楊朝星

[摘要]《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確提出：要提高學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的能力（簡稱“四能”）．文章以“立體幾何”的項目教學(xué)設(shè)計為例，分別從“確立項目主題、分析項目目標(biāo)、設(shè)計驅(qū)動節(jié)點、實施項目活動、給予成果評價”五方面展開分析．

[關(guān)鍵詞]項目式學(xué)習(xí)；立體幾何；項目主題

高中數(shù)學(xué)課堂不僅要將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、運算能力、抽象能力等作為課堂教學(xué)目標(biāo)，還要將活動作為教學(xué)基礎(chǔ)．注重問題導(dǎo)向．從真正意義上提升學(xué)生的“四能”．發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．項目式學(xué)習(xí)是一種以項目推動學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)模式．學(xué)生在真實的環(huán)境背景下．進(jìn)行獨立思考與合作交流．實現(xiàn)問題的解決．本文以“立體幾何”為例．從五個方面深入研究項目式教學(xué)的設(shè)計．

確立項目主題

若將項目式教學(xué)比喻為在平地上建高樓．那么項目主題就是地基．地基牢固，大樓才能立得穩(wěn)．同樣，項目主題立得住．項目才能穩(wěn)步推進(jìn)．一個好的項目主題是實施教學(xué)的向?qū)В翼毻瑫r兼顧知識性與情境性．

1．知識性角度確立項目主題

從知識性角度來看．項目主題需要涵蓋相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識與技能．項目實施過程就是促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)與應(yīng)用知識的過程．新課標(biāo)作為數(shù)學(xué)教學(xué)綱領(lǐng)性要求．對項目主題的確定同樣具有指導(dǎo)意義，也就是說每一個項目的確立都要滿足新課標(biāo)要求，因此．項目的選擇就受新課標(biāo)的限制．要避免因項目的難度過大或綜合性過強而超出學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)．對于高中數(shù)學(xué)項目式教學(xué)而言．確立微項目主題為首選．

實踐告訴我們．一口吃不成一個胖子，同樣．項目式教學(xué)也應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則．教師可結(jié)合核心知識創(chuàng)設(shè)微項目專題，以降低項目的實施難度，讓學(xué)生在短時間內(nèi)就能初步感知到項目式學(xué)習(xí)的優(yōu)勢．

2．情境性角度確立項目主題

從情境性角度出發(fā)．確立項目主題的目的在于豐富學(xué)生的情感．激發(fā)學(xué)生的探究欲．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展奠定基礎(chǔ)，項目式教學(xué)更關(guān)注情境的真實性，對數(shù)學(xué)學(xué)科而言，這樣的要求一不小心就會偏離新課標(biāo)，尤其是高考背景下的項目主題要與生活實際相關(guān)．確實需要動一番腦筋，拿學(xué)生感興趣的“足球門危險區(qū)域”這個項目主題來說，雖說其情境性、趣味性與知識性都有，但項目主題涉及“重積分”知識．已經(jīng)超越了高中課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，那么這就不是一個合適的項目主題．

項目主題情境的選擇實則為“生活化”與“數(shù)學(xué)化”之間求平衡的過程，因此在情境的選擇上，除了要有學(xué)科特點、知識性，要與新課標(biāo)要求相匹配之外．還應(yīng)適當(dāng)弱化情境要求，基于此，項目主題的確立需要結(jié)合學(xué)情分析與人項材料兩個方面，如圖1所示，結(jié)合學(xué)科特點與新課標(biāo)要求，我們在項目主題的確立上可遵循該模型．

3．立體幾何項目主題分析

立體幾何在高中數(shù)學(xué)中占有重要地位，其主要研究生活中三維物體的大小、形狀與位置關(guān)系．對學(xué)生的直觀想象能力與邏輯思維能力有較高要求，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)具有重要價值與意義．

新課標(biāo)對高中立體幾何部分著重提出了如下兩個方面的要求：①對于空間幾何體部分．要求學(xué)生能通過對實物模型、照片等的直觀觀察，認(rèn)識如圓錐、棱柱、球與棱臺等多面體與旋轉(zhuǎn)體，明確知識結(jié)構(gòu)，掌握面積、體積公式并能靈活應(yīng)用．掌握斜二測畫法．可以在沒有參照物或辨識的情況下畫出以上空間圖形的直觀圖．②掌握點、線、面之間的位置關(guān)系，了解共面、異面、平行與垂直等關(guān)系．

學(xué)生在初中階段接觸過平面幾何部分的內(nèi)容．這部分內(nèi)容讓部分學(xué)生感到難度不?。F(xiàn)在要從二維空間上升到三維空間．難度系數(shù)更大，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生畏難心理，為了消減學(xué)生的擔(dān)憂．教師確立項目主題——立體幾何的探索．需要帶領(lǐng)學(xué)生從生活實際著手．在由淺入深的探索中抽象出空間圖形，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心．

分析項目目標(biāo)

確立了項目主題后就可以結(jié)合學(xué)生的實際認(rèn)知水平與新課標(biāo)要求等拆解項目目標(biāo)．也就是確定學(xué)生在項目完成后應(yīng)達(dá)到怎樣的水平，確切地說，項目目標(biāo)是項目式教學(xué)的最終歸宿，也是項目式教學(xué)設(shè)計與實施的方向標(biāo)．它能讓整個活動過程有明確的指向性．避免偏離預(yù)期軌道．如圖2所示．項目目標(biāo)可以從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)與成果目標(biāo)來分析.

