耿萍

二輪復(fù)習(xí)是基于一輪復(fù)習(xí)后的一個(gè)重要階段，關(guān)鍵在于學(xué)生的能力提升與素養(yǎng)養(yǎng)成，進(jìn)一步構(gòu)建并完善數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)，以及更加全面的解題技巧與方法等.因而，為了更加有效地進(jìn)行高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)，必須做到合理側(cè)重點(diǎn)、橫聯(lián)縱拓面、聚集能力點(diǎn)等，在復(fù)習(xí)過(guò)程中要倡導(dǎo)“三要“，回避“三忌”.

1倡導(dǎo)“凸顯主體”，忌諱“面面俱到”

在實(shí)際復(fù)習(xí)備考過(guò)程中，高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)有時(shí)也不是單獨(dú)存在的一個(gè)完整區(qū)間段，復(fù)習(xí)的時(shí)間較短，是一輪復(fù)習(xí)的合理延續(xù)，經(jīng)常與三輪復(fù)習(xí)進(jìn)行交叉融合，這就要求二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該明辨復(fù)習(xí)主體，全面凸顯主體，合理地有所側(cè)重，不要面面?zhèn)樀?

一種比較成熟的認(rèn)知，就是二輪復(fù)習(xí)時(shí)，可以通過(guò)高中數(shù)學(xué)學(xué)科的六大主干知識(shí)模塊（函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)與解三角形、立體幾何、解析幾何以及統(tǒng)計(jì)與概率等）來(lái)合理展開(kāi)，予以更加高頻的關(guān)注與側(cè)重對(duì)待.

以“函數(shù)、方程與不等式的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化”為例，借助函數(shù)這一高中數(shù)學(xué)基本核心內(nèi)容，合理構(gòu)建函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、方程與不等式等之間的聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的性質(zhì)與圖象的聯(lián)系，以及函數(shù)和方程思想與其他相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的聯(lián)系與應(yīng)用，有效構(gòu)建主干知識(shí)網(wǎng)絡(luò)與分支知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)系，使得知識(shí)的理解與掌握更加精細(xì)，更加完善.

例1（2023年浙江省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽夏令營(yíng)試題·12）已知x為實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足52x+1+3125=55x-x2，則x的最小值和最大值之和為＿＿＿＿.

解析：依題將原方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為52x+1+5555x-x2=1，即5x2-3x+1+5x2-5x+5=1，

配方可得

52-54+5

2-54=1.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=5x-2-54+52-54，

則有f（2－x）=f（2+x），即函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)，

而f（0）=3130>1，f（2）=25<1，顯然方程f（x）=1有解，

所以x的最小值和最大值之和為4.

點(diǎn)評(píng)：本題充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的解題策略，在解題過(guò)程中對(duì)超越方程加以合理變形與轉(zhuǎn)化，通過(guò)函數(shù)的構(gòu)造加以合理化歸，從而借助函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性為解決相應(yīng)的超越方程提供條件，使得“看似無(wú)法解決”的問(wèn)題得以合理轉(zhuǎn)化與巧妙解決，把“陌生”問(wèn)題“熟悉”化，充分開(kāi)發(fā)學(xué)生的潛能，對(duì)學(xué)生“四基”的鞏固與數(shù)學(xué)能力的提升與應(yīng)用都有很好的效果.

2倡導(dǎo)“注重聯(lián)拓”，忌諱“就題講題”

基于一輪復(fù)習(xí)，此時(shí)大部分學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的整體復(fù)習(xí)還只是處于簡(jiǎn)單階段，沒(méi)有形成系統(tǒng)與網(wǎng)絡(luò)，還是比較單一的知識(shí)點(diǎn).

作為其鏈接與延續(xù)，二輪復(fù)習(xí)應(yīng)該選擇更加恰當(dāng)?shù)牡湫蛯?shí)例，注意數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)與思想方法間的“橫聯(lián)縱拓”，借助透徹的分析，有效的類(lèi)比，幫助學(xué)生在此過(guò)程中逐漸完善與升華，將紛繁零碎的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)、數(shù)學(xué)能力點(diǎn)等系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化、條理化和簡(jiǎn)明化，不能只是停留在“就題講題”的一輪復(fù)習(xí)層面.

