蔣邕平 呂德清

摘 要：數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，其內(nèi)涵十分豐富。隨著數(shù)學(xué)文化研究的深入，數(shù)學(xué)文化也走進(jìn)中小學(xué)課堂，滲入到實(shí)際數(shù)學(xué)中。我們要努力使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中真正受到文化感染，產(chǎn)生文化共鳴，體會(huì)數(shù)學(xué)的文化品位。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；文化素養(yǎng)

一、數(shù)學(xué)文化的定義

從狹義上講，數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它的形成和發(fā)展；從廣義上說(shuō)，除上述內(nèi)涵以外，數(shù)學(xué)文化還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會(huì)的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系，等等。

二、數(shù)學(xué)文化的存在價(jià)值

在高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，數(shù)學(xué)文化是一個(gè)單獨(dú)的板塊，其重要性不言而喻。20世紀(jì)初的數(shù)學(xué)曾經(jīng)存在著脫離社會(huì)文化的孤立主義傾向，并一直影響到今天的中國(guó)。數(shù)學(xué)的過(guò)度形式化，使人錯(cuò)誤地認(rèn)為數(shù)學(xué)只是少數(shù)學(xué)天才腦子里想象出來(lái)的“自由創(chuàng)造物”，數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)須社會(huì)的推動(dòng)，其真理無(wú)須實(shí)踐的檢驗(yàn)，當(dāng)然，數(shù)學(xué)的進(jìn)步也無(wú)須人類(lèi)文化的哺育。于是，西方的數(shù)學(xué)界有“經(jīng)驗(yàn)主義的復(fù)興”。懷特（White）的數(shù)學(xué)文化論力圖把數(shù)學(xué)回歸到文化層面?？巳R因（Kline）的《古今數(shù)學(xué)思想》《西方文化中的數(shù)學(xué)》《數(shù)學(xué)：確定性的喪失》相繼問(wèn)世，力圖營(yíng)造數(shù)學(xué)文化的人文色彩。

國(guó)內(nèi)最早注意數(shù)學(xué)文化的學(xué)者是北京大學(xué)的教授孫小禮，她和鄧東皋等合編的《數(shù)學(xué)與文化》匯集了一些數(shù)學(xué)名家的有關(guān)論述，也記錄了從自然辯證法研究的角度對(duì)數(shù)學(xué)文化的思考。稍后出版的有齊民友的《數(shù)學(xué)與文化》，主要從數(shù)學(xué)非歐幾何產(chǎn)生的歷史闡述數(shù)學(xué)的文化價(jià)值，特別指出了思維的文化意義。鄭信等出版的專(zhuān)著《數(shù)學(xué)文化學(xué)》，特點(diǎn)是用社會(huì)建構(gòu)主義的哲學(xué)觀，強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)共同體”產(chǎn)生的文體效應(yīng)。

以上的著作以及許多的論文，都力圖把數(shù)學(xué)從單純的邏輯演繹推理的圈子中解放出來(lái)，重點(diǎn)是分析數(shù)學(xué)文明史，充分揭示數(shù)學(xué)的文化內(nèi)涵，肯定數(shù)學(xué)作為文化存在的價(jià)值。

三、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)文化的民族性和世界性

每個(gè)民族都有自已的文化，也就一定有屬于這個(gè)文化的數(shù)學(xué)。古希臘的數(shù)學(xué)和中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)都有輝煌的成就和優(yōu)秀的傳統(tǒng)。但是，它們之間有著明顯的差異。

古希臘是奴隸制國(guó)家。當(dāng)時(shí)希臘的雅典城邦實(shí)行奴隸主的民主政治。男性奴隸主的全體大會(huì)選舉執(zhí)政官，對(duì)一些戰(zhàn)爭(zhēng)、財(cái)政大事實(shí)行民主表決。奴隸主之間講民主，往往需要用理由說(shuō)服對(duì)方，使學(xué)術(shù)上的辯證風(fēng)氣濃厚。為了證明自已堅(jiān)持的是真理，先設(shè)一些人人皆同意的“公理”，規(guī)定一些名詞的意義，然后把要陳述的命題，稱(chēng)為公理的邏輯推論。歐氏的《幾何原本》正是在這樣的背景下產(chǎn)生的。