立體幾何項目目標(biāo)的分析可從該章節(jié)知識點出發(fā)．以知識重構(gòu)為方向，讓學(xué)生在不同的情境中靈活調(diào)取應(yīng)用知識．想要達(dá)成這一目標(biāo)．就需要將學(xué)生的低階記憶轉(zhuǎn)化成高階理解．在大腦中構(gòu)建完整的知識結(jié)構(gòu)，為此．本項目分析階段可將立體幾何知識整理成圖3．為后續(xù)項目式教學(xué)的實施奠定基礎(chǔ)．

設(shè)計驅(qū)動節(jié)點

驅(qū)動節(jié)點的設(shè)計可以從如下幾方面來看：①從教學(xué)活動來看，設(shè)計驅(qū)動節(jié)點就是規(guī)劃活動．即教師將一個總的項目主題進(jìn)行拆分．形成多個子活動，這些子活動都指向項目目標(biāo)．②從策略來看，驅(qū)動節(jié)點屬于教學(xué)支架，涵蓋學(xué)習(xí)資料、問題、認(rèn)知策略等的選擇．教師基于預(yù)設(shè)的背景創(chuàng)設(shè)支架，為解決項目實施過程中遇到的問題服務(wù)．③從項目實施來看，驅(qū)動節(jié)點關(guān)注的是項目的設(shè)計能否起到調(diào)節(jié)作用、計劃是否合理等．同時，驅(qū)動節(jié)點還屬于監(jiān)督手段的一種．它能督促學(xué)生更好地完成教學(xué)任務(wù)，讓各個小組取長補短．把注意力渙散的學(xué)生拉回項目學(xué)習(xí)中來．因此．驅(qū)動節(jié)點屬于項目學(xué)習(xí)的靈魂環(huán)節(jié)．其活動設(shè)計包括子活動設(shè)計與驅(qū)動問題設(shè)計．但教師并不能完全預(yù)設(shè)到課堂中的所有情況．那么該環(huán)節(jié)的實施則屬于動態(tài)建構(gòu)的過程．對教師的業(yè)務(wù)水平有較高要求．

立體幾何的驅(qū)動節(jié)點可設(shè)計如下幾個子活動．

子活動1探尋生活實際中的立體圖形（課余時間）．

驅(qū)動問題：①說說你所認(rèn)識的水杯的形狀；②描述你們學(xué)校教學(xué)樓的形狀；③籃球和橄欖球的形狀一樣嗎？④簡單說說你對二維與三維的認(rèn)識；⑤分析立體圖形的結(jié)構(gòu)，是哪些因素決定了它們的結(jié)構(gòu)？

教學(xué)目標(biāo)：①通過生活實際物品增強直觀感知．培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；②從特殊到一般的過程中體驗三維實體的共性特征，并通過對實際幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述增強語言表達(dá)能力；③能根據(jù)物體的結(jié)構(gòu)特征對其進(jìn)行分類；④感知生活中的數(shù)學(xué)．

成果目標(biāo)：通過對生活中事物的觀察．探尋出合適的物體．抽象出相應(yīng)的立體圖形．并根據(jù)要求對這些立體圖形進(jìn)行分類、匯總，形成清單或報告．

子活動2畫立體圖形（1課時）．

驅(qū)動問題：①如何將一個三維圖形畫在平面的紙上？②從不同角度來觀察一個三維圖形，獲得的結(jié)論一樣嗎？③每一個人所畫出來的同一個立體圖形是一樣的嗎？④如何確保不同的人能畫出相同的圖形？

教學(xué)目標(biāo)：①豐富想象力，掌握斜二測畫法；②通過與三視圖的對比，發(fā)現(xiàn)一些異同點；③了解平行投影與中心投影；④感知數(shù)學(xué)類比思想.

成果目標(biāo)：利用課堂時間完成牟合方蓋或某種零件的制作圖.

