羅　穎

摘 要：荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴登塔爾認(rèn)為，高效的數(shù)學(xué)教育要實(shí)現(xiàn)橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的均衡發(fā)展。橫向數(shù)學(xué)化就是把生活實(shí)物世界引向數(shù)學(xué)符號(hào)世界，即把普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)文字語言的過程；縱向數(shù)學(xué)化就是在數(shù)學(xué)世界里，符號(hào)生成、重塑和被使用，即符號(hào)語言與文字語言互換，文字語言與圖式語言互換，圖式語言與符號(hào)語言互換過程。本文以此理論為依據(jù)，在“倍”的概念教學(xué)中進(jìn)行了卓有成效的嘗試，對(duì)數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)化教學(xué)具有啟迪作用。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；倍的意義；數(shù)學(xué)化

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2009）03-0048-02

北師大版二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)“倍的意義”是在學(xué)習(xí)了平均分與除法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。“倍”既是生活概念，又是數(shù)學(xué)語言。作為生活概念的“倍”，教材采取不下概括性的定義，而是結(jié)合“快樂的動(dòng)物”具體情境和解決問題的過程，讓學(xué)生感受“倍”的意義，體會(huì)“倍”與平均分的聯(lián)系與區(qū)別；作為數(shù)學(xué)用語的“倍”具有高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性和豐富的內(nèi)涵，學(xué)生認(rèn)識(shí)并理解“倍”需要經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過程。如何引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，我采取借助“數(shù)學(xué)語言”轉(zhuǎn)換的方法，取得了較好的教學(xué)效果。做法如下：

一、引導(dǎo)對(duì)話（把生活普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)文字語言）

普通語言即以普通話為標(biāo)準(zhǔn)的生活語言，它是學(xué)生熟悉的。用它表述事物，學(xué)生感到親切、容易理解。通過普通語言轉(zhuǎn)化為文字語言，使抽象的數(shù)學(xué)語言在現(xiàn)實(shí)生活中找到“原型”，從而能透徹理解，運(yùn)用自如?，F(xiàn)行數(shù)學(xué)教材以反映現(xiàn)實(shí)世界的“主題圖”形式來呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活”的教育理念。這樣“倍”的教學(xué)就需要把生活概念的“倍”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言的“倍”，才能有效地抽象出“倍”這一概念。其教學(xué)片段如下：

師：仔細(xì)觀察“快樂的動(dòng)物”這幅圖，先統(tǒng)計(jì)猴子和鴨子的只數(shù)。

生1：猴子3只。（教師用簡(jiǎn)筆畫，在黑板畫了3只猴子）

生2：鴨子6只。（教師用簡(jiǎn)筆畫，在黑板3只猴子下面畫了6只鴨子）

師：我們把3只猴子看成l份，鴨子的只數(shù)有這樣的幾份？

生：把3只猴子看成l份，鴨子的只數(shù)有這樣的2份。

師：你們還能用其他的話，把這個(gè)意義說出來嗎？

生l：猴子有3只，鴨子有2個(gè)3只。

生2：猴子有3只，鴨子有6只，鴨子只數(shù)是猴子的2倍。（教師板書課題：倍的意義）

上述教學(xué)片段，我借助簡(jiǎn)筆畫實(shí)物圖，在生活語言“把3只猴子看成l份，鴨子的只數(shù)有這樣的2份”的基礎(chǔ)上提煉出“幾份”、“幾個(gè)幾”，再抽象出數(shù)學(xué)語言“倍”，初步揭示了“倍”的含義，實(shí)現(xiàn)了從生活語言“幾份”向數(shù)學(xué)語言“幾倍”的轉(zhuǎn)換。

二、引導(dǎo)操作（把數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)圖式語言）

圖式語言是一種視覺語言，以圖形、圖表表示，其特點(diǎn)是直觀，便于觀察與聯(lián)想。求倍數(shù)關(guān)系涉及兩個(gè)量之間的比較，通過把文字語言轉(zhuǎn)換為圖式語言，能夠讓學(xué)生直觀明白“倍”是等分活動(dòng)的擴(kuò)展。其教學(xué)片段如下：

