時(shí) 凌,魏代俊,吳 勇(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)改革研究與探索

時(shí) 凌,魏代俊,吳 勇
(湖北民族學(xué)院 理學(xué)院,湖北 恩施 445000)

針對(duì)理工科學(xué)生概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)改革進(jìn)行了研究與探索。從重點(diǎn)教堂內(nèi)容、課程體系、培養(yǎng)創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力的教學(xué)模式以及課時(shí)分配等進(jìn)行了一系列探討。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì);隨機(jī)現(xiàn)象;教學(xué)改革

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是專(zhuān)門(mén)研究和探索客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,隨著現(xiàn)代技術(shù)的飛躍發(fā)展,不論是在自然科學(xué)領(lǐng)域還是在社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中,傳統(tǒng)的肯定性數(shù)學(xué)已經(jīng)不能合乎要求地解決所遇到的各類(lèi)理論問(wèn)題及應(yīng)用問(wèn)題,因而在這個(gè)過(guò)程中,隨機(jī)性數(shù)學(xué)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)得到了蓬勃發(fā)展。它不僅形成了結(jié)構(gòu)宏大的理論體系,而且在許多領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用,如金融、保險(xiǎn)、經(jīng)濟(jì)與企業(yè)管理、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、軍事、工程技術(shù)等,同時(shí)在許多新興學(xué)科與邊緣學(xué)科,如信息論、排隊(duì)論、對(duì)策論、人工智能等領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用。反過(guò)來(lái),這些領(lǐng)域中的許多新課題又促進(jìn)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步發(fā)展,從而使得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成為了近代數(shù)學(xué)中最活躍的分支之一[1,2]。

鑒于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的這些深刻的實(shí)際背景,這門(mén)處理隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系與數(shù)量規(guī)律性的課程越來(lái)越受到人們的重視,成為了大學(xué)數(shù)學(xué)里的一門(mén)十分重要的基礎(chǔ)課程。目前,研究生入學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)考試題中,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)所占比例達(dá)到20%-25%。因此學(xué)好和掌握好概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅是將來(lái)從事科學(xué)研究和實(shí)際工作的需要,更是高度發(fā)展的現(xiàn)代化社會(huì)對(duì)現(xiàn)代化人才提出的基本要

求[3,4]。

然而就我國(guó)目前的現(xiàn)狀而言,多數(shù)高等院校關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)都沒(méi)有跟上時(shí)代的要求和需要,本科教學(xué)仍停留在理論分析、問(wèn)題的抽象與求解。我們知道,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)不同于高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)等其他研究確定性的數(shù)學(xué)分支,由于學(xué)生在學(xué)習(xí)概率之前,在數(shù)學(xué)的先期課程中打下了非此即彼、非對(duì)即錯(cuò)的兩極思想模式,現(xiàn)在轉(zhuǎn)入研究隨機(jī)現(xiàn)象,需要用一種全新的思維方式思考問(wèn)題,這使得學(xué)生們感到很不習(xí)慣,抽象不易理解,從而無(wú)法在本質(zhì)上把握理論和概念。因此研究《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教學(xué)體系就被賦予了重要的意義[5]。

一、課時(shí)分配

理工科專(zhuān)業(yè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的課時(shí)分為48、56和64幾種,以概率論為主,而數(shù)理統(tǒng)計(jì)相對(duì)較少,48學(xué)時(shí)的只有4周時(shí)間,56學(xué)時(shí)的只有5周時(shí)間、64學(xué)時(shí)的有6周時(shí)間,主要內(nèi)容為:樣本及抽樣分布,參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)。課時(shí)分配為:1.5,1.5,1、1.5,1.5,2或者2,2,2。

