斜拉橋成橋索力優(yōu)化理論及方法的最新進展

田 源 楊海霞

（河海大學力學與材料學院，南京 210098）

斜拉橋是將斜拉索兩端分別錨固在塔和梁或其他載體上，形成塔、梁、索共同承載的結構體系［1］.從1956年第一座斜拉橋－瑞典的Stromsund橋建成以來［2］，至今全世界已建成400多座斜拉橋，其中中國有100多座.近年來，斜拉橋因跨徑大、造型美成為橋梁工程中最具競爭力橋梁之一.其中，斜拉索被稱作是斜拉橋的生命線，可以通過調(diào)整索力來改善主梁和塔的受力，從而達到結構受力、斜拉橋索力、線形等與設計理想狀態(tài)基本吻合的合理成橋狀態(tài)［3］.要達到斜拉橋的合理成橋狀態(tài)，首要問題是確定其成橋索力.目前，國內(nèi)外學者就成橋索力優(yōu)化問題，提出了多種切實可行的優(yōu)化方法.

1 成橋索力優(yōu)化理論

從Schmit用數(shù)學規(guī)劃方法解決結構優(yōu)化設計算起，結構優(yōu)化設計作為一門獨立的學科出現(xiàn)有40多年的歷史［4］.優(yōu)化設計概括起來主要包括兩方面內(nèi)容：一是將設計問題的物理模型轉化為數(shù)學模型，二是采用適當?shù)膬?yōu)化方法解答數(shù)學模型.雖然結構優(yōu)化設計在橋梁工程中起步較晚，但近些年，隨著計算機技術的高速發(fā)展，許多行之有效的橋梁結構優(yōu)化方法也相繼出現(xiàn).其中，對于高次超靜定結構的斜拉橋，其索力的改變對結構內(nèi)力影響明顯，合理成橋狀態(tài)索力的研究成為斜拉橋設計的重點［5］.

斜拉橋索力優(yōu)化的概念可以通過索梁一次超靜定結構［6］加以說明，索梁結構如圖1所示.

主梁彎矩方程

式中，F(xiàn)N為拉索索力，q為主梁自重集度，l為梁跨徑.如果拉索不張拉，考慮變形協(xié)調(diào)條件

圖1 索梁一次超靜定結構

得到索力

圖2 索力優(yōu)化前主梁彎矩圖

為了優(yōu)化主梁受力，可選取主梁彎矩平方和為目標函數(shù)

將式（3）和式（4）代入式（5），得到該目標函數(shù)，取駐值即f＝0時的索力

圖3 索力優(yōu)化后主梁彎矩圖

斜拉橋索力優(yōu)化根據(jù)研究內(nèi)容的不同可分為成橋索力優(yōu)化和施工索力優(yōu)化兩類［7］.本文只針對合理成橋狀態(tài)索力優(yōu)化方法進行總結和比較.從是否考慮其斜拉橋幾何非線性影響的角度，可將成橋索力確定方法分為兩大類.其中，忽略幾何非線性影響的優(yōu)化方法包括指定受力狀態(tài)法中的剛性支承連續(xù)梁法［8］、零位移法［8］和應力平衡法［9］等，無約束索力優(yōu)化法中的彎矩平方和最小法［10］和彎曲能量最小法［11］等，有約束索力優(yōu)化法中的用索量最小法［12］等，還有較綜合的方法如影響矩陣法［13］.考慮幾何非線性影響的優(yōu)化方法有凝聚函數(shù)法［14］、一階分析法［15］、序列二次規(guī)劃法［16］等.

2 忽略幾何非線性影響的成橋索力優(yōu)化方法

斜拉橋成橋索力最先的確定方法都是從中小跨徑斜拉橋開始的，從最初的剛性支承連續(xù)梁法到較為完備的影響矩陣方法，國內(nèi)外學者提出了多種成橋索力優(yōu)化方法.

