基于數(shù)學思想的空間向量與立體幾何問題的解題技巧與方法

牛曉琳

【摘要】空間向量與立體幾何作為每年高考命題中的一大主干知識，是高考數(shù)學試卷解答題中的重要類型之一.文章借助空間向量與立體幾何中的數(shù)學思想，從函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結合思想等入手，通過實例剖析，闡述數(shù)學思想的應用技巧與方式，引領并指導數(shù)學教學與復習備考.

【關鍵詞】空間向量；立體幾何；數(shù)學思想；解題應用

引 言

空間向量與立體幾何中，重點是利用空間向量來解決有關的立體幾何問題，將幾何的綜合推理和向量的代數(shù)運算有機地結合起來，為我們的數(shù)學思維活動開辟更加廣闊的天地，更好地培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力.在具體解決立體幾何問題的過程中，往往離不開數(shù)學思想方法的應用.

一、函數(shù)與方程思想的應用

在立體幾何中，通過建立空間直角坐標系，把空間中的線段、角、距離等問題用數(shù)表示，然后通過分析變量間的對應關系，建立方程或方程組或者構造方程或方程組，使問題獲得解決.有關線段、角度、面積、體積的計算，經(jīng)常需要用構造方程或建立函數(shù)關系式的方法加以解決.

分析 （1）通過合理構建空間直角坐標系，設出線段CP=x，利用兩向量坐標的確定，結合垂直關系轉化為數(shù)量積0，合理構建對應的關系式，再根據(jù)方程的根的個數(shù)來討論點的存在性問題；（2）由（1）可知a=2，進而分別求解兩個半平面的法向量，利用數(shù)量積公式來求解對應的二面角的平面角的余弦值即可.

解析 （1）建立如圖5所示的空間直角坐標系，其中直線DC為x軸，直線DA為y軸，直線DD1為z軸.

點評：立體幾何問題的空間想象與直觀圖形，都離不開數(shù)形結合思想的應用，由題設條件中的“數(shù)”與“形”的信息結合，又結合邏輯推理或數(shù)學運算這兩個層面“數(shù)”與“形”的應用來達到目的，是解決立體幾何問題中最為常見的技巧.

結 語

數(shù)學思想比數(shù)學概念更具有抽象概括水平，后者比前者更具有具體性、豐富性，前者比后者更具有深刻性、拓展性.在空間向量與立體幾何的綜合問題中，結合基本知識點與豐富的數(shù)學思想方法的交匯與融合，總結其一般解題技巧與策略，合理應用數(shù)學思想方法引領，全面提升數(shù)學思維品質與數(shù)學基本能力，必然會達到事半功倍的良好效果.

【參考文獻】

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