探索多元表征：數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的新途徑

[摘 要] 小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)。數(shù)學(xué)概念是抽象的，數(shù)學(xué)思維則包括形象思維和抽象思維等多種類(lèi)型。對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解有助于數(shù)學(xué)思維的拓展。本研究探討了教師應(yīng)如何利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)多元表征方法深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，進(jìn)而促進(jìn)他們數(shù)學(xué)思維的健康發(fā)展。研究指出，多元表征不僅能夠作為理解數(shù)學(xué)概念的切入點(diǎn)，還能有效展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的生成過(guò)程，符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)概念；多元表征；數(shù)學(xué)教學(xué)；思維發(fā)展；概念可視化

在新課標(biāo)背景下，如何在教學(xué)中幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是教師亟待思考的問(wèn)題。教師要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。如何通過(guò)概念的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？學(xué)生通過(guò)數(shù)字、圖形、符號(hào)、算式和數(shù)據(jù)等多種表征方式學(xué)習(xí)，在此過(guò)程中能夠內(nèi)化數(shù)學(xué)概念，使數(shù)學(xué)思維得以全面提升，進(jìn)而充分發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、借助多元表征的呈現(xiàn)，讓概念真正落地

低年級(jí)小學(xué)生的思維已經(jīng)從形象思維逐漸轉(zhuǎn)向抽象思維。對(duì)于一些概念，如數(shù)的讀寫(xiě)、組成，他們已經(jīng)能夠理解，但對(duì)于“大數(shù)具體有多大”沒(méi)有概念。教師雖然多次講解，但是學(xué)生仍然無(wú)法理解的情形時(shí)有發(fā)生。

究其原因，主要是教師依賴(lài)于自己腦海中的表征，并以自己理解的方式講解概念。如果學(xué)生無(wú)法理解這種表征，就會(huì)導(dǎo)致師生雙方的理解出現(xiàn)偏差。教師需要分析學(xué)生的心理特點(diǎn)、社會(huì)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，在教學(xué)時(shí)充分利用數(shù)字、圖形、符號(hào)、算式和數(shù)據(jù)等多元表征來(lái)引導(dǎo)學(xué)生探究。學(xué)生不僅可以學(xué)到數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，還能在學(xué)習(xí)和運(yùn)用多元表征的過(guò)程中內(nèi)化數(shù)學(xué)概念。這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就能得到較大提升，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也能得到充分發(fā)展。

以學(xué)生能接受的表征方式進(jìn)行教學(xué)，是教師提高教學(xué)實(shí)效的關(guān)鍵。多元表征的呈現(xiàn)需要教師準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)概念，并層層遞進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握。教師應(yīng)運(yùn)用多種表征方式，多視角、多維度展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行深度思考，從而使學(xué)習(xí)真正“落地生根”，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

（一）基于課本的把握，準(zhǔn)確切入概念

新課標(biāo)倡導(dǎo)以學(xué)生為主體，同時(shí)強(qiáng)調(diào)課堂教學(xué)要以課本為主要教學(xué)資源。教師要準(zhǔn)確把握課本，讓課本中的例題生動(dòng)化。在教學(xué)時(shí)，教師可以對(duì)數(shù)學(xué)概念等較抽象的內(nèi)容進(jìn)行二次加工，重新創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活、能夠激發(fā)學(xué)習(xí)興趣并調(diào)動(dòng)學(xué)習(xí)積極性的問(wèn)題情境表征，讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程并積極思考，從而有效激活并拓展他們的數(shù)學(xué)思維。