2.1 剛性支承連續(xù)梁法

剛性支承連續(xù)梁法是由德國著名橋梁專家F.Leonhardit提出，其基本原理是讓斜拉橋主梁的成橋恒載內(nèi)力狀態(tài)達到剛性支承連續(xù)梁的受力狀態(tài)［17］.具體計算思路：將斜拉橋提供的彈性豎向支承視為剛性豎向支承，以斜拉橋主梁在恒載作用下彎矩呈剛性支承連續(xù)梁狀態(tài)為優(yōu)化目標，求出各支點反力，再利用斜拉橋豎向分力與剛性支點反力相等得優(yōu)化索力.因力學原理簡單、目標函數(shù)只涉及主梁，剛性支承連續(xù)梁法是最早使用的、最直觀的合理成橋狀態(tài)分析方法.又因成橋狀態(tài)接近“穩(wěn)定張拉力”，可減小混凝土徐變對成橋內(nèi)力的影響，但未顧及索和塔的內(nèi)力和位移狀態(tài)，得出的索力可能過于不均勻，對主跨與邊跨不平衡結構［18］、密索體系等會得出不夠合理的恒載索力狀態(tài).

在剛性支承連續(xù)梁法的基礎上，人們提出了其他指定受力狀態(tài)或位移狀態(tài)的優(yōu)化方法［19］.如零位移法，以結構在恒載作用下索梁交接處位移為零為目標函數(shù).此方法對于支架一次落架的斜拉橋，因考慮索的水平分力的影響，能得到比剛性支承連續(xù)梁法更合理的結果.然而，就懸拼與現(xiàn)澆結構而言，零位移法無意義.對于不對稱結構因很難考慮索塔的彎矩，零位移法并不是行之有效的方法［20］.后來提出的內(nèi)力平衡法［21］，因綜合考慮了恒載和活載的共同作用，受力狀態(tài)更合理，解決了主梁彎矩局部不合理問題，但仍會產(chǎn)生索力不均勻問題.

2.2 彎曲能量最小法

無約束索力優(yōu)化方法中最常用的是最小彎曲能量法［22］.其計算原理是通過取斜拉橋塔、墩和主梁的彎曲應變能最小為設計目標函數(shù)來求得恒載下的合理成橋索力值［23］.在具體應用時，讓索塔梁的軸向剛度取最大，梁和塔的的彎曲剛度不變，把全部荷載加在結構上，所得內(nèi)力狀態(tài)即為所求.該法綜合考慮了主梁、塔、墩的受力狀態(tài)，使整個斜拉橋內(nèi)力在最大程度上均勻分布，所以求出的結果彎矩較小，索力也較均勻，但部分邊索可能索力過小.此外，彎矩能量最小法只可考慮恒載作用，無法將活載和預應力影響考慮在內(nèi)，需與其他索力優(yōu)化方法結合才能得到更精確的索力優(yōu)化結果.與最小彎曲能量法原理一致的是彎矩平方和最小法，其目標函數(shù)取結構（梁、塔、墩）彎矩平方和.彎曲能量最小法與彎矩平方和最小法相比，前者可以反映抗彎剛度對彎矩的權效應.

2.3 用索量最小法

用索量最小法是有約束索力優(yōu)化方法中的一種，以斜拉橋的拉索用量（張拉力×索長）為性能指標函數(shù)，以主要截面內(nèi)力、位移限制為約束條件來優(yōu)化索力.由于該法的目標函數(shù)是斜拉橋受力的次要目標，所以對約束條件的要求相對較高.此法可考慮恒活載的共同作用，但僅以拉索量為目標函數(shù)不盡合理，合理約束方程的確定需考慮多方面因素.

有約束索力優(yōu)化方法還包括最大偏差最小法［24］，一種以可行域中參量與期望值偏差為目標函數(shù)，如以斜拉橋梁和塔的最大應力最小為目標對索力進行優(yōu)化.這種目標函數(shù)下得到的梁和塔應力分布均勻且最小，又因該法針對應力，結果比較直觀，但目標函數(shù)不能顯式表達，對優(yōu)化方法有一定要求.

