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(華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,武漢 430074)

1 纜索三維流場(chǎng)理論模型

基于以下假設(shè)：纜索不可深伸長(zhǎng)；纜索只能承受拉力；不能承受彎矩及壓力；作用在纜索上的流體動(dòng)力可以分解成切線方向的分力和法線方向的分力。設(shè)u，v，w為纜索上任意點(diǎn)P上的直角坐標(biāo)單位矢量;u為P點(diǎn)處纜索方向。同樣設(shè)i，j和k為大地坐標(biāo)系；dsu為P點(diǎn)處的長(zhǎng)為無(wú)窮小的纜索元。φ為水平面與矢量u之間的夾角；φ為u在水平面的投影與矢量i的夾角，則

dx=dsu·i=dscosφcosφ

(1)

dy=dsu·j=dscosφsinφ

(2)

dz=dsu·k=dssinφ

(3)

設(shè)三維速度場(chǎng)(纜索相對(duì)于海水的速度)為V=Vxi+Vyj+Vzk，阻力的切向分力F和法向分力G、H的表達(dá)式就為

F=Fdsu=ρCdtπd(V·u)2dsu/2

(4)

G=Gdsv=ρCdnd(V·u)2dsv/2

(5)

H=Hdsw=ρCdnd(V·w)2dsw/2

(6)

式中：

V·u=Vxcosφcosφ+Vycosφsinφ+Vzsinφ

(7)

V·v=-Vxsinφ+Vycosφ

(8)

V·w=-Vxsinφcosφ-Vysinφsinφ+Vzcosφ

(9)

Cdt——纜索的切向阻力系數(shù),Cdt=γCdn;

其中：Cdn——纜索的法向阻力系數(shù)。

纜索元上的作用力之和為零，平衡條件為

-Tu+(T+dT)(u+du)+Fdsu+Gdsv+
Hdsw-kpdsk=0

(10)

忽略高階無(wú)窮小量，得

(dT+Fds)u+(Tcosφdφ+Gds)v+
(Tdφ+Hds)w-pdsk=0

(11)

在u方向上：

dT+Fds-psinφds=0

(12)

在v方向上：

Tcosφdφ+Gds=0

(13)

在w方向上：

Tdφ+Hds-Pdscosφ=0

(14)

綜上可得纜索的平衡微分方程：

(15)

2 求解方法

上述微分方程組顯然是一階常微分方程組，根據(jù)特定的邊界條件對(duì)這些方程積分，得到纜索的平衡方程和拉力沿纜索徑跡的穩(wěn)態(tài)分布。

本文采用變步長(zhǎng)四階五級(jí)龍格-庫(kù)塔-芬爾格(Runge-Kutta-Fehlberg)方法[1-3]來(lái)求解。針對(duì)拖曳纜索的初值問(wèn)題，即已知初始條件為

X0=[T0，φ0，φ0，x0,y0,z0]

將X0作為輸入條件沿著S=[0,S0]以一定步長(zhǎng)進(jìn)行迭代計(jì)算，其中S0為已知纜索總長(zhǎng)度或者已知工作深度，就可以得出終端參數(shù)為

X1=[T1，φ1，φ1，x1,y1,z1]

同時(shí)步長(zhǎng)點(diǎn)上的Xi也可以得出，這樣就可以得出整個(gè)拖曳纜索的形態(tài)。

3 GUI計(jì)算平臺(tái)

基于上述理論模型，利用Matlab圖形用戶界面功能，簡(jiǎn)稱為GUI(graphic user interface)，編制計(jì)算平臺(tái)。

程序核心部分采用變步長(zhǎng)四階五級(jí)龍格-庫(kù)塔-芬爾格方法，利用ODE模塊編寫(xiě)計(jì)算模塊，同時(shí)利用GUI的I/O交互功能，對(duì)于纜索的一般初值問(wèn)題，輸入初始參數(shù)即可求解。

平臺(tái)有文本框輸入初始參數(shù)，并顯示輸出結(jié)果，根據(jù)計(jì)算結(jié)果在圖像窗口自動(dòng)繪制纜索三維形態(tài)。同時(shí)，實(shí)際工程中主要是已知繩長(zhǎng)求深度和已知深度求繩長(zhǎng)兩種問(wèn)題，故平臺(tái)設(shè)置了工況選擇菜單，可以根據(jù)實(shí)際需要選擇不同工況求解。

4 實(shí)例

某拖曳器參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 實(shí)例參數(shù)