以教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)米”為例。課本直接呈現(xiàn)了使用米尺測(cè)量較長(zhǎng)物體的內(nèi)容，并引入了米這一概念，然而學(xué)生對(duì)米尺感到陌生，對(duì)米這一單位更是缺乏直觀認(rèn)識(shí)，這導(dǎo)致他們難以將新學(xué)的米與已掌握的厘米知識(shí)進(jìn)行有效銜接。在測(cè)量過(guò)程中，學(xué)生感受到用厘米尺測(cè)量比較煩瑣，進(jìn)而會(huì)思考能否換用更大一點(diǎn)的單位或測(cè)量工具，來(lái)更方便地測(cè)量生活中的大物體。這樣的教學(xué)，教師巧妙地找到了學(xué)生對(duì)于米與厘米兩個(gè)概念之間的銜接點(diǎn)。學(xué)生通過(guò)情境表征，運(yùn)用自己的想法去解決問(wèn)題，變得更加積極主動(dòng)。經(jīng)歷過(guò)這一情境探索體驗(yàn)過(guò)程，學(xué)生自然會(huì)思考對(duì)于更大物件的測(cè)量是否存在更大的單位，對(duì)于很小的物件是否也存在更小的單位。這樣的教學(xué)，不僅有助于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)、探索精神和解決問(wèn)題的能力。

（二）借助教具的開(kāi)發(fā)，助力概念內(nèi)化

數(shù)學(xué)是抽象的，數(shù)學(xué)概念更具有高度概括性，它需要用嚴(yán)密的邏輯解釋事物的本質(zhì)屬性和特征。在教學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去感知和認(rèn)識(shí)，而不是直接“引見(jiàn)”。教師需要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，關(guān)注概念產(chǎn)生的必然性和本質(zhì)特征，通過(guò)多元表征展現(xiàn)知識(shí)概念的形成過(guò)程，讓學(xué)生加深理解，促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。

以教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)面積”一課中的“什么是面積”為例。教師可以先引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用生活常識(shí)去比較數(shù)學(xué)書(shū)的封面和桌面，問(wèn)問(wèn)自己“哪個(gè)面更大”。學(xué)生在思維中自然會(huì)形成一種“面的大小就是面積”的直覺(jué)感知。隨后，教師可以通過(guò)讓學(xué)生摸一摸這些物體的表面，使他們進(jìn)一步深入感知和理解面積這一概念。

這樣的表征形式雖然不是傳統(tǒng)的，但因在情理之中，會(huì)顯得尤為自然。教師需要準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)，并靈活運(yùn)用多種表征，使得數(shù)學(xué)概念既直觀又貼近實(shí)際，這樣可以讓學(xué)生思維的條理清晰，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

二、依托多元表征的聯(lián)系，讓概念可視化

小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)具有其獨(dú)有的連貫性結(jié)構(gòu)。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師要抓住數(shù)學(xué)知識(shí)間的多元聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生熟練應(yīng)用不同的表征形式來(lái)靈活展示數(shù)學(xué)概念。能夠通過(guò)多種表征形式展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生從初步接觸到真正掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要標(biāo)志。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用多元表征，學(xué)生能夠更深入地理解概念、挖掘概念內(nèi)涵、揭示概念本質(zhì)，并促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的成長(zhǎng)。

（一）圖形示意表征，概念直觀可視化

數(shù)學(xué)概念具有高度的簡(jiǎn)潔性。符號(hào)表征和圖形表征不僅能讓數(shù)學(xué)知識(shí)獲得更直觀的展現(xiàn)，也能體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的具體化理解。學(xué)生對(duì)符號(hào)表征、圖形表征的熟練使用，體現(xiàn)了他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和思考。

