校丁永 許盈盈

《論語·里仁》中寫到：“見賢思齊焉，見不賢而內(nèi)自省也.”筆者在教授九年級數(shù)學(xué)（下冊）第6章“圖形的相似”時，教材中提出證明三角形三條中線交于一點(diǎn).結(jié)合教材的證明方法及在教學(xué)中學(xué)生現(xiàn)場生成的證明方法，筆者有了一些思考：難道利用之前所學(xué)知識無法證明此問題嗎？由此，引發(fā)了筆者更多的思考，故撰寫此文與讀者交流.

1 問題呈現(xiàn)

蘇科版七年級（下冊）第7章“7.4認(rèn)識三角形”中第25頁“練一練”第2題：分別畫出圖中（一個銳角三角形、一個鈍角三角形）各個三角形的3條中線.你有什么發(fā)現(xiàn)？

隨后，在參考答案中給出：三角形的3條中線交于一點(diǎn).借助“畫一畫”，通過合情推理得出了這一結(jié)論，由于所學(xué)知識有限，當(dāng)時并未進(jìn)行證明，可以說是留下了一個空白.同時，也提到了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，三角形三條高線交于一點(diǎn).

在八年級（上冊）利用角的軸對稱性證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn).

在九年級（下冊）利用相似三角形的性質(zhì)證明了三角形三條中線交于一點(diǎn).

兩個方面引起了筆者的關(guān)注與思考：一方面證明三角形三條中線交于一點(diǎn)出現(xiàn)的太晚，跨度整整兩年；另一方面三角形三條高線交于一點(diǎn)始終沒有給予證明.下面是筆者對這兩個問題的一些思考.

2 問題解決

蘇科版八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”，安排了“三角形的中位線”的學(xué)習(xí).既提到了三角形，又提到了兩個中點(diǎn)，可以說是與三角形三條中線交于一點(diǎn)非常接近.此處既然提到三角形的兩個中點(diǎn)，何不順勢而為，提出第三邊的中點(diǎn)，從而引出三條中線，并用所學(xué)知識證明三條中線交于一點(diǎn).

2.1 八年級下學(xué)期的證明方法

下面筆者給出一種用中位線定理和平行四邊形的判定及性質(zhì)證明三角形三條中線交于一點(diǎn).

證法1：中位線法.

如圖1，

延長AO至點(diǎn)G，使OG=AO，連接BG，CG.

∵E，O分別是AB，AG的中點(diǎn)，

∴EO是△ABG的中位線.

∴EO∥BG，EO=12BG.

∴CO∥BG.

同理，DO∥CG，DO=12CG.

∴BO∥CG.

∴四邊形OBGC是平行四邊形.

∴BF=FC.

∴F是BC的中點(diǎn).

故△ABC三條中線交于一點(diǎn).

此法稱之為“中位線法”，緣于在作輔助線時以構(gòu)造中位線為目的.此處利用三角形中位線定理及平行四邊形的定義與性質(zhì)即可證明，而這兩個知識點(diǎn)恰恰是學(xué)生剛剛學(xué)過的，同時在學(xué)習(xí)中位線的時候?qū)W生特別容易想到中線，既然已經(jīng)有了兩個中點(diǎn)，那么再引出第三個中點(diǎn)就顯得更加水到渠成.

2.2 九年級下學(xué)期教材給出的證明方法

教材在九年級（下冊）利用相似三角形的性質(zhì)證明了三角形三條中線交于一點(diǎn)，給出了如下方法.

證法2：同一法.

如圖2（1），△ABC的中線BD，CE相交于點(diǎn)O，連接ED.

∵E是AB的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

如圖2（2），△ABC的中線BD，AF相交于點(diǎn)O′，連接FD.同理可得O′DO′B=FDAB=12.

∴點(diǎn)O與點(diǎn)O′重合.

故△ABC三條中線交于一點(diǎn).