二、教學(xué)方法

“滿(mǎn)堂灌”、“黑板+粉筆”“教師講,學(xué)生聽(tīng)”這種傳統(tǒng)的教學(xué)方法,不利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新意識(shí),從而導(dǎo)致學(xué)生缺乏思維方法的訓(xùn)練,思維能力不強(qiáng),創(chuàng)新意識(shí)較差。為了改變這種狀況,需要改變教學(xué)中的以教師為中心的教學(xué)結(jié)構(gòu),建立一種既能發(fā)揮教師的指導(dǎo)作用,又能充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性的新型教學(xué)模型。由于概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課在教學(xué)中所占的課時(shí)較少,但涉及的內(nèi)容較多,非常適合進(jìn)行教師與學(xué)生的互動(dòng)式教學(xué).同時(shí)可以充分利用現(xiàn)代的教學(xué)手段,使教學(xué)過(guò)程更加生動(dòng)、活潑。充分利用現(xiàn)代的教學(xué)手段,利用課件和講授相結(jié)合的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)。例如在講授χ2-分布、t-分布和F-分布時(shí),可以充分利用課件,介紹分析密度函數(shù)在不同參數(shù)情況下的變化趨勢(shì),從而加深學(xué)生對(duì)χ2-分布、t-分布和F-分布變化趨勢(shì)的認(rèn)識(shí),為講授假設(shè)檢驗(yàn)打好基礎(chǔ)。

三、重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容

如何在課時(shí)少內(nèi)容多的情況下,既能滿(mǎn)足考研學(xué)生對(duì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的基本要求,同時(shí)又能滿(mǎn)足一般學(xué)生掌握數(shù)理統(tǒng)計(jì)的需求呢?我們從以下幾個(gè)方面入手,著力數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn)教堂內(nèi)容的改革,收到了較好的效果。

1.講清一個(gè)基本框圖

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)基本而重要的概念:總體、樣本和樣本值之間的關(guān)系如圖1所示.圖1是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的圖形,貫穿于整個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)之中,反映了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本思想。由于總體數(shù)量相當(dāng)龐大或者對(duì)個(gè)體進(jìn)行試驗(yàn)具有破壞性(如水炮彈能否引發(fā)爆炸)或者費(fèi)時(shí)耗資大等原因,對(duì)總體的研究轉(zhuǎn)為對(duì)總體中的部分個(gè)體的研究,即從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行研究。為了充分體現(xiàn)總體的性質(zhì),對(duì)這部分個(gè)體要求具有獨(dú)立性和代表性,從而形成簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。為了數(shù)學(xué)角度來(lái)研究總體,進(jìn)而引入了樣本值。由樣本值的性質(zhì)推斷出總體的性質(zhì)。對(duì)于總體可以從兩個(gè)方面來(lái)理解[6,7]:

圖1 基本框圖

2.四大分布

數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的四大分布為:正態(tài)分布、χ2-分布、t-分布和F-分布,其中正態(tài)分布是最重要的分布,其基本內(nèi)容可以歸納如下:

(1)標(biāo)準(zhǔn)化

由于χ2-分布、t-分布和F-分布的密度函數(shù)一般都比較復(fù)雜,因此必須講清這幾個(gè)分布的構(gòu)成,分布函數(shù)的變化趨勢(shì)及其特殊性質(zhì)。

(3)一個(gè)基本定理

抽樣定理中一個(gè)必須掌握的基本定理是Fisher引理, Fisher引理是抽樣定理中最基本的一個(gè)定理,不僅應(yīng)用于單正態(tài)總體的情況,而且也可以應(yīng)用到兩個(gè)正態(tài)總體的情況.同時(shí)也是抽樣定理中其他定理的基礎(chǔ),其敘述如下:

假設(shè)ξ1,ξ2,……ξn是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本, ?ξ是樣本均值,?S是樣本方差,則有:

(4)參數(shù)估計(jì)有兩種方法

參數(shù)估計(jì)中常用的方法有矩估計(jì)法和極大似然法。

(ⅰ)矩估計(jì)是基于一種簡(jiǎn)單的“替換”思想建立起來(lái)的一種估計(jì)方法,即用樣本矩代替總體矩的一種估計(jì)方法。該方法從計(jì)算角度來(lái)說(shuō)方法簡(jiǎn)單,容易掌握;從理論上來(lái)看第一樣本矩p-收斂到總體矩;第二矩估計(jì)是無(wú)偏估計(jì);第三矩估計(jì)是相合估計(jì)。所以一般情況下應(yīng)先求統(tǒng)計(jì)量的矩估計(jì),如果求不出來(lái)再考慮應(yīng)用極大似然估計(jì)。但矩估計(jì)的缺點(diǎn)是沒(méi)有充分利用分布提供的信息。一般場(chǎng)合下,矩估計(jì)不唯一。

