楊國微

摘 要：本文是根據(jù)作者多年的高職高等數(shù)學教學工作經(jīng)歷，歸納總結(jié)的一些適合高職院校學生的解題技巧，旨在提高高職院校高等數(shù)學教與學的質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：不定積分；積分公式；換元法；求微法

在高職院校高等數(shù)學不定積分的教學中，第一、第二換元積分法是積分運算中重要的積分方法，也是高等數(shù)學的主要組成部分。它是學習定積分、微分方程、多元函數(shù)重積分的基礎(chǔ)，學生對它掌握的好與壞直接關(guān)系到高等數(shù)學學習的質(zhì)量。而高職學生大部分數(shù)學基礎(chǔ)都比較差、運算能力不強，換元積分法的有關(guān)習題本身又形式多樣，導致學生對換元的過程不能很好地掌握。學生普遍反映不定積分比求導和微分難多了，很多看似簡單的題目就是不會做，弄不清何時使用第一類換元積分法，何時使用第二類換元積分法，甚至分不清第一換元法和第二換元法，更談不上靈活應用。筆者在聽課交流中也發(fā)現(xiàn)，許多教師沒有將不定積分和求導緊密聯(lián)系起來，而是平鋪直敘、照本宣科，客觀上造成了積分和微分的分裂。筆者根據(jù)多年在高職高等數(shù)學的教學經(jīng)驗和教學實際，在此簡單探討一下高職不定積分換元積分法的教學方法和解題技巧。

一、基本的積分公式要牢記

冪函數(shù)：∫xαdx=■+C（α≠-1）

指數(shù)函數(shù)：∫exdx=ex+C

對數(shù)函數(shù)：∫■dx=ln|x|+C

三角函數(shù)：∫sinxdx=-cosx+C；∫cosxdx=sinx+C

反三角函數(shù)：∫■dx=arctanx+C；∫■dx=arcsinx+C

這七個公式其實就是七個導數(shù)公式的直接逆向使用，是使用最廣的七個公式，也是掌握不定積分的基礎(chǔ)。在教學過程中我們發(fā)現(xiàn)，很多學生不定積分解題出錯多出在基本積分公式不熟悉，記混淆了，如將∫■dx=arctanx+C記成∫arctanxdx=■+C，這當然不可能解對題目。在教學過程中，為了能最大限度地讓學生掌握湊微分法，在課堂上教師還應該讓學生做一些簡單的逆向求微分的題目。如：

xdx=d（ ） x2dx=d（ ）

■dx=d（ ） ■dx=d（ ）

■dx=d（ ） exdx=d（ ）

sinxdx=d（ ） cosxdx=d（ ）

■dx=d（ ） ■dx=d（ ）

這些問題看似很簡單，但在不定積分換元法的學習中起到基礎(chǔ)的作用。有許多教師輕視這一部分的教學，往往一帶而過，這就為后面的學習埋下了隱患。

二、認清第一換元法的特征

定理：設f（x）有原函數(shù)，u=φ（x）可導，如果∫f（x）dx=F（x）+C，則有：∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）u=φ（x）∫f（u）du=F（u）+C.

簡單地說，如果被積函數(shù)為∫f（φ（x））φ′（x）dx的形式，要想套用∫f（x）dx=F（x）+C這個公式，必須要想辦法將微分號d后面的x變成φ（x）（這就是湊微分的過程）。但實際的解題過程中，學生往往不知該如何湊微分、往哪個方向湊。我們在教學過程中，提出了一開始使用“求微法”來代替“湊微分法”求積分，等熟悉了換元法后再反過頭來加深理解和學習“湊微分法”。

求微法：如果發(fā)現(xiàn)有基本的積分公式中被積函數(shù)的變量不是x，就用一個新變量代替該函數(shù)，然后往基本積分公式化歸。舉例如下：

例1：求不定積分∫（x+1）2013dx.

分析：將這個題目和基本積分公式相比較，它和冪函數(shù)的形式很接近，但底數(shù)是（x+1），不是x，令u=x+1，du=dx，題目化為∫（x+1）2013dx=∫u2013du，由此我們也知，要湊微分的話，需要將dx湊成d（x+1）.

例2：求不定積分∫■dx.