4.1 無(wú)海流情況

如圖1，調(diào)用GUI界面進(jìn)行計(jì)算，選擇“已知繩長(zhǎng)求深度”工況，輸入初始參數(shù)，計(jì)算結(jié)果：纜索放出800 m時(shí)，潛水器的深度為304.7 m，此結(jié)果與原文獻(xiàn)結(jié)果十分接近。

4.2 有海流情況

有海流的情況，實(shí)質(zhì)上是纜索相對(duì)于海水的速度矢量V=Vxi+Vyj+Vzk發(fā)生了變化，故求解方法與無(wú)海流情況無(wú)異。

對(duì)于有海流的情況，定義θ為海流速度矢量與拖曳速度矢量的夾角。當(dāng)海流速度大小一定時(shí)，定性分析，θ從0～180°的變化過(guò)程中，海流阻礙拖曳的速度分量逐漸變大，那么必然使得拖曳纜索的深度逐漸變小。

圖1 GUI計(jì)算界面

假設(shè)存在與拖曳方向不一致的海流，其流速為0.5 kn；并且假定拖曳器受的阻力和凈浮力不變。當(dāng)夾角為0、30、60、90、120、150及180°時(shí)，調(diào)用GUI界面進(jìn)行計(jì)算，可以得出各角度下的纜索空間形態(tài)空間分布，見(jiàn)圖2，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

圖2 不同海流夾角下纜索空間分布

表2 纜索深度隨海流夾角變化值

可以看出，在同一纜長(zhǎng)和假定拖曳器受的阻力和凈浮力不變時(shí)，海流的存在對(duì)模型計(jì)算的影響是存在的，當(dāng)海流速度為定值時(shí)，隨著夾角θ增大，纜索深度變小，也即意味著，在同一深度時(shí)，隨著夾角增大，所需纜長(zhǎng)將增加。這與上述定性分析相吻合。

同時(shí)，可以對(duì)比θ與(180°-θ)的情況，事實(shí)上，這兩種情況，海流速度在拖曳方向的法向分量大小相同，故纜索的空間形態(tài)應(yīng)在同一空間平面(曲面)內(nèi)，只是由于在拖曳方向的分量方向相反，造成纜索的深度不同。

在不同角度下，纜索終端的拉力T也不同，故工程實(shí)際中可以根據(jù)計(jì)算結(jié)果選擇合適的拖曳方向，以在不影響拖曳目標(biāo)的情況下實(shí)現(xiàn)拉力最小，從而達(dá)到節(jié)能目的。

4.3 考慮軸向變形的情況

上述理論模型假設(shè)纜索在拉力的作用下不存在軸向變形，下面進(jìn)一步探討纜索在拉力的作用下伸長(zhǎng)，存在軸向變形的情況

ds′=ds(1+ε)

(16)

(17)

(18)

式中：ε——應(yīng)變；

ds′——拉伸后的微元長(zhǎng)；

ds——拉伸前的微元長(zhǎng)；

A——拉伸后纜索的橫截面；

d0——拉伸前纜索微元段的直徑；

d1——拉伸后纜索微元段的直徑；

E——材料的彈性模量。

根據(jù)式(16)～(18)，可推導(dǎo)出應(yīng)變?chǔ)诺谋磉_(dá)式為

(19)

于是考慮彈性后的纜索三維模型微分方程組為

(20)

根據(jù)上述方程組，對(duì)上例平臺(tái)中的方程組做出相應(yīng)修改，調(diào)用GUI界面計(jì)算，對(duì)于銅制(或黃銅，青銅)纜芯，E=70～130 GPa，此例取為70 GPa，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖3。

圖3 考慮彈性影響下的纜索曲線

可以看出，考慮彈性和不考慮彈性的情況下，兩條曲線的吻合程度非常好，這是由于對(duì)于纜芯為銅制的纜索，彈性模量E一般較大，故應(yīng)變就很小，所以對(duì)于常用纜索材料，彈性對(duì)于纜索形態(tài)的影響可以忽略不計(jì)。

[1] RECKTENWALD G.數(shù)值分析和MATLAB實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用[M].伍衛(wèi)國(guó),萬(wàn) 群,張 輝,等.譯.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[2] 薛定宇.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題的Matlab求解[M].北京：清華大學(xué)出版社,2008.

[3] 張圣君.浮標(biāo)拖曳纜索形狀及其力學(xué)計(jì)算[D].武漢：華中科技大學(xué)，2003.