例如，蘇教版《數(shù)學(xué)》四年級(jí)下冊(cè)“確定位置”一課中的“數(shù)對(duì)”教學(xué)，是從方向和距離入手的研究。學(xué)生首先要在關(guān)于位置的討論中感受統(tǒng)一的必要性，然后在記錄位置的過(guò)程中體驗(yàn)文本的復(fù)雜性，但這樣的安排其實(shí)不利于速記，也不利于數(shù)學(xué)表達(dá)的清晰明了。教師引導(dǎo)學(xué)生理解尺的方向規(guī)則，并將其延伸到確定位置。在這個(gè)過(guò)程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從零開(kāi)始統(tǒng)一方向，自主創(chuàng)新不同的表征，如4∶3、4.3、（4，3），這些都表示“第4列第3行”，進(jìn)而讓學(xué)生比較得出（4，3）這個(gè)統(tǒng)一的符號(hào)表征，這樣就經(jīng)歷了再創(chuàng)造過(guò)程。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中經(jīng)歷了思維過(guò)程的具體化和可視化，體悟到了數(shù)學(xué)符號(hào)表征的簡(jiǎn)潔性、直觀性和概括性，從而領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)符號(hào)的獨(dú)特魅力。

（二）實(shí)踐操作表征，概念靈動(dòng)清晰化

數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)往往源于生活實(shí)踐與主動(dòng)思考，其中實(shí)踐操作發(fā)揮著關(guān)鍵作用。教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生在“做”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，因?yàn)閷?shí)踐是獲取數(shù)學(xué)概念知識(shí)和技能的重要途徑。學(xué)生具有豐富的想象力和獨(dú)立思考能力，教師需要激發(fā)他們的想象力，并通過(guò)實(shí)踐操作將解決問(wèn)題的方法具體化，使得數(shù)學(xué)概念和知識(shí)更易被理解，同時(shí)有助于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的清晰展現(xiàn)。

例如，在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)厘米”時(shí)，由于長(zhǎng)度單位很抽象，學(xué)生往往缺乏具體的生活經(jīng)驗(yàn)可以對(duì)照。教師可以引導(dǎo)學(xué)生先用厘米尺去量手指甲的寬度（大約為1厘米），再利用指甲蓋去尋找生活中的“1厘米”。通過(guò)這種方式，學(xué)生學(xué)會(huì)了使用具體的數(shù)據(jù)來(lái)感知生活中實(shí)物的大小，積累了豐富的感性材料。隨后，教師可以讓學(xué)生畫(huà)出1厘米的長(zhǎng)度，并用直尺進(jìn)行測(cè)量。在這一系列“找—尋—畫(huà)—量”的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“抽象—具體—抽象—具體”的思維轉(zhuǎn)換。抽象與具體的表征交織進(jìn)行，使得厘米這一單位概念變得具體形象，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中牢固掌握了長(zhǎng)度的概念，并初步建立了度量感。

針對(duì)具有一定經(jīng)驗(yàn)和概括能力的高年級(jí)學(xué)生，教師可以設(shè)計(jì)一系列操作實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)觀察比較、測(cè)量計(jì)算和推理演繹等方法進(jìn)行獨(dú)立思考和合作探究，從而概括、總結(jié)并解決問(wèn)題。例如，在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)圓”時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)小組探究合作活動(dòng)，提供大小不一的教具模型表征——實(shí)物圓片（每組有相同和不同類(lèi)型的圓片，同組之間也包含相同的和不同的圓片），讓學(xué)生進(jìn)行合作探究。學(xué)生可以通過(guò)折紙、繪畫(huà)和測(cè)量等多種感官協(xié)同參與的活動(dòng)，交流并總結(jié)圓的半徑和直徑的概念、特征及其關(guān)系，進(jìn)而在豐富的表象中感知概念的本質(zhì)，體驗(yàn)知識(shí)的獲取過(guò)程，從而構(gòu)建起清晰的概念知識(shí)體系。

三、實(shí)現(xiàn)多元表征的交流，增強(qiáng)概念整合性

在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來(lái)解決問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，并助力他們構(gòu)建堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)概念體系。教師需要巧妙利用問(wèn)題表征來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，引導(dǎo)他們進(jìn)行有效的表征轉(zhuǎn)換，從而切實(shí)提高思維能力。教師可以通過(guò)語(yǔ)言、示意圖等個(gè)性化的外部可視表征來(lái)呈現(xiàn)概念問(wèn)題，學(xué)生可以運(yùn)用不同的表征方式來(lái)展現(xiàn)和表達(dá)問(wèn)題結(jié)構(gòu)，并在此過(guò)程中主動(dòng)進(jìn)行概括與反思，在教師的指導(dǎo)下進(jìn)一步加工形成總結(jié)性或算式表征。經(jīng)歷表征間的多元融合后，學(xué)生能夠?qū)κ挛锂a(chǎn)生不同的認(rèn)知和思考。