特別不能直接依托于問(wèn)題，就題講題，否則只能保證該問(wèn)題的效益，不能形成不同知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，形不成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，只是一個(gè)個(gè)單一的、零碎的問(wèn)題，沒(méi)有發(fā)揮到典型問(wèn)題的多重效益.

例2（2023年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷·4）已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，則sin4βsin2α+cos4βcos2α=＿＿＿＿.

分析：將所給的復(fù)雜分式進(jìn)行整式化處理，是解題過(guò)程中比較常見(jiàn)的一種切入方式.在此基礎(chǔ)上利用三角函數(shù)中的平方關(guān)系進(jìn)行合理的拆分、合并、化簡(jiǎn)，構(gòu)建更為簡(jiǎn)捷的三角關(guān)系式，為進(jìn)一步求三角函數(shù)式的值提供條件.

解法1：三角恒等變換思維法.

由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得sin4αcos2β+cos4αsin2β=sin2βcos2β，

于是可以得到sin4αcos2β+（1－sin2α）2sin2β－sin2βcos2β=0，

即sin4αcos2β+（1－2sin2α+sin4α）sin2β－sin2βcos2β=0，

可得sin4α5（sin2β+cos2β）+sin2β（1－cos2β）－2sin2αsin2β=0，

則sin4α+sin4β－2sin2αsin2β=0，即（sin2α－sin2β）2=0，可得sin2α=sin2β，

再由1－cos2α=1－cos2β，可得cos2α=cos2β，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

點(diǎn)評(píng)：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系進(jìn)行三角轉(zhuǎn)化處理時(shí)，化簡(jiǎn)比較復(fù)雜，次冪較高，要注意降冪方法的應(yīng)用，需要足夠的耐心與認(rèn)真細(xì)致的態(tài)度.

解法2：換元思維法.

設(shè)cos2α=a，cos2β=b，利用平方關(guān)系可得sin2α=1－a，sin2β=1－b.由已知sin4αsin2β+cos4αcos2β=1，可得（1-a）21-b+a2b=1，

整理可得b（1－a）2+a2（1－b）=b（1－b），化簡(jiǎn)得（a－b）2=0，即a=b，

所以sin4βsin2α+cos4βcos2α=（1-b）21-a+b2a=（1-a）21-a+a2a=1－a+a=1.

當(dāng)然，在以上拓展數(shù)學(xué)思想方式的基礎(chǔ)上，合理加以深入與應(yīng)用，并結(jié)合問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征，利用選擇題中具備結(jié)論對(duì)某一“對(duì)象類(lèi)型”內(nèi)均成立的前提條件，可以采用更加巧妙的方式與方法來(lái)處理，即可采用“特例排除法”來(lái)達(dá)到目的.同時(shí)也對(duì)“特值（例）排除法”的認(rèn)識(shí)、理解與掌握等給出一個(gè)更高、更全面的應(yīng)用.

解法3：特殊思維法.

依題sin4αsin2β+cos4αcos2β=1是一個(gè)不定方程，

顯然當(dāng)α=β≠kπ2，k∈Z時(shí)，條件中的方程sin4αsin2β+cos4αcos2β=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1成立，

所以將α=β≠kπ2（k∈Z）代入，可得sin4βsin2α+cos4βcos2α=sin4βsin2β+cos4βcos2β=sin2β+cos2β=1.

當(dāng)然，以上問(wèn)題還可以進(jìn)行更加豐富多彩的“橫聯(lián)縱拓”，這里就不多加展開(kāi).可以肯定的是，借助典型實(shí)例的“橫聯(lián)縱拓”，從基礎(chǔ)知識(shí)與基本能力等方面都會(huì)使得學(xué)生“會(huì)一題、懂一類(lèi)、通一片”等教學(xué)效果成為現(xiàn)實(shí)，這也是二輪復(fù)習(xí)教學(xué)所追求的最高目的.

