●謝建偉 (舟山中學 浙江舟山 316000)

試探三維情境 截獲解題希望

●謝建偉 (舟山中學 浙江舟山 316000)

以下這個題目曾被編入一些參考書籍，流傳甚廣，其實是一個錯題．

1 試探問題情境

1．1 數(shù)值鋪墊

例1函數(shù)y=ln(2x+2－x+m)的值域是R，求實數(shù)m的取值范圍．

解值域是R的充要條件是真數(shù)2x+2－x+m能夠取遍全體正數(shù)．現(xiàn)給m賦值，如取m=7，則

此時 y≥ln9，值域非 R．可見，2x+2－x+m=0，即 m= －(2x+2－x)應當有解．因為2x+2－x≥2，所以 m≤ －2．

點評直接去求m的取值范圍，很可能出現(xiàn)值域為R與定義域為R的混亂．

1．2 圖表引導

例2將正整數(shù)n寫成二進制數(shù)時，記其中數(shù)字0的個數(shù)為I(n)．

表1 對應表

2 試探模型情境

2．1 簡化模型

例3設A(1，1)，B(3，3)，試在x軸上求點P，使∠APB最大?解法1代數(shù)法．設 P(x，0)，x∈R，則

解法2幾何法．如圖1，過點A，B作圓O1且與x軸相切于點P，任取x正半軸上點P'，聯(lián)結(jié)P'A，P'B．由圓的性質(zhì)知∠APB≥∠AP'B．因為過A，B且與x軸相切的圓有2個，分別為圓O1，O2，切點P，P1(如圖2)，作點P1關(guān)于直線AB的對稱點P1'，可得∠AP1B=∠AP1'B≤∠APB．由切割線定理得到|OP|=．

點評 模型只有在測試、比較中達到簡化和完善．

2．2 還原模型

圖1

圖2

3 試探難度情境

3．1 分散難點

例4記數(shù)列 a1，a2，…，an為 A，ai∈{0，1}，i=1，2，…，n．定義變換 f:將 A 中的 1 變?yōu)?1，0;A 中的 0變?yōu)?，1．設 A1=f(A)，Ak+1=f(Ak)，k∈N*，例如，當 A 為 0，1 時，A1=f(A)為 0，1，1，0．現(xiàn)設 A 為 1，0，1，記Ak中相鄰2項都是0的數(shù)對個數(shù)為bk，求Ak的項數(shù)及bk關(guān)于k的表達式．

解分成3步來解．

第1步，讀?。瓵有3項，因為(不論是0或1)每一次變換均將其中的項數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則可知Ak的項數(shù)為3·2k．

第 2 步，初得．A 為 1，0，1;A1為 1，0，0，1，1，0，b1=1;A2為 1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，b2=2;A3為 1，0，0，1，0，1，1，0，0，1，1，0，1，0，0，1，1，0，0，1，0，1，1，0，b3=4;…

猜想:bk=2k－1．

答案已經(jīng)有了．但這僅僅是一個猜想，離問題真正解決還有一段距離!

第3步，至理．不難發(fā)現(xiàn):

(1)只有前一組數(shù)中的數(shù)對1，0才能生成后一組數(shù)中的數(shù)對0，0，即Ak中數(shù)對1，0變成Ak+1中的1，0，0，1;

(2)Ak中數(shù)對1，0的個數(shù)即為bk+1;

(3)Ak中數(shù)對1，0的個數(shù)是由Ak－1中1的個數(shù)與數(shù)對0，0的個數(shù)之和，因為Ak－1(k≥2)中1的個數(shù)等于其項數(shù)的一半，即為 3·2k－2，又 Ak－1中數(shù)對 0，0 的個數(shù)為 bk－1，所以

(4)用數(shù)學歸納法證明猜想如下:

①當n=1，2時，猜想顯然成立;

②假設猜想對于 n=k －1，k(k≥2)均成立，即 bk－1=2k－2，bk=2k－1，則

即當n=k+1時，猜想也成立．

綜上所述，bk=2k－1．

點評運用分步解決和分類討論的方法將難點作分散處理．

3．2 拿下關(guān)鍵

點評引理即為二維形式的琴生不等式．本題還有其他證法，但二階導數(shù)保號性(函數(shù)圖像的凹凸性)是解題的關(guān)鍵，抓住了關(guān)鍵，問題難點迎刃而解．

總之，通過試探三維情境，從而截獲解題希望的實例很多，本文不再贅述．