2.4 影響矩陣法

影響矩陣法綜合了指定受力狀態(tài)優(yōu)化法、無約束優(yōu)化法和有約束優(yōu)化法3類優(yōu)化方法，是較為完備的索力優(yōu)化理論［25］.該法取斜拉橋關心截面的內(nèi)力、應力、位移為受調(diào)向量｛D｝，斜拉索索力為施調(diào)向量｛X｝，通過影響矩陣［C］建立受調(diào)向量與施調(diào)向量的關系，將索力優(yōu)化問題轉化為線性代數(shù)方程

同濟大學的肖汝誠給出了整個結構彎曲能量最小時最優(yōu)索力與彎曲影響矩陣的關系［13］，并指出方程中各個變量在不同情況下的意義，同時導出恒、活載共同作用下的索力優(yōu)化情形［26］.因為影響矩陣法計入了各種因素的影響，不以單一目標來表示，所以優(yōu)化結果更加合理.但是僅僅采用影響矩陣法，難以綜合考慮恒活載共同作用下梁、塔和索受力要求的受調(diào)向量.

3 計入幾何非線性影響的成橋索力優(yōu)化方法

隨著蘇通大橋以及香港Stonecutters大橋的建設，斜拉橋的跨徑記錄突破了1 000m.隨著斜拉橋的跨度不斷增大，其成橋索力優(yōu)化設計有必要考慮其幾何非線性的影響［27］.究竟多大跨徑的斜拉橋才需考慮幾何非線性，沒有明確的界定，一般根據(jù)橋梁結構的整體剛度而定，對于整體剛度較柔的鋼斜拉橋和結合梁斜拉橋跨徑較大時需考慮幾何非線性.就混凝土斜拉橋而言，跨徑大于200m或剛度較柔時應計入非線性影響［8］.由于大位移、梁柱效應、斜拉索垂度等非線性因素［28］的影響，其目標函數(shù)和約束條件很難用索力的顯式形式表達，屬于非線性規(guī)劃范疇.此時，可采用的索力優(yōu)化方法有凝聚函數(shù)法、一階分析法、序列二次規(guī)劃法等.

3.1 凝聚函數(shù)法

凝聚函數(shù)法是一種求解非線性極大極小值的有效方法［29］.Templeman［30］、李興斯等學者利用最大熵［31］原理，通過加權求和法導出一個可微函數(shù)，即為凝聚函數(shù).相關文獻也分別對凝聚函數(shù)法進行收斂性分析［32］及穩(wěn)定性分析［33］.將此算法借用于斜拉橋索力優(yōu)化中時，以不變形預張力［24］為基礎，將斜拉橋合理成橋狀態(tài)索力確定問題歸結于一個多目標、多約束的非線性規(guī)劃問題，再借用改進的基于熵原理凝聚函數(shù)法將多個目標、多個約束分別等價成一個光滑可微的目標和約束函數(shù).

在此基礎上，采用乘子懲罰函數(shù)法［4］進行求解，將有約束優(yōu)化問題轉化為無約束優(yōu)化問題，再采用變尺度法［4］進行求解.凝聚函數(shù)法避免了傳統(tǒng)方法求解規(guī)模大，收斂速度慢的缺點，但需結合其他優(yōu)化算法如乘子懲罰函數(shù)法、變尺度法等，計算步驟比較復雜.

3.2 一階分析法

在優(yōu)化過程中，需使用目標函數(shù)對設計變量的偏導數(shù)因而稱為一階分析法［35］.其基本原理是以斜拉橋主梁和索塔的彎曲應變能為目標函數(shù)，以各斜拉索的索力為設計變量，結構應力和索力約束條件為狀態(tài)變量，形成有約束的非線性規(guī)劃問題.也可通過目標函數(shù)添加罰函數(shù)，將有約束問題轉化為無約束問題.該算法在每次迭代中，需選擇合適的搜索方向以及找到沿搜索方向合適的步長.搜索方向可由最速下降法或共軛方向法［4］確定，步長可通過黃金分割法［4］和最小二乘法［36］來確定.因為一階分析法是基于目標函數(shù)對設計變量的敏感程度，所以更能得到精確的優(yōu)化分析結果.該法適用于因變量很大，設計空間也相對較大，在大型有限元計算軟件ANSYS中有較好的運用［37］.但該法在每次迭代過程中還有子迭代，如搜索方法以及梯度計算，使得一次優(yōu)化迭代有多次分析循環(huán)，導致計算速度稍慢.

