一道八校聯(lián)考解析幾何題的推廣

☉湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書(shū)

湖北省八校2012屆高三第一次聯(lián)考理科第20題如下：

（1）設(shè)F為右焦點(diǎn)，直線l的斜率為1，求l′的方程；

證明：設(shè)直線AB的方程為x=my+c，將其代入雙曲線方程并整理得：

則Δ=4m2c2b4-4b4（b2m2-a2）=4a2b4（1+m2）.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1、y2是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系，得

同理可證橢圓也有同樣定值.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則y1、y2是方程的兩個(gè)根，由根與系數(shù)關(guān)系，得y1+y2=2pm.

綜合歸納上述三個(gè)性質(zhì)可得與圓錐曲線焦點(diǎn)弦及其中垂線相關(guān)的一個(gè)優(yōu)美定值如下：