項(xiàng)與公差的題目,便可以由題目已知,靈活運(yùn)用四種方法求解。

      4 結(jié)束語(yǔ)

      通過(guò)這次對(duì)課本例題的研究,我發(fā)現(xiàn)自己對(duì)等差數(shù)列的公式、性質(zhì)的認(rèn)識(shí)更上一層樓,并且發(fā)現(xiàn)了對(duì)于等差數(shù)列來(lái)說(shuō),可以從多種角度去看待一道等差數(shù)列的題目,從等差數(shù)列中感受熟悉的函數(shù)知識(shí)、代數(shù)法則,以及數(shù)列本身的性質(zhì),這使我以后再面對(duì)不會(huì)的數(shù)列題目時(shí)可以發(fā)散思維,去聯(lián)系更多的知識(shí)。并且,通過(guò)此次研究,我發(fā)現(xiàn)了每道題背后都蘊(yùn)含命題人的思想與心血,因此,在后面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中,我會(huì)用更加認(rèn)真的態(tài)度來(lái)對(duì)待數(shù)學(xué),并懷著敬佩的心理求解數(shù)學(xué)題。

      教師評(píng)語(yǔ):等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成等差數(shù)列的重要性質(zhì),在高考中具有舉足輕重的地位。孫晨淇同學(xué)運(yùn)用了基本量、待定系數(shù)、性質(zhì)應(yīng)用等一系列方法對(duì)課本一道例題做了多種方法的推廣,并結(jié)合一道歷年高考題對(duì)方法做了進(jìn)一步的研究和論證?!半p減”背景下,一題多解的學(xué)習(xí)方式有利于加強(qiáng)學(xué)生思考的深度、廣度和高度,學(xué)生在對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的理解的基礎(chǔ)上,提升靈活運(yùn)用公式解決問(wèn)題的能力。

      指導(dǎo)老師: 潘文超

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