師：繼續(xù)統(tǒng)計(jì)其他每種動(dòng)物的只數(shù)，大家把統(tǒng)計(jì)的結(jié)果也像老師這樣表示出來。

生1：我不會(huì)畫簡(jiǎn)筆畫。

生2：能用其他方法表示嗎？

師：可以用你們自己喜歡的方法表示。

學(xué)生動(dòng)手操作后進(jìn)行匯報(bào)，雖然畫法各異，但基本都是以簡(jiǎn)單圖形代替實(shí)物：

……

師：你們這樣畫表示什么意思？請(qǐng)具體說明一下。

生l：我們用▲表示猴子，3個(gè)猴子為1份：用◆表示鴨子，每份鴨子只數(shù)與猴子一樣多，鴨子只數(shù)是猴子的2倍。

生2：我們畫的意思是用●●為l份，每份一樣多，小雞只數(shù)是松鼠的4倍。

師：你們自己說一句“誰是誰幾倍”的話，并用桌上信封里的圖形或?qū)嵨铮ㄐ∈樱[一擺，表示出來。

生1：松鼠的只數(shù)是孔雀的2倍。我上行擺了1個(gè)，下行擺2個(gè)。

生2：小鳥的只數(shù)是鴨子的2倍。我上行擺6個(gè)，下行擺2個(gè)6，共是12個(gè)。

生3：小鳥的只數(shù)是猴子的4倍。我上行擺3個(gè)，下行擺12個(gè)，擺成4個(gè)3。

生4：小鳥的只數(shù)是松鼠的6倍。我上行擺2個(gè)，下行擺12個(gè)，2個(gè)為1份，擺成6份。

……

上述教學(xué)片段，我用簡(jiǎn)筆畫表示統(tǒng)計(jì)結(jié)果為借口，故意為難學(xué)生，引發(fā)了認(rèn)知沖突，促使學(xué)生用更加方便的圖形代替實(shí)物簡(jiǎn)筆畫，在上述不同的畫法中折射出學(xué)生對(duì)圖形表示“倍”的不同理解。用▲表示猴子，用◆表小鴨子，去除了具體物的屬性，初步具有圖式意思；用●表示，則完全去除具體物的屬性，只保留兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，表現(xiàn)出較高的圖式化水平。將數(shù)學(xué)文字語言“誰是誰的幾倍”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖式語言，使抽象的數(shù)學(xué)文字語言形象化，豐富了“倍”的表象，學(xué)生通過畫—畫、擺一擺、分一分、說一說等活功，進(jìn)一步理解了“倍”的意義，拓展了學(xué)生對(duì)“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵的理解。

三、引導(dǎo)提煉（數(shù)學(xué)圖式語言或數(shù)學(xué)文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是把圖式語言和文字語言用符號(hào)語言表達(dá)出來或借助符號(hào)語言來思考，數(shù)學(xué)概念、法則與定理、公式等往往是只用一種數(shù)學(xué)語言表述的，而學(xué)生要真正理解、掌握和運(yùn)用它們，則必須能靈活運(yùn)用三種數(shù)學(xué)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換。其教學(xué)片段如下：

師：能用比圖形更簡(jiǎn)單的方法把統(tǒng)計(jì)結(jié)果表示出來嗎？

生l：直接用數(shù)和算式表示。鴨子只數(shù)是猴子的2倍，可以用算式6÷3=2表示。

生2：小雞只數(shù)是松鼠的4倍，可以用算式8÷2=4表示。

……

師：繼續(xù)統(tǒng)計(jì)其他每種動(dòng)物的只數(shù)，直接用數(shù)字表示；再自己提出一個(gè)可以用除法解決的問題，直接用算式解答。

生l：鴨子6只，松鼠2只，鴨子數(shù)是松鼠的幾倍？

6÷2=3。

生2：猴子3只，孔雀1只，猴子數(shù)是孔雀的幾倍？

3÷1=3。

師：說一說你為什么用除法解答？

生3：小鳥12只，孔雀l只，小鳥是孔雀的幾倍？就是求12里有幾個(gè)1，所以用12÷l=12，求得小鳥是孔雀的12倍。

……

上述教學(xué)片段，學(xué)生能用除法表示倍數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)圖式語言和數(shù)學(xué)文字語言向數(shù)學(xué)符號(hào)語言的轉(zhuǎn)化。

總之，“倍”的教學(xué)需要學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化過程，數(shù)學(xué)化提煉需要以數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化為載體，數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號(hào)語言和圖式語言。上述“倍的意義”教學(xué)，通過生活普通語言向數(shù)學(xué)文字的轉(zhuǎn)換，完成了橫向數(shù)學(xué)化過程；以不同數(shù)學(xué)語言形態(tài)的文字語言與符號(hào)語言、文字語言與圖式語言、圖式語言與符號(hào)語言之間的相互轉(zhuǎn)換，完成了縱向數(shù)學(xué)化過程。這樣，讓學(xué)生多角度、多層面理解了“倍”的意義，把握了“倍”的外延和內(nèi)涵，揭示了“倍”的本質(zhì)。

參考文獻(xiàn)：

［1］田奇述.有“數(shù)學(xué)味”的理性思考［J］.湖南教育（教師版），2006，（1）.

［2］陳明端，田奇述.發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)語言”交流能力的思考［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2005，（12）.

［3］田奇述.試論小學(xué)數(shù)學(xué)人文教育的滲透［J］.教育實(shí)踐與研究，2004，（3）.

［4］田奇述.“數(shù)學(xué)思考”的思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)參考，2005，（11）.

［5］田奇述.給“數(shù)學(xué)味兒”把脈［J］.教育實(shí)踐與研究，2007，（12）.

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