子活動3刻畫立體圖形的大?。?課時）．

驅(qū)動問題：①可用什么量刻畫平面圖形的大?。竣诳捎檬裁戳靠坍嬁臻g立體圖形的大??？③是否可以將空間立體圖形的表面積計算方法轉(zhuǎn)化成平面圖形的面積計算方法？④兩類公式之間存在共同點嗎？

教學(xué)目標(biāo)：①掌握椎體、柱體、臺體的表面積與體積計算公式，以及變形情況．通過對它們異同點的研究，深化理解與記憶；②了解以上幾類立體圖形間的關(guān)系，形成靈活轉(zhuǎn)化的能力；③掌握各類立體圖形的展開圖，并能根據(jù)展開圖認(rèn)識空間圖；④通過活動探究發(fā)展空間想象能力與數(shù)學(xué)邏輯思維能力；⑤提煉數(shù)學(xué)度量思想．

成果目標(biāo)：通過剪紙的方法制作出立體圖形的展開圖，在刻度尺的幫助下計算立體圖形的表面積與體積．

子活動4計算球體體積（1課時）．

驅(qū)動問題：①說說圓的面積公式以及該公式的由來；②我們可以將矩形分成很多部分．各個部分的面積和與矩形面積存在怎樣的聯(lián)系？③與矩形類比．嘗試將球體分成相同的小幾何體；④這些小幾何體像什么？④能否將這一方法應(yīng)用在圓柱的研究上？

教學(xué)目標(biāo)：①掌握球體體積公式，對球體截面圖形以及球心到截面距離形成深刻理解；②掌握推導(dǎo)球體體積公式的方法，感知微積分思想；③發(fā)展數(shù)學(xué)邏輯思維與空間想象能力．

成果目標(biāo)：自主探尋出球體體積公式的推導(dǎo)過程、應(yīng)用原理，并用數(shù)學(xué)語言來描述整個操作過程．

實施項目活動

教師將活動項目、教學(xué)目標(biāo)與成果目標(biāo)展示給學(xué)生，讓學(xué)生在頭腦風(fēng)暴中提出獨有的想法，并以合作交流的方式討論如何高質(zhì)量地完成項目．達(dá)成相應(yīng)的目標(biāo)，當(dāng)學(xué)生的思維出現(xiàn)障礙時，教師可適時拋出驅(qū)動問題．以幫助學(xué)生順利突破困境．

立體幾何項目中的前三個子活動．學(xué)生只要結(jié)合原有認(rèn)知體系，通過閱讀就能順利完成；但第四個子活動就需要學(xué)生思考怎樣將球體分成無數(shù)個小幾何體．需要教師引導(dǎo)學(xué)生從兩個角度出發(fā)：①平行平面切割球體，這對邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性有很高的要求．需要分析球體兩端的小幾何體的近似圖形是什么，這種方法常因計算困難而被師生舍棄；②將球體分割為多個小圓錐，球心O為圓錐頂點，且圓錐的底面位于球面．由于球面本身是曲面，因此分割成的小圓錐數(shù)量只有趨近無窮時才接近平面．

經(jīng)探索．可得小圓錐的體積v=1/3S底面R，球體體積是所有小圓錐的體積和，所有小圓錐的底面面積和是球體的表面積．借助加法結(jié)合律．可得球體體積為V=1/2S球R=4/3πR3.

此處．教師還可以帶領(lǐng)學(xué)生從祖暅原理出發(fā)進(jìn)行探索．探索過程可用幾何畫板或GeoGebra等進(jìn)行輔助，讓學(xué)生在直觀展示中推導(dǎo)球體體積公式，獲得舉一反三的能力.

給予成果評價

每一個活動結(jié)束，都要及時采取多樣化方式對項目成果進(jìn)行分析與評價．一般可用抽簽或自愿的方式讓學(xué)生展示項目成果，讓學(xué)生著重談一談在該項目活動中獲得了哪些知識與能力，學(xué)生的合作情況并不是評價的落腳點，知識的精準(zhǔn)度、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性以及語言表達(dá)的流暢性等都是評價的重要指標(biāo).

如表1所示．成果評價可從評價內(nèi)容、類型、方法與主體出發(fā)，分別對相應(yīng)的內(nèi)容進(jìn)行合理化評價.

本項目可設(shè)計評價表，讓學(xué)生在“活動的參與度”“興趣”“主動思考”“結(jié)構(gòu)特征的提煉”“直觀圖的完成”“知識結(jié)構(gòu)的建立”“球體公式推導(dǎo)方法掌握”等相對應(yīng)的位置上打“√”．為反思提供依據(jù)．

總之．項目式教學(xué)是新課改的必然趨勢，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著較高的研究價值．根據(jù)項目式教學(xué)框架設(shè)計教學(xué)案例的研究方興未艾．教師應(yīng)不斷地提升自身的業(yè)務(wù)水平，轉(zhuǎn)化知識形態(tài)，為教學(xué)開辟一條新路徑．

基金項目：廣西教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度專項課題“基于項目式學(xué)習(xí)的研學(xué)實踐案例研究”（2022ZJY1825）