（一）語(yǔ)言交流，概念碰撞更深刻

語(yǔ)言是概念的外衣，概念是思維的內(nèi)核，數(shù)學(xué)概念、思維語(yǔ)言是相互聯(lián)系、緊密結(jié)合的。在教學(xué)中，教師通過(guò)語(yǔ)言的表述將數(shù)學(xué)概念具體化，學(xué)生就可以借助語(yǔ)言在交流辨析中碰撞思維，查漏補(bǔ)缺。這樣的概念教學(xué)，有利于學(xué)生加深對(duì)概念的理解，錘煉邏輯思維。

例如，在教學(xué)蘇教版《數(shù)學(xué)》二年級(jí)上冊(cè)“乘法”概念時(shí)，6個(gè)5相加和6個(gè)5相乘是學(xué)生辨析概念的重點(diǎn)，需要學(xué)生運(yùn)用多種表征——從在語(yǔ)言表征中體會(huì)，到在算式表征中體現(xiàn)。這個(gè)相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程，能展現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念的理解；不同表征間的熟練轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了學(xué)生思維可以靈活切換。

（二）書(shū)面表達(dá)，概念整合更嚴(yán)謹(jǐn)

在數(shù)學(xué)概念表達(dá)中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生從多樣的表征中，找到適合自己獨(dú)特的數(shù)學(xué)表達(dá)風(fēng)格，促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最終內(nèi)化為個(gè)人知識(shí)技能。在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多元表征詮釋數(shù)學(xué)概念時(shí)，教師不要限制學(xué)生只能采用某一種形式，而應(yīng)重視學(xué)生表征展現(xiàn)的有序性和多樣性。

例如，在引導(dǎo)學(xué)生探究蘇教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)下冊(cè)“解決問(wèn)題的策略”中的“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思維的關(guān)鍵在于讓他們先獨(dú)立思考。學(xué)生有的采用圖像表征，有的采用圖形表征。表征的方式雖然不一樣，但本質(zhì)都是將不同的量假設(shè)成同一種量，都是在經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維從表象轉(zhuǎn)化為抽象、從粗淺轉(zhuǎn)化為深刻的過(guò)程。在學(xué)生將思考的過(guò)程以算式的形式表現(xiàn)出來(lái)時(shí)，他們的答題就是表達(dá)，每一個(gè)答題步驟都反映了其思維的軌跡。教師在教學(xué)時(shí)要讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再合作交流。在這一過(guò)程中，學(xué)生可以了解他人是如何從不同角度看待問(wèn)題、解決問(wèn)題的，這種多元的視角能夠拓寬他們的思維邊界，有利于其在面對(duì)新情境時(shí)靈活運(yùn)用所學(xué)策略。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，課堂不僅是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的場(chǎng)所，還是收獲成功和喜悅的空間。在新課標(biāo)背景下，教師要充分解讀課本、分析學(xué)情，創(chuàng)設(shè)適宜學(xué)生學(xué)習(xí)成長(zhǎng)的情境，引導(dǎo)學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的前提下，依靠已有的生活經(jīng)驗(yàn)和所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)探索數(shù)學(xué)世界的規(guī)律。教師要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)并運(yùn)用多元表征，幫助他們頭腦中的數(shù)學(xué)概念從朦朧逐漸變得清晰，從表面深入內(nèi)核，從局限拓展至廣闊。

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（作者單位：江蘇省宜興市太華小學(xué)）