3.3 序列二次規(guī)劃法

序列二次規(guī)劃法是20世紀80～90年代發(fā)展起來的一種全局收斂且快速收斂的優(yōu)化方法，該法是把非線性規(guī)劃化為一系列二次規(guī)劃來求解［4］.近幾年，簡金寶又提出了適當條件下超線性和二次收斂的強次可行序列二次規(guī)劃法［38］.該法通過建立索力優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型，以斜拉橋主梁和索塔的彎曲應變能為目標函數(shù)，以各斜拉索的索力為設計變量，結構的應力和索力為約束條件，采用強次可行序列二次規(guī)劃法進行優(yōu)化求解，確定斜拉橋合理成橋狀態(tài)的索力.強次可行序列二次規(guī)劃法計算量小，具有全局收斂性、強收斂性、超線性、二次收斂性的優(yōu)點.并且該算法的初始點可任取，無需使用某種函數(shù)作線性搜索，這樣需要的計算次數(shù)有限，同時可考慮結構的非線性影響，可計入斜拉橋調(diào)索過程中對索力、應力、彎矩等不同性態(tài)的約束，適用于多單元、多工況、多設計變量斜拉橋合理成橋狀態(tài)確定問題.當然，序列二次規(guī)劃法對算法設計、程序編制要求很高.

4 多種成橋索力優(yōu)化方法比較

從斜拉橋這種橋型出現(xiàn)起，成橋索力優(yōu)化方法的確定一直是國內(nèi)外學者反復研究的課題.到現(xiàn)在為止，已出現(xiàn)了多種方法.方法的多樣性，一方面說明了人們對斜拉橋的認識比較深刻，比較全面；另一方面也說明了每一種方法都有其適用范圍，還沒能找到解決斜拉橋成橋索力優(yōu)化問題的一種統(tǒng)一方法.現(xiàn)對合理成橋索力優(yōu)化問題的相關分析方法進行優(yōu)缺點、適用情況總結，結果見表1.

表1 合理成橋狀態(tài)索力優(yōu)化方法比較分析

由表1可見，對于不需考慮幾何非線性影響的斜拉橋結構，可采用剛性支承連續(xù)梁法、彎曲能量最小法及影響矩陣法等.當斜拉橋活載內(nèi)力占截面總內(nèi)力15%～25%時［39］，需同時考慮活載作用，此時可采用內(nèi)力平衡法、用索量最小法等.對于邊跨與主跨不對稱結構不宜采用零位移法.當設計對象為大跨度斜拉橋時，幾何非線性作用明顯，則需采用凝聚函數(shù)法、一階分析法及序列二次規(guī)劃法等.