此法雖好，但是學(xué)生不易想到，不在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi).在課堂教學(xué)時，由于剛學(xué)完相似三角形的判定條件，因此學(xué)生給出的幾種不同的證明方法，幾乎都和相似三角形或平行線分線段成比例有關(guān).

2.3 課堂上學(xué)生現(xiàn)場生成的證明方法

下面是學(xué)生給出的一些證明方法：

證法3：平行四邊形法.

如圖3，

延長OD至點(diǎn)G，使DG=OD，連接AG，CG.

∵D分別是AC，OG的中點(diǎn)，

∴四邊形OAGC是平行四邊形.

∴CO∥AG，AO∥CG.

∴BEEA=BOOG，BFFC=BOOG.

∴BEEA=BFFC.

∵E是AB中點(diǎn)，

∴BE=AE.

∴BF=FC.

故△ABC三條中線交于一點(diǎn).

這種證明方法也非常簡單，構(gòu)造平行四邊形，并利用平行線分線段成比例來進(jìn)行證明，關(guān)于相似的判定和性質(zhì)還未涉及其中.

證法4：倍長中線法.

如圖4，

延長OD至點(diǎn)G，使DG=OD，連接ED，CG.

∵D是AC的中點(diǎn)，

∴DA=DC.

∵∠ADO=∠CDG，

∴△ADO≌△CDG.

∴∠DAO=∠DCG.

∴AF∥CG.

∴BFFC=BOOG.

∵E是AB的中點(diǎn)，D是AC的中點(diǎn)，

∴ED是△ABC的中位線.

∴ED∥BC，ED=12BC.

∴△EDO∽△CBO.

∴ODOB=EDBC=12.

∴BO=OG.

∵BFFC=BOOG，

∴BF=FC.

故△ABC三條中線交于一點(diǎn).

證法5：利用相似三角形的判定與性質(zhì).

如圖5，

連接DE交AF于點(diǎn)G.

∵E，D分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴DE是△ABC的中位線.

∴DE∥BC，DE=12BC.

∴△EDO∽△CBO，

△EGO∽△CFO，

△AEG∽△ABF.

∴EOOC=EDBC=12，EGFC=EOOC=12，EGBF=AEAB=12.

∴BF=FC.

∴AF是BC邊上的中線.

故△ABC三條中線交于一點(diǎn).

3 深入思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確指出，重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則．?dāng)?shù)學(xué)中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的.因此，教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識積累，在遵循科學(xué)性的前提下，采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則.

3.1 調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，遞進(jìn)更加明晰

筆者認(rèn)為，可以把“證明三角形三條中線交于一點(diǎn)”安排在中位線定理的學(xué)習(xí)之后.原因有二：其一，七年級下學(xué)期已經(jīng)“初見”，拖到九年級下學(xué)期“再見”，跨度太大.其二，在學(xué)習(xí)“三角形的中位線”時，已有兩邊中點(diǎn)，再提第三邊中點(diǎn)亦是順其自然、水到渠成，對其進(jìn)行證明便可順勢而為、順?biāo)浦?，更能充分調(diào)動學(xué)生探索的積極性，教學(xué)效果也必將事半功倍.整體呈現(xiàn)如圖6所示：

正如南京師范大學(xué)顧繼玲教授所說：在不同學(xué)段、不同單元中，課程內(nèi)容重復(fù)出現(xiàn)，逐漸拓展知識面，加深知識難度，即同一課程內(nèi)容多次出現(xiàn)，后面的內(nèi)容作為前面內(nèi)容的擴(kuò)展、深化，以交叉遞進(jìn)的方式進(jìn)行，體現(xiàn)螺旋式上升的特點(diǎn).

3.2 由此及彼再思索，三條高線又如何

七年級（下冊）提到三角形三條中線交于一點(diǎn)、三條角平分線交于一點(diǎn)、三條高線交于一點(diǎn).

八年級上學(xué)期利用角平分線的性質(zhì)和判定證明三條角平分線交于一點(diǎn).