中國(guó)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期也有百家爭(zhēng)鳴的學(xué)術(shù)風(fēng)氣，但是沒(méi)有實(shí)行古希臘統(tǒng)治者之間的民主政治，而是實(shí)行君王統(tǒng)治制度。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，也是知識(shí)分子自由表達(dá)見(jiàn)解的黃金年代。當(dāng)時(shí)的思想家和數(shù)學(xué)家，主要目標(biāo)是幫助君王統(tǒng)治臣民、管理國(guó)家。因此，中國(guó)的古代數(shù)學(xué)，多半以“管理數(shù)學(xué)”的形式出現(xiàn)，目的是為了丈量田畝、興修水利、分配勞力、計(jì)算稅收、運(yùn)輸糧食等國(guó)家管理的實(shí)用目標(biāo)，理性探討在這里退居其次。因此，從文化意義上看，中國(guó)數(shù)學(xué)可以說(shuō)是“管理數(shù)學(xué)”和“木匠數(shù)學(xué)”，存在的形式則是官方的文書(shū)。

古希臘的文化時(shí)尚是追求精神上的享受，以獲得對(duì)大自然的理解為最高目標(biāo)。因此，“對(duì)頂角相等”這樣的命題，在《幾何原本》里列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。在中國(guó)的數(shù)學(xué)文化里，不可能給這樣的直觀命題留下位置。

同樣，中國(guó)數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)實(shí)用的管理數(shù)學(xué)，卻在算法上得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。負(fù)數(shù)的運(yùn)用、解方程的開(kāi)根法以及楊輝（賈憲）三角、祖沖之的圓周率計(jì)算、天元術(shù)那樣的精致計(jì)算課題，也只能在中國(guó)誕生，而為古希臘文明所輕視。

我們應(yīng)當(dāng)充分重視中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的實(shí)用與算法的傳統(tǒng)，同時(shí)又必須吸收人類(lèi)一切有益的數(shù)學(xué)文化創(chuàng)造，包括古希臘的文化傳統(tǒng)。當(dāng)進(jìn)入21世紀(jì)的時(shí)候，我們作為地球村的村民，一定要融入世界數(shù)學(xué)文化，將數(shù)學(xué)的民族性和世界性有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

四、數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵

走出數(shù)學(xué)孤立主義的陰影，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵將十分豐富。但在中國(guó)數(shù)學(xué)教育界，常常有“數(shù)學(xué)=邏輯”的觀念。據(jù)調(diào)查，學(xué)生把數(shù)學(xué)看作“一堆絕對(duì)真理的總集”，或者是“一種符號(hào)的游戲”。“數(shù)學(xué)遵循記憶事實(shí)—運(yùn)用算法—執(zhí)行記憶得來(lái)的公式—算出答案”的模式，“數(shù)學(xué)=邏輯”的公式帶來(lái)了許多負(fù)面影響。正如一位智者所說(shuō)：“一個(gè)充滿(mǎn)活力的數(shù)學(xué)美女，只剩下一副X光照片上的骨架了！”

1.數(shù)學(xué)的內(nèi)涵

包括用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察現(xiàn)實(shí)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、圖表、符號(hào)表示，進(jìn)行數(shù)學(xué)交流。通過(guò)理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)素質(zhì)，追求創(chuàng)新精神，欣賞數(shù)學(xué)之美。

半個(gè)多世紀(jì)以前，著名數(shù)學(xué)家柯朗在名著《數(shù)學(xué)是什么》的序言中這樣寫(xiě)道：“今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入嚴(yán)重的危機(jī)。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟變成一種空洞的解題訓(xùn)練。數(shù)學(xué)研究已出現(xiàn)一種過(guò)分專(zhuān)門(mén)和過(guò)于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。教師、學(xué)生和一般受過(guò)教育的人都要求有一個(gè)建設(shè)性的改造，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)整體，是科學(xué)思考與行動(dòng)的基礎(chǔ)?！?/p>