(ⅱ)極大似然估計(jì)的關(guān)鍵是似然函數(shù)的構(gòu)造。似然函數(shù)的實(shí)質(zhì)是樣本的聯(lián)合分布律或者聯(lián)合密度函數(shù),在講授的過(guò)程中必須講清楚這點(diǎn);其次是只對(duì)未知參數(shù)求導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù);最后需用實(shí)例說(shuō)明當(dāng)極大似然法行不能時(shí)可用極大似然原則來(lái)求是極大似然估計(jì)。

(5)估計(jì)的評(píng)價(jià)

估計(jì)量的評(píng)價(jià)有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn):無(wú)偏估計(jì)、最小方差無(wú)偏估計(jì)和相合估計(jì)。無(wú)偏估計(jì)的實(shí)質(zhì)是無(wú)系統(tǒng)偏差,但無(wú)偏估計(jì)有時(shí)不唯一,因此評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)中引入了最小方差無(wú)偏估計(jì)。在大樣本的情況下又引入了相合估計(jì)。相合估計(jì)是對(duì)估計(jì)量的一個(gè)基本要求,不具備相合性的估計(jì)量是不予以考慮的。

(6)帶概率意義的反證法

假設(shè)檢驗(yàn)的邏輯推理與高等數(shù)學(xué)是完全不一樣的,它的基本原理是小概率事件原理:小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不發(fā)生.但需要說(shuō)明的是:幾乎不發(fā)生不等于一定不發(fā)生。

一般的反證法要求在原假設(shè)成立的條件下導(dǎo)出的結(jié)論是絕對(duì)成立的,如果事實(shí)與之矛盾,則完全絕對(duì)地否定原假設(shè).但概率反證法的邏輯是:如果小概率事件在一次試驗(yàn)中居然發(fā)生,我們就有很大的把握否定原假設(shè).這樣的不同應(yīng)該在教學(xué)中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào),使學(xué)生明白如何理解和如何應(yīng)用.

(7)兩類(lèi)錯(cuò)誤

假設(shè)檢驗(yàn)是根據(jù)樣本的信息并依據(jù)小概率原理作出接受還是拒絕原假設(shè)的判斷。由于樣本具有隨機(jī)性,因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的,這種錯(cuò)誤有兩類(lèi),如表1所示:

表1 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤

犯第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤的概率是顯著性水平α,α=P,{拒絕Ho|Ho為真},犯第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤的概率記為β,β=P{接愛(ài)Ho|Ho不真}。

兩類(lèi)錯(cuò)誤之間的關(guān)系是此消彼長(zhǎng):當(dāng)α增大時(shí)β減小,當(dāng)β增大時(shí)α減小。我們要想同時(shí)減少犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率,只有通過(guò)增加樣本容量。但樣本容量的增加又會(huì)受許多因素的限制,所以人們想辦法對(duì)兩類(lèi)錯(cuò)誤加以控制,由于犯第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤的概率是可以由研究者控制的,因此在假設(shè)檢驗(yàn)中,人們往往先控制第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤的發(fā)生概率。當(dāng)樣本容量n一定時(shí),若減少犯第Ⅰ類(lèi)錯(cuò)誤的概率,則犯第Ⅱ類(lèi)錯(cuò)誤的概率往往增大。

當(dāng)然假設(shè)檢驗(yàn)的計(jì)算問(wèn)題可以通過(guò)實(shí)例進(jìn)行講解,也應(yīng)該引起重視?？傊?只要我們講清楚并使學(xué)生真正掌握了上述幾個(gè)問(wèn)題,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本方法、基本理論和基本概念也就掌握了。

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