可以在八年級下學(xué)期，利用中位線的性質(zhì)和判定證明三角形三條中線交于一點(diǎn).

然而，教材中并沒有安排“三角形三條高（所在直線）交于一點(diǎn)”的證明.從整體的角度去看，可謂甚是遺憾，下面筆者給出一種證明方法.

在△ABC中，已知高BD，CE交于點(diǎn)F，連接AF并延長，交BC于點(diǎn)G.

求證：AG⊥BC.

證明：如圖7，取BC中點(diǎn)O，連接OD，OE，DE.

∵在Rt△BEC中，∠BEC=90°，

∴OE=OB=OC.

同理，OD=OB=OC.

∴點(diǎn)B，E，D，C在以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓上.

同理，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，D共圓.

∵∠DBC=∠DEC，

∠DAF=∠DEF，

∴∠DBC=∠DAF.

∵BD⊥AC，

∴∠DBC+∠DCB=90°.

∴∠DAF+∠DCB=90°.

∴∠AGC=90°.

∴AG⊥BC.

故三角形三條高交于一點(diǎn).

如此便將七年級下學(xué)期提出的三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)、三條中線交于一點(diǎn)、三條高線交于一點(diǎn)全部證明完畢，如圖8所示.

教師要非常熟悉初中三個年級教材的整體編排，在備課時站在高位進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).教師站位越高，學(xué)生獲得的知識越系統(tǒng)，教師的思路越立體，學(xué)生的收獲越豐富，讓學(xué)生對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)有更多的好奇心和求知欲，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

東北師范大學(xué)孔凡哲教授指出，“螺旋”是指學(xué)習(xí)主題相同而內(nèi)容的深度、廣度不同，“上升”是指層次的提升，以及課程內(nèi)容的深度、廣度的加深.因此“同一個課程內(nèi)容的不同層次之間比較適宜進(jìn)行‘螺旋式上升”，“上升”的表現(xiàn)可以是思維深度的加深，也可以是內(nèi)容廣度的增加，還可以是學(xué)習(xí)素材載體的改變等.

3.3 理論聯(lián)系實(shí)際，大膽進(jìn)行整合

（1）從初中三年的知識結(jié)構(gòu)去思考，在教材沒有提到的情況下，如果能夠補(bǔ)充證明“三角形三條中線交于一點(diǎn)”“三角形三條高線交于一點(diǎn)”，從而可以促成初中三年整個學(xué)段的知識形成閉環(huán)，不留空缺.

（2）充分體現(xiàn)幾何知識的學(xué)習(xí)中，一般思路為觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、論證.既然發(fā)現(xiàn)了結(jié)論，如果不去論證，顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，不夠完美，甚是遺憾.

（3）進(jìn)行教材的微整合時，不能影響整體的教學(xué)進(jìn)度，不能影響整體的知識結(jié)構(gòu)，不能拔高知識的難度，不能增加學(xué)生的負(fù)擔(dān).

（4）可以更好地體現(xiàn)初中數(shù)學(xué)知識的螺旋式上升，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的環(huán)環(huán)相扣，展示數(shù)學(xué)知識的層層遞進(jìn)，讓教學(xué)循序漸進(jìn)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)時感悟到條理更清晰、結(jié)構(gòu)更完美！

（5）對教材進(jìn)行的整合與思考，有利于教師的專業(yè)成長，俗話說做人要“活到老、學(xué)到老”，那么做老師便要“教到老，研到老”，力爭每輪教學(xué)都有新研究、新思考，力求每輪教學(xué)都有新成果、新收獲！

參考文獻(xiàn)：

中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

顧繼玲.關(guān)于數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的選擇與組織.數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（2）：14，66.

孔凡哲．基礎(chǔ)教育新課程中“螺旋式上升”的課程設(shè)計(jì)和教材編排問題探究．教育研究，2007（5）：6268.