和所有文化現(xiàn)象一樣，數(shù)字文化直接支配著人們的行動(dòng)。孤立主義的數(shù)學(xué)文化，一方面拒人于千里之外，使人望數(shù)學(xué)而生畏；另一方面，又孤芳自賞，自言自語(yǔ)，令人把數(shù)學(xué)家當(dāng)成“怪人”。學(xué)校里的數(shù)學(xué)，原本是青少年喜愛(ài)的學(xué)科，卻成為過(guò)濾的“篩子”、打人的“棒子”。伴隨著先進(jìn)的數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)教學(xué)會(huì)變得生氣勃勃、有血有肉、光彩照人。

2.數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)素養(yǎng)屬于認(rèn)識(shí)論和方法論的綜合性思維形式，它具有概念化、抽象化、模式化的認(rèn)識(shí)特征。具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人善于把數(shù)學(xué)中的概念、結(jié)論和處理方法推廣應(yīng)用于認(rèn)識(shí)一切客觀事物，具有這樣的哲學(xué)高度和認(rèn)識(shí)特征。具體地說(shuō)，一個(gè)具有“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的人，他在認(rèn)識(shí)世界和改造世界的活動(dòng)中，常常表現(xiàn)出三個(gè)特點(diǎn)：

A.在討論問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣于強(qiáng)調(diào)定義（界定概念），強(qiáng)調(diào)問(wèn)題存在的條件；

B.在觀察問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣于抓住其中的（函數(shù)）關(guān)系，在微觀（局部）認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；

C.在認(rèn)識(shí)問(wèn)題時(shí)，習(xí)慣于將已有的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念如對(duì)偶、相關(guān)、隨機(jī)、泛函、非線性、周期性、混沌等概念廣義化，用于認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題。比如可以看出價(jià)格是商品的對(duì)偶，效益是公司的泛函等。

更通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是數(shù)學(xué)家的一種職業(yè)習(xí)慣。我們希望把我們的專(zhuān)業(yè)搞得更好，更精密，更嚴(yán)格，有這種優(yōu)秀的職業(yè)習(xí)慣當(dāng)然是好事。一位名家說(shuō)：“真正的數(shù)學(xué)家應(yīng)能把他的東西講給任何人都能使其聽(tīng)得懂。因?yàn)槿魏螖?shù)學(xué)形式再?gòu)?fù)雜，總有它簡(jiǎn)單的思想實(shí)質(zhì)。”在現(xiàn)代科學(xué)中，數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)思維十分重要，這種能力不只表現(xiàn)為死記硬背，不光表現(xiàn)在計(jì)算能力方面，特別表現(xiàn)在建模能力上，建模能力的基礎(chǔ)就是數(shù)學(xué)素養(yǎng)。思想比公式更重要，建模比計(jì)算更重要。學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)，對(duì)它始終有興趣，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的好條件、好方法。學(xué)生要消除對(duì)數(shù)學(xué)的畏懼感，培養(yǎng)對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，了解更多的現(xiàn)代數(shù)學(xué)的概念和思想，提高數(shù)學(xué)悟性和數(shù)學(xué)意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣。

3.數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用

下面舉一個(gè)例子，看看數(shù)學(xué)素養(yǎng)的作用。18世紀(jì)，德國(guó)哥德堡有一條河，河中有兩個(gè)島，兩岸與兩島間架有七座橋。問(wèn)題是：一個(gè)人怎樣才可以不重復(fù)地走遍七座橋而回到原地？這個(gè)問(wèn)題好像與數(shù)學(xué)關(guān)系不大，它是幾何問(wèn)題，但不是關(guān)于長(zhǎng)度、角度的歐氏幾何。很多人都失敗了，歐拉以敏銳的數(shù)學(xué)家眼光，猜想這個(gè)問(wèn)題可能無(wú)解（這是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把問(wèn)題變成了一個(gè)“一筆畫(huà)”問(wèn)題，能否從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)不離開(kāi)紙面而畫(huà)出所有的連線，使筆仍回到原來(lái)出發(fā)的地方?！耙还P畫(huà)”的要求使得圖形有這樣的特征：除起點(diǎn)與終點(diǎn)外，一筆畫(huà)問(wèn)題中線路的交岔點(diǎn)處，有一條線進(jìn)就一定有一條線出，故在交岔點(diǎn)處匯合的曲線必為偶數(shù)條。七橋問(wèn)題中，有四個(gè)交叉點(diǎn)處都交匯了奇數(shù)條曲線，故此問(wèn)題不可解。歐拉還進(jìn)一步證明了：一個(gè)連通的無(wú)向圖，具有通過(guò)這個(gè)圖中的每一條邊一次且僅一次的路，當(dāng)且僅當(dāng)它的奇數(shù)次頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0或?yàn)?。這是他為數(shù)學(xué)的一個(gè)新分支——圖論所作的奠基性工作，后人稱(chēng)此為歐拉定理。

