周余峰

摘 要：新課程在高中教學實施多年，其教學理念的核心思想深入教師的心中，新課程所提出的“數(shù)學要注重實際應(yīng)用”的教育理論、“數(shù)學概念學習要積極主動建構(gòu)”的教育思想，是新課程教育思想的重要部分和核心內(nèi)容，對教師今天的數(shù)學教學研究仍有重要的指導意義. 本文結(jié)合筆者近期親身經(jīng)歷的一次公開課，結(jié)合新課程理念下的教學觀談?wù)勗跀?shù)學概念教學中進行建構(gòu)活動和概念課教學的一些思考.

關(guān)鍵詞：新課程；教學觀；數(shù)學歸納法；主動建構(gòu)；概念教學

前言引入

《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出：“在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的，因此，高中數(shù)學課程應(yīng)該返璞歸真，把數(shù)學的學術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學生易于接受的教育形態(tài).” 標準的用意很明確：淡化（對高中生而言）不等同于否定，只是對不同年齡階段的學生需要用不同程度的形式化來教學. 形式化和非形式化一直是數(shù)學教學的兩大產(chǎn)物，其特點主要圍繞下面幾點進行區(qū)分：

[角 度＼&形 式 化＼&非 形 式 化＼&推理過程＼&極為重視，推理嚴密＼&不太重視，注重感性認知＼&數(shù)學結(jié)果＼&要求以抽象的數(shù)學結(jié)果記憶＼&注重了解，往往運用特殊法記憶＼&適合群體＼&高中以上學生＼&小學生、初中生＼&]

結(jié)合當今的高中數(shù)學教學來看，筆者認為：高中數(shù)學中的“形式化的結(jié)果”依舊比較常見（諸如函數(shù)的概念、平面向量的基本定理等），而“非形式化的數(shù)學”往往能讓學生對數(shù)學知識的表象理解、記憶（如數(shù)形結(jié)合以形輔數(shù)、窮舉法解排列組合等），但這樣卻無法指導學生到達數(shù)學概念的彼岸——窺視規(guī)律和本質(zhì). 基于這樣的原因，筆者認為高中數(shù)學概念教學需要在介于形式化和非形式化之間進行.

案例分析

課題——蘇教版選修2-2《數(shù)學歸納法》第一課時.

1. 目標解析

本環(huán)節(jié)希望達成學生對數(shù)學歸納法類比生成的目標，具體來說就是：

（1）在教師的引導下學生體驗、思考，自主生成和品悟出原生態(tài)的數(shù)學歸納法基本思想；

（2）借助實例的辨析、對比，對概念的內(nèi)涵進行深加工，進一步使學生體會數(shù)學歸納法原理，更明確數(shù)學歸納法的核心思想.

2. 問題預(yù)診

從學生的理解角度出發(fā)，可能出現(xiàn)的兩方面問題：

（1）對“數(shù)學歸納法”本質(zhì)特征的理解有疑問：究竟是歸納推理還是演繹論證？本章合情推理一節(jié)的歸納推理，與現(xiàn)在的“數(shù)學歸納法”從名稱上不免讓學生產(chǎn)生這個疑惑. 此時，需讓學生了解，雖然數(shù)學歸納法的思維模式是觀察——歸納——猜想——證明，但數(shù)學歸納法的本質(zhì)特征是用有限的步驟論證無限結(jié)論，學習的重心不是猜，而是證.

（2）數(shù)學歸納法的核心思想中，第二步的歸納假設(shè)常常會使學生感到疑惑不解：要證明某個命題正確，怎么可以假設(shè)這個命題正確呢？命題p（k）與命題p（n）有何關(guān)系？假設(shè)命題p（k）正確在證明過程中起什么作用？

要讓學生理解這些問題，就需要讓學生體會：數(shù)學歸納法要證明的命題p（n）是一個命題序列，其中p（k）與p（k+1）是該命題序列中的兩個連續(xù)命題. 為了證明這個命題序列整體的正確性，我們首先得證明p（1）為真，k是一個變動的量，假設(shè)命題p（k）為真是遞推證明的條件，由p（k）為真推出p（k+1）為真，后繼命題的證明得以循環(huán)，因此，歸納假設(shè)是條件，歸納遞推才是核心.

3. 條件分析

（1）學生的知識儲備：學生已學的歸納推理，與演繹推理的“三段論”是學生理解推理思想和證明方法的重要基礎(chǔ). 教學時應(yīng)注意類比，引導學生理解數(shù)學歸納法的本質(zhì).

（2）教學素材的準備：教學環(huán)節(jié)中引入了視頻、游戲等素材來調(diào)動學生進行積極的思考，以確保教學過程中能真正實現(xiàn)以學生為主體的水到渠成的概念生成.