5 成橋索力優(yōu)化方法的發(fā)展方向

確定斜拉橋合理成橋狀態(tài)索力的方法多種多樣，就每一種方法而言，總存在一些不足，如彎曲能量法只能計算恒載作用下的，影響矩陣法只能采用線性疊加等.因此，各種綜合方法也不斷出現(xiàn).唐密、左德中［40］采用最小彎曲能量法初定成橋狀態(tài)，再用力平衡法確定主梁的彎矩可行域，使指定受力狀態(tài)法與無約束優(yōu)化方法得到很好的結合.楊?。?9］將主梁視作剛性支承連續(xù)梁，并引入索力對主梁彎矩的影響矩陣，將影響矩陣法做了一定改進.張文獻等［41］增加主梁合理彎矩可行域的約束條件，以彎曲能量最小法計算，在假定主梁彎矩基本不變的前提下，用影響矩陣法調(diào)勻，有效地將3種優(yōu)化方法綜合，避免了各種單一方法的缺點，利用了各自的優(yōu)點.謝支鋼、趙擁軍［42］先根據(jù)零位移法初定索力，再考慮恒活載的共同作用的應力平衡法確定主梁彎矩的合理恒載可行域.當然也有一些新穎方便的優(yōu)化方法出現(xiàn).吳軼雄［43］借用了拱橋設計的假載法，取準永久活載值的某系數(shù)值作為假載作用于結構，一般取車輛荷載滿布且均布于全橋，以恒荷載和假載共同作用下的梁彎曲應變能最小為優(yōu)化目標.郭鐘群等［6］采用了可行域法對斜拉橋索力進行調(diào)整并用Matlab進行編程計算.陳素君等［44］提出在索力常規(guī)迭代法的基礎上，從迭代初值的選取和迭代加速的超松弛法兩方面加速迭代的初始平衡構型確定法.李文［45］將虛擬溫度迭代法引入斜拉橋空間模型中，并考慮幾何非線性的影響進行調(diào)索計算.

綜上所述，根據(jù)斜拉橋的跨徑、結構形式、設計要求、計算精度要求等的不同，已經(jīng)形成了多種斜拉橋成橋索力優(yōu)化實用方法.指定受力或位移狀態(tài)的索力優(yōu)化法中的內(nèi)力平衡法最適合應用于上下對稱截面的結構中，充分發(fā)揮材料的性能，還可考慮恒活載的共同作用；無約束優(yōu)化方法中的彎曲能量最小法可以很好地解決不需要考慮活載作用的斜拉橋索力優(yōu)化問題，求得的彎矩較小，索力較均勻；有約束優(yōu)化方法中的用索量最小法適用于恒活載作用下梁和塔的內(nèi)力和位移較易表達的情況；影響矩陣法可應用于幾何非線性影響不明顯的斜拉橋索力優(yōu)化問題中，計入各種因素影響，不以單一目標表示；凝聚函數(shù)法、一階分析法及序列二次規(guī)劃法，可應用于幾何非線性明顯的大跨度斜拉橋成橋索力優(yōu)化中，能適應大設計空間計算.其中，一階分析法還在大型有限元軟件ANSYS中有所體現(xiàn)［46］，凝聚函數(shù)法及序列二次規(guī)劃法可借助相關軟件進行編程計算.對于具體的斜拉橋成橋索力，可以選擇合適的解決方案，必要時還可將上述方法適當結合，采用綜合法.也可考慮假載法、虛擬溫度迭代法等較易實現(xiàn)的方法.

雖然現(xiàn)已具有多種斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法，但還未找到一種能考慮多種因素、有較大適用范圍的統(tǒng)一方法.今后的研究工作主要有兩方面：其一，在滿足斜拉橋索力均勻分布、主梁彎矩控制在可行域內(nèi)、主塔彎矩不能太大、適當考慮活載等設計準則的基礎上，能找到斜拉橋設計中所關心的更有效的可調(diào)目標.其二，隨著斜拉橋跨徑的增大，其幾何非線性也影響著調(diào)索結果，需結合大型商業(yè)軟件ANSYS、MIDAS等對計算模型進行更精確的模擬以及采用編程軟件Matlab、FORTRAN等編寫更有效的優(yōu)化算法.

6 結 語

本文從是否計入幾何非線性影響兩方面介紹了斜拉橋成橋索力優(yōu)化采用的基本方法，并對各種方法的優(yōu)缺點及適用情況進行了較為系統(tǒng)的評論，總結了一些綜合索力優(yōu)化方法及特殊優(yōu)化方法.隨著計算機技術的不斷發(fā)展、結構優(yōu)化設計理論的研究不斷深入以及斜拉橋成橋索力優(yōu)化方法的不斷探索，會形成計算精度更高、計算速度更快、運用范圍更廣的合理成橋狀態(tài)優(yōu)化方法，從而進一步滿足斜拉橋設計要求及工程實際需要，達到橋梁設計安全、經(jīng)濟、美觀的目標.

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