這個(gè)例子是使用數(shù)學(xué)思維解決了現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。1928年，英國(guó)物理學(xué)家狄拉克（Dirac）在研究量子力學(xué)時(shí)得到了一個(gè)描述電子運(yùn)動(dòng)的Dirac方程，由于開(kāi)平方，得到了正負(fù)兩個(gè)完全相反的解。也就是說(shuō)，這個(gè)方程除了可以描述已知的帶負(fù)電的電子的運(yùn)動(dòng)，還描述了除了電荷是正的以外，其他結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與電子一樣的反粒子的運(yùn)動(dòng)。1932年，物理學(xué)家安德森（Anderson）在宇宙射線中得到了正電子，并于1936年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。我國(guó)物理學(xué)家趙忠堯1930年正在加洲理工學(xué)院讀研究生，他的試驗(yàn)結(jié)果一出來(lái)，在他隔壁辦公室的安德森立刻意識(shí)到試驗(yàn)結(jié)果表明一種尚未認(rèn)知的物質(zhì)出現(xiàn)了，于是，進(jìn)一步做工作將獲得成功。趙忠堯與諾貝爾獎(jiǎng)擦肩而過(guò)。

把“復(fù)雜問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“簡(jiǎn)單問(wèn)題”的思考——從探索四面的重心問(wèn)題談起：

問(wèn)題1：為什么三角形三條中線的交點(diǎn)稱(chēng)之為三角形的重心，它是如何被發(fā)現(xiàn)的？

問(wèn)題2：如何求一個(gè)四面體的重心？

實(shí)驗(yàn)：用針頭頂著三角形木板的重心，木板保持平衡，這就驗(yàn)證了三角形三條中線的交點(diǎn)確實(shí)是三角形的重心?？梢哉f(shuō)我們對(duì)三角形重心的認(rèn)識(shí)也就停留在驗(yàn)證這樣的層面上。

至于四面體的重心問(wèn)題，猜測(cè)：四面體的重心應(yīng)該是四個(gè)頂點(diǎn)和相對(duì)底面重心連線的交點(diǎn)，但無(wú)法像三角形那樣可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

數(shù)學(xué)的重要功能之一就是教給人們認(rèn)識(shí)客觀世界的方法。而處理復(fù)雜問(wèn)題的基本方法之一就是盡可能把問(wèn)題簡(jiǎn)單化，直至該問(wèn)題足夠簡(jiǎn)單為止。如尋求四面體的重心問(wèn)題，首先退而尋找三角形的重心，由于三角形的重心問(wèn)題仍不夠簡(jiǎn)單明了，我們能否再退到更為明顯的問(wèn)題呢？

設(shè)想一根粗細(xì)均衡的木棒，它的重心顯然位于它的中點(diǎn)，這是一個(gè)非常明顯的基本事實(shí)。抽象成數(shù)學(xué)命題就是：線段的中點(diǎn)就是該線段的重心。由此我們不難推導(dǎo)出三角形和四面體的重心。

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我們把解決上述問(wèn)題的一般思路歸納如下：體—面—線；四面體重心—三角形重心—線段的重心。

上述例子充分揭示了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使我們對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)由“是什么”提升到“為什么是”的層面上，這是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。

總之，數(shù)學(xué)文化離不開(kāi)數(shù)學(xué)史，但是不能僅限于數(shù)學(xué)史。當(dāng)數(shù)學(xué)文化的魅力真正滲入教材、進(jìn)入課堂、融入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會(huì)更加平易近人，數(shù)學(xué)教學(xué)就會(huì)在文化層面上讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛(ài)數(shù)學(xué)。