（3）教學理念的準備：波利亞曾指出“學習最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”，常規(guī)教學中，往往教師對數(shù)學歸納法的原理形成過程的教學不夠重視，急于向?qū)W生展示一種思維模式和套路，結(jié)果學生陷入題海，生搬硬套，只知步驟而不知本質(zhì)，學習起來，枯燥乏味. 本次微課設(shè)計將留給學生充分的時間探究、體驗、反思、整合，使學生品味其中真諦，令數(shù)學歸納法扎根在學生心中. 當然，教學理念的形成非一朝一夕之功，故蘇霍姆林斯基說過“教師用一輩子備一節(jié)課”，一輩子，一節(jié)課，這是一種追求，是一種信仰！

4. 教學過程

本次教學過程設(shè)計的依據(jù)是：人類認識數(shù)學具有“漸進性”，個體對數(shù)學概念的認識要在不斷的重復之中細化、深化，以致內(nèi)化. 因此，整體設(shè)計思路是圍繞數(shù)學歸納法的核心思想，在不同媒介的不斷重演中，由淺入深將問題串拋給學生，層層推進學生對數(shù)學歸納法的理解，以期達到螺旋上升的教學效果.

具體環(huán)節(jié)如下：

（1）情境激活，拋磚引玉. 借助一段汽車的創(chuàng)意廣告視頻（內(nèi)容是汽車的各關(guān)鍵零件在合理排列的連鎖反應(yīng)下最終啟動了一輛整車），激發(fā)學生思考：廣告成功大概需要拍多少次？為什么要不斷嘗試？不難想象這個廣告的拍攝難度，事實上達到了605次之多，問題2的可能回答（每個環(huán)節(jié)的銜接不易，有銜接才有連鎖反應(yīng)，初始環(huán)節(jié)力量控制需得當）初步形成數(shù)學歸納法的原生態(tài)理解，問題3是引導學生理解廣告的目的是以復雜、震撼的效果激發(fā)購買欲，而數(shù)學則是追求簡單美的，以此引出多米諾骨牌這個簡化模型. （利用非形式化手段，感受數(shù)學歸納法在生活中的模型）

（2）簡化模型，類比抽象. 分組進行多米諾骨牌游戲.

問1：多米諾骨牌與汽車廣告呈現(xiàn)的連鎖反應(yīng)有何異同？

目的：使學生初步留下多米諾骨牌是“等距遞推”的印象.

問2：如何用程序語言描述多米諾骨牌倒下的條件？

目的：借助必修3程序框圖，進一步使學生意識到遞推關(guān)系的可重復性，也無形中化解了學生對歸納假設(shè)的可能的疑惑，自然而然地使學生理解了假設(shè)命題“p（k）為真”是遞推證明的條件，是遞推的接力棒. 無限結(jié)論的證明巧妙地被濃縮了，同時也體現(xiàn)了新課程螺旋上升的要求.

問3：能否類比歸納一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明步驟？

目的：順水推舟引導學生自主思考，類比抽象出數(shù)學歸納法的原理雛形.

問4：步驟2的作用是什么？

目的：希望學生通過類比程序框圖的循環(huán)體，體悟步驟2的歸納遞推作用.

分組游戲結(jié)束后，由各組代表發(fā)言總結(jié)游戲的寓意，最后師生共同提煉總結(jié)數(shù)學歸納法原理，至此，完成了 “原理的生成”部分的教學. （利用形式化手段，將數(shù)學歸納法進行模型抽象，小結(jié)略）

教學反思

《數(shù)學歸納法》是高中數(shù)學非常形式化的一個數(shù)學概念，學生很難理解其本質(zhì). 原因很簡單：為什么可以假設(shè)命題p（k）為真？這個問題困擾著學生對其概念的形成. 因此筆者是按這樣的設(shè)計滲透新課程的教學理念：

（1）以學生研究多米諾骨牌為基點，著力研究為什么第k+1張會倒下？（感性認知）

（2）借助多米諾骨牌，能將問題抽象成一個什么樣的數(shù)學問題？（從非形式化到形式化）

（3）數(shù)學歸納法教學是以小組合作討論的模式進行，經(jīng)過提煉而成，著力體現(xiàn)數(shù)學概念教學返璞歸真，注重學生主動建構(gòu). （新課程理念教學觀的體現(xiàn)）

總之，新課程教學理念下的教學觀注重“以生為本”和強調(diào)“知識形成”，給教師的教學帶來了全新的理念，使教學方式得到一股清風式的改變.

（1）當下的高中數(shù)學教學不僅要傳遞知識，更要關(guān)注學生情感、態(tài)度、價值觀等等，“主動建構(gòu)”的教育理念就是在改變過去過于注重形式化的知識傾向，關(guān)注學生主動建構(gòu)能力的培養(yǎng)和學習能力的獲得，也讓學生體會到從生活中去找尋知識形成的美！

（2）與時俱進的數(shù)學教師，不僅要能“傳道、授業(yè)、解惑”，更要能指導學生發(fā)現(xiàn)問題.筆者們教學的最終目的是不教，是要讓高中生通過自己的知識去解決將來遇到的未知領(lǐng)域，“主動建構(gòu)”教育理論很好地給出了一個方向，即遇到未知的問題轉(zhuǎn)化為已掌握的知識來處理. 學習就是不斷地進行這樣的重復，漸漸培養(yǎng)起來的學習能力將會受益終身.

（3）倡導“主動建構(gòu)”理論教學，把學習知識的過程變成分析和解決問題的過程，就需要教師將教材內(nèi)容問題化和生活化. 教師要多引導學生走出課堂，走向社會與生活. 新課程改革不應(yīng)只是局限于課堂教學方法的改變，還應(yīng)注重學生應(yīng)用實踐能力的培養(yǎng).