3倡導(dǎo)“能力立意”，忌諱“唯知識(shí)論”

經(jīng)過(guò)一輪復(fù)習(xí)，“知識(shí)論”的基礎(chǔ)就已經(jīng)構(gòu)建，合理滲透數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力等的“顯性運(yùn)用”，是二輪復(fù)習(xí)中必須關(guān)注的重要方面.更加“自覺(jué)”“合理”地選擇對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)分析與解決問(wèn)題，還是要通過(guò)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)加以有效訓(xùn)練與不斷強(qiáng)化，這樣才能真正融合知識(shí)、能力、方法等于一體，吻合“能力立意”的高考數(shù)學(xué)命題理念，從而更加科學(xué)有效地應(yīng)對(duì)高考.

例3〔2023年香港中文大學(xué)（深圳）綜合評(píng)價(jià)測(cè)試數(shù)學(xué)規(guī)組第2題〕數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=anan+1+an+1，且a1=1+2－3，求數(shù)列{an}前2024項(xiàng)的積.

解析：依題意，顯然an≠0，an≠1，由an+1=anan+1+an+1變形整理，可得an+1=1+an1-an.

令an=tanxn，則有tanxn+1=an+1=1+an1-an=tanπ4+tanxn1-tanπ4tanxn=tanπ4+xn，

于是可得an+2=tanxn+2=tanπ4+xn+1=tanπ2+xn，an+3=tan3π4+xn，an+4=tan（π+xn）=tanxn=an，

所以數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列.

又a3=tanπ2+x1=－1tanx1=－1a1，a4=tanπ2+x2=－1tanx2=－1a2，可得a1a3=－1，a2a4=－1，從而可得a1a2a3a4=－1×（－1）=1，

所以數(shù)列{an}前2024項(xiàng)的積a1a2a3……a2024=（a1a2a3a4）506=1506=1.

點(diǎn)評(píng)：合理的聯(lián)想與知識(shí)的鏈接巧妙地將數(shù)列與三角函數(shù)這兩個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，完成合作與應(yīng)用，這才是問(wèn)題的能力立意所在.通過(guò)數(shù)列的遞推關(guān)系式與三角函數(shù)的正切公式的聯(lián)系，借助兩角和正切公式的變形，為確定周期數(shù)列的周期提供一個(gè)全新的思維，得以求解與應(yīng)用.

“能力立意”的高考數(shù)學(xué)命題理念在具體問(wèn)題中的體現(xiàn)，往往需要閱讀、觀(guān)察、理解、分析、歸納、演算、驗(yàn)證等探究過(guò)程，借助多層面、多視角來(lái)分析與探究.在具體求解問(wèn)題的過(guò)程中，往往需要通過(guò)邏輯推理中的歸納法（不完全歸納或完全歸納）、類(lèi)比法等，以及構(gòu)造思維中的構(gòu)造法等來(lái)達(dá)到目的.這些思想方法都是不可以事先預(yù)設(shè)的，只有在分析與探究的過(guò)程中，隨著數(shù)學(xué)思維的深入、問(wèn)題分析的顯現(xiàn)等，才會(huì)逐步被觀(guān)察與聯(lián)想到.

二輪復(fù)習(xí)要立足根基，基于一輪復(fù)習(xí)的知識(shí)基礎(chǔ)，適度地求新求異，合理地綜合訓(xùn)練，認(rèn)真審視復(fù)習(xí)過(guò)程，及時(shí)修正復(fù)習(xí)過(guò)程中存在的偏差，在一輪復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上更加全面地“查缺補(bǔ)漏”，同時(shí)合理倡導(dǎo)“三要”，回避“三忌”，這樣，二輪復(fù)習(xí)的有效性方能得到更加有效、更加全面地實(shí)現(xiàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等才能真正得以有效提升.