如何在數(shù)學教學中培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力

樊明成

摘要函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,能全面考查學生對數(shù)學符號語言的理解和接受能力,以及對一般和特殊關(guān)系的認識,從而對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神、實踐能力和運用數(shù)學的能力,有著十分重要的作用。

關(guān)鍵詞函數(shù)創(chuàng)新思維能力

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

創(chuàng)新的基礎(chǔ)是創(chuàng)造性思維能力,課堂教學是培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力的主渠道,創(chuàng)新要從課堂上抓起。思維的獨特性、靈活性、求異性、綜合性是創(chuàng)新思維的重要特點,應(yīng)把“四性”教學滲透到每一個教學內(nèi)容之中,筆者以函數(shù)教學內(nèi)容為例,淺析如何在課堂教學中激勵學生的創(chuàng)造意識。

1 弄清值域概念,培養(yǎng)思維的獨特性

思維的獨特性是具有創(chuàng)造性才能的人最重要的思維品質(zhì),獨特性反映了思維的深度及對本質(zhì)特征的把握程度,只有觸及事物的本質(zhì),才能在學習和工作中“獨辟蹊徑”、“棋高一著”。為了培養(yǎng)學生這種能力,教學中設(shè)計了下列兩道練習題。

例1已知f(x)的定義域為[a,b],且f(x)在x=a處取得最小值A(chǔ),在x=b處取得最大值B,試求y=f(x)在[a,b]上的值域。

例2求f(x)=的值域。

例1是無法求值域的;在求解過程中沒有學生對題目提出異議,沒有獨特的見解,有的同學誤將答案寫為[a,b]。

例2正確答案為[-,0)∪(0,],但有的學生將y=化簡成y=sin2x從而得出值域為[-,]忽視了定義域{x|x=k%i,k∈z}的制約。

值域是函數(shù)三要素之一,初等函數(shù)的特殊性,給學生造成了這樣一種認識:若函數(shù)的值域為[m,M],則函數(shù)的最大值、最小值分別為M和m;若函數(shù)的最小值為m,最大值為M,則其值域為[m,M],實際上前一種認識是正確的,后一種認識是錯誤的。函數(shù)的性質(zhì),直接受定義域制約。函數(shù)的三要素定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系三者之間是相互滲透、相互依賴的,教學中多設(shè)幾個特例,揭示這三者之間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別,有利于獨特性思維的發(fā)展。

2 多方求函數(shù)的值,培養(yǎng)思維的靈活性

創(chuàng)造性思維強調(diào)根據(jù)不同的對象和條件,具體情況、具體對待,靈活應(yīng)用,反對一成不變的模式。求函數(shù)值的方法是豐富多彩的,為了培養(yǎng)學生靈活求函數(shù)值的方法,要求學生計算下面兩道習題。

例3已知f(x)=4x-4x+1(x≥0),求f -1(0)

例4已知f(x)=asin3+x3+1,且f()=4+√2,求f(-)

解題時,學生出現(xiàn)不同的解法。

例3解法:方法①應(yīng)通過原函數(shù)與反函數(shù)的可逆性,將求f-1(0)轉(zhuǎn)化為求方程f(x)=0的解。方法②有的學生不惜通過繁瑣的計算,先求出y=f -1(x),進而求f -1(0)的值。

例4解法:方法①應(yīng)通過函數(shù)的奇偶性,g(x)=f(x)-1,利用g(x)是奇函數(shù)這一性質(zhì)求解最為方便。方法②通過f()=4+√2解出a的值,以確定f(x)的表達式,再將x=-代人,求出f(-)的值。

通過比較,教師指出解例3時,通過函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)計算出與x對應(yīng)的函數(shù)值y,這是常見的思路,初、高中課本中有大量這類題型,導致學生思維的單一性,解法繁瑣。方法①則靈活、便捷。解例4時,方法①掌握了g(x)是奇函數(shù)這一性質(zhì),用逆向思維的方法解決,比方法②高明得多。通過這兩個例題的教學使學生懂得解題或處理問題時要變通,要實事求是,不要拘泥于教條和模式。

3 深入理解定義域,學會求異思維

創(chuàng)造性思維是對已知知識的重新組合,目的是獲得新的思維成果。深入理解函數(shù)定義域,有助于發(fā)展學生的求異思維。定義域一般分為三種類型;使解析式有意義的自變量的取值范圍稱為自然型;使實際問題或幾何問題有意義的自變量的取值范圍稱為實際型;人為限制給定的自變量的取值范圍稱為限制型。為了加深對定義域的理解,求解下面幾個例題。

例5已知f(x)=log(x+a),其中a∈R,若x∈[2,+∞]時,f(x)有意義,求a的取值范圍。

例6已知f(x)=x3-2x十3的值域為[2,3],試說明該函數(shù)的定義域[0,a]所應(yīng)滿足的條件。

解例5時,不少學生錯誤地認為a=-2;正確解法是:由條件[2,+∞]應(yīng)該是定義域

的子集,由[2,+∞]∪[-a,+∞]可得a∈[-2,+∞]。

解例6時,不少學生錯誤地得定義域為[0,1]或[0,2]。

正確的答案為[0,2],其中1≤a≤2。

解例5時,由于受教材內(nèi)容的影響,教材中求定義域的大多數(shù)是自然型的,即使得式子有意義的x的取值范圍,致使學生誤認為給出的f(x)有意義的取值范圍便是定義域,事實上給出的f(x)有意義的x的集合,應(yīng)該是定義域的子集。

解例6反映出學生由值域?qū)С龆x域會感到束手無策,在函數(shù)教學中,正用概念、公式、得到了高度重視,但由于數(shù)學概念的定義項與被定義項之間往往存在著等價關(guān)系,忽視了知識的雙向性,重視了常規(guī)方法,不會異向思維,通過這兩例題的教學,有利于糾正這一思維傾向。

4 通過解抽象函數(shù)問題,培養(yǎng)學生思維的綜合性

創(chuàng)造性思維是一種綜合性思維。創(chuàng)造就是重新組合,日本人提出“綜合就是創(chuàng)造”?？赏ㄟ^解下面抽象函數(shù)問題來培養(yǎng)學生綜合思維能力。

例7是否存在函數(shù){(x),同時滿足下列三個條件:

①f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cosy(x,y∈R)

②f(0)=a(a為常數(shù))

③f()=b,(b為常數(shù))

解:條件①中x,y的任意性,隱含著x,y可以“換元”,又可以“賦值”,結(jié)合條件②和③,可構(gòu)造出函數(shù)方程組,求出函數(shù)表達式。

令x=0,y=t得:f(t)+f(-t)=2acost(1)

令x=+t,y=得:f(%i+t)+f(t)=0(2)

令x=,y+t得:f(%i+t)-+f(-t)=2bsint(3)

將(1)+(2)+(3)得:f(t)=acost+bsint故存在f(x)=acost+bsint符合題意。

函數(shù)思想、方法觀點,是中學數(shù)學思想方法兩個分支之一,在初等數(shù)學中,函數(shù)問題可用方程觀點去解決。反之,亦然。