分析：將這個題目和基本積分公式相比較，被積函數(shù)有指數(shù)函數(shù)，但指數(shù)是（arctanx），不是x，要想對earctanx積分，dx要變成darctanx，令u=arctanx，du=■dx，題目化為∫■dx= ∫eudu，由此我們也知，要湊微分的話，需要用■dx=darctanx.

例3：求不定積分∫■dx.

分析：將這個題目中出現(xiàn)arctan■，但它的變量形式為■，而不是x，由上面積累的解題經(jīng)驗可知，當我們遇到初等函數(shù)時，最好引入中間變量，將其自變量化為基本初等函數(shù)。本題可以這樣做：令u=■，dx=-■du，∫■dx=∫■du，之后的解題過程就很常規(guī)，在此不贅述了。

在教學過程中，我們發(fā)現(xiàn)學生很喜歡求微法，它直接將求積分和求微分聯(lián)系起來，可以說是積分和微分解題方法的無縫銜接。通過一些練習，再加強湊微分方法的教學，很多學生都順利掌握了湊微分的方法。

在實際解題過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)一些看上去很復雜的被積函數(shù)，這時可試著引入變量，將沒有出現(xiàn)在基本積分公式中的部分簡化，然后尋找思路。舉例如下：

例4：求不定積分∫■ln■dx.

分析：在這個積分問題里面，被積函數(shù)有自然對數(shù)出現(xiàn)，但基本積分公式中被積函數(shù)沒有自然對數(shù)，這時可將ln■作為一個整體處理：令u=ln■，du=■dx，∫■ln■dx=■∫udu.

例5：求不定積分∫■dx.

分析：在這個積分問題里面，對比基本積分公式，與被積函數(shù)相似的積分公式很難發(fā)現(xiàn)，這時我們可以將1+ex作為一個整體處理：令u=1+ex，du=exdx=（u-1）dx，∫■dx=∫■■du=∫■-■du.

三、何時使用第二換元法

引入第二換元法的目的是為了去掉被積函數(shù)中出現(xiàn)的根號，通過代換進而將其轉(zhuǎn)化為第一類換元積分法可以求解的形式。第二類換元積分法主要包括根式代換和三角代換。在實際教學過程中，如果遇到有根號的被積函數(shù)，可以考慮兩種方法去除根號：一是用一個變量代替根號；二是用三角替換，從根號內(nèi)部形成平方式。那么，什么時候使用第一種方法、什么時候使用第二種方法呢？如果根號里面不是平方和或者平方差的形式，使用第一種方法；如果根號里面是平方和或者平方差的形式，多使用第二種方法，但如果根號外是的奇數(shù)方，使用第一換元法反而比較方便，分別舉例如下：

例6：求不定積分∫■dx.

分析：被積函數(shù)是根式，非平方和、平方差的形式，可直接用變量代替根式：令u=■，dx=2udu，∫■dx=2∫u2du.

例7：求不定積分∫■dx.

分析：被積函數(shù)是根式，平方和的形式，可使用三角替換：令x=tanu，dx=dtanu=sec2udu，∫■dx=∫■sec2udu= ∫secudu.

例8：求不定積分∫■dx.

分析：被積函數(shù)是根式、平方和的形式，多可使用三角替換，但此類問題使用第一換元法較為簡單：令u=■，u2=1+x2，udu=xdx，∫■dx=∫■du.

四、結(jié)束語

不定積分中的換元法是非常重要的數(shù)學方法，不論在理論還是應用中都占據(jù)突出的位置。同時，它也是高等數(shù)學學習過程中的難點，如何引導學生順利通過這一難關(guān)是眾多教師討論和研究的熱點問題。本文是根據(jù)作者多年高等數(shù)學的教學經(jīng)驗總結(jié)成文的，文中所舉例題雖少，但幾乎涵蓋了高職院校高等數(shù)學換元法的所有題型。雖說掌握換元法需要學生大量的練習，但也需要教師對教學內(nèi)容的精心組織和安排，讓學生在學習過程中不覺得知識和方法的突兀，有順理成章、水到渠成的感覺。筆者根據(jù)教學經(jīng)驗提出的求微法在實踐中效果很好，因此想介紹給其他教師，這也是促成本文的主要原因。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.