高大成

【摘 要】大學(xué)數(shù)學(xué)相比中學(xué)里的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)已發(fā)生很大的變化。其最為重要的變化莫過于由大量的計(jì)算為重心轉(zhuǎn)變到以思想方法為重心的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模式，大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同時(shí)有必要將更多的數(shù)學(xué)思想作為一個(gè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)。本文從心理認(rèn)知的角度來分析數(shù)學(xué)思想對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要作用，倡導(dǎo)大學(xué)生要善于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，注意數(shù)學(xué)思想方法在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，并從中提高自己數(shù)學(xué)素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】大學(xué)生；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)素質(zhì)；作用

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識(shí)之中，經(jīng)過思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征。通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，解決數(shù)學(xué)問題的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。

“數(shù)學(xué)思想”比一般的“數(shù)學(xué)概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。“數(shù)學(xué)思想”是與其相應(yīng)的“數(shù)學(xué)方法”的精神實(shí)質(zhì)與理論基礎(chǔ)。常見的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、隱含條件思想、類比思想、化歸思想、歸納推理思想等等。

素質(zhì)是指人的自身所存在的內(nèi)在的、相對(duì)穩(wěn)定的身心特征及其結(jié)構(gòu)，是決定其主體活動(dòng)功能、狀況及質(zhì)量的基本因素。數(shù)學(xué)作為一種客觀抽象出來的自然科學(xué)，屬于社會(huì)素質(zhì)的范疇。人的數(shù)學(xué)素質(zhì)是人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和專業(yè)素質(zhì)的雙重體現(xiàn)，數(shù)學(xué)素質(zhì)的大致涵義有以下四個(gè)基本表現(xiàn)特征，即數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)思維。

數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)素質(zhì)的基本表象，數(shù)學(xué)技能是數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的綜合應(yīng)用，數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)語言存在于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用的過程之中。數(shù)學(xué)素質(zhì)的個(gè)體功能與社會(huì)功能常常是潛在的，而不是急功近利的，數(shù)學(xué)素質(zhì)具有社會(huì)性、獨(dú)特性和發(fā)展性。時(shí)至今日，數(shù)學(xué)的知識(shí)和技術(shù)有逐步發(fā)展成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦兴枰囊环N通用技術(shù)的趨勢(shì)，這是因?yàn)楝F(xiàn)代社會(huì)生活是高度社會(huì)化的，而高度社會(huì)化的一個(gè)基本特點(diǎn)和發(fā)展趨勢(shì)就是定量化和定量思維，定量化和定量思維的基本語言和工具就是數(shù)學(xué)。由此可見，未來人的數(shù)學(xué)素質(zhì)將與人的生存息息相關(guān)。

心理學(xué)認(rèn)為，“由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)觀念在包攝和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí)，因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種類屬關(guān)系又可稱為下位關(guān)系，這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)?！碑?dāng)大學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想方法，再去學(xué)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)。就屬于下位學(xué)習(xí)了。下位學(xué)習(xí)所學(xué)知識(shí)“具有足夠的穩(wěn)定性，有利于牢固地固定新學(xué)習(xí)的意義，”即使新知識(shí)能夠較順利地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去。大學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)思想方法就能夠更好地理解和掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。

理解數(shù)學(xué)思想有利于記憶數(shù)學(xué)知識(shí)。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記。”“學(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢姡瑪?shù)學(xué)思想方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生“不管他們將來從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！?/p>

積極進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，將極大地促進(jìn)大學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與完善。從認(rèn)知心理學(xué)角度看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是一個(gè)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展變化過程，這個(gè)過程是通過同化和順應(yīng)兩種方式實(shí)現(xiàn)的。所謂同化，就是主體把新的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容納入到自身原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，把新的數(shù)學(xué)材料進(jìn)行加工改造，使之與原教學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)相適應(yīng)。所謂順應(yīng)，是指主體原有的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不能有效地同化新的學(xué)習(xí)材料時(shí)，主體調(diào)整成改造原來的數(shù)學(xué)內(nèi)部結(jié)構(gòu)去適 應(yīng)新的學(xué)習(xí)材料。在同化中，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)不具備思維特點(diǎn)和能動(dòng)性，不能指導(dǎo)“加工”過程的進(jìn)行。而心理成份只給主體提供愿望和動(dòng)機(jī)，提供主體認(rèn)知特點(diǎn)，僅憑它也不能實(shí)現(xiàn)“加工”過程。數(shù)學(xué)思想不僅提供思維策略（設(shè)計(jì)思想），而且還提供實(shí)施目標(biāo)的具體手段（解題方法）。實(shí)際上數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化、化歸就是實(shí)現(xiàn) 新舊知識(shí)的同化。與同化一樣，順應(yīng)也在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下進(jìn)行。

強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)和原理的學(xué)習(xí)，“能夠縮挾‘高級(jí)知識(shí)和‘初級(jí)知識(shí)之間的間隙?！币话愕刂v，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的界限還是比較清楚的，有些初等數(shù)學(xué)術(shù)語如方程、函數(shù)等在高等數(shù)學(xué)中要賦予它們以新的涵義。而在高等數(shù)學(xué)中幾乎全部保留下來的只有中學(xué)數(shù)學(xué)思想和方法以及與其關(guān)系密切的內(nèi)容，如集合、對(duì)應(yīng)等。因此，數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)結(jié)初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條紅線，是繼續(xù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域進(jìn)行深造的向?qū)А?/p>

因此，數(shù)學(xué)思想對(duì)大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高與影響僅是某些方面的，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思維方面，大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是多方面的，又包括了數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)意識(shí)，雖然提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)需要全方面的努力，但是毫無疑問的是數(shù)學(xué)思想對(duì)其影響是最大的。不僅如此數(shù)學(xué)思想又是對(duì)個(gè)人的一生都是有重要意義的，他培養(yǎng)我們的認(rèn)知能力，強(qiáng)化了我們的辯證思維能力。

在學(xué)習(xí)表層知識(shí)的過程中，注意與數(shù)學(xué)思想的聯(lián)系。數(shù)學(xué)的表層知識(shí)是解決數(shù)學(xué)問題的前提，也是大學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的重要內(nèi)容，只有掌握了這些基本的知識(shí)才可以發(fā)揮數(shù)學(xué)思想的作用。例如大學(xué)數(shù)學(xué)分析課本中有關(guān)介紹函數(shù)連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)概念時(shí)不僅理解公理性的文字概念，還要結(jié)合函數(shù)圖像分析其幾何意義，這就告訴了學(xué)生在這一類知識(shí)的問題中可利用數(shù)形結(jié)合的思想。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)及時(shí)進(jìn)行小結(jié)復(fù)習(xí)，將其中的數(shù)學(xué)思想方法提煉概括起來，增強(qiáng)對(duì)其運(yùn)用的意識(shí)，活化所學(xué)知識(shí)，形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。

數(shù)學(xué)問題的解決過程，實(shí)際上是命題的不斷轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)思想方法反復(fù)運(yùn)用的過程，數(shù)學(xué)思想方法即存在于問題的解決之中，數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化，無不遵循數(shù)學(xué)思想方法指示的方向。在大學(xué)生今后面對(duì)的更復(fù)雜問題中，經(jīng)常會(huì)遇到多種思想方法同時(shí)出現(xiàn)的情況，尤其是在全國(guó)研究生考試中，數(shù)學(xué)將綜合分析的考察視為重點(diǎn)，可見數(shù)學(xué)問題也是高等數(shù)學(xué)教育中的核心所在。一個(gè)優(yōu)秀的考生未必能練習(xí)做多的試題，很重要的一點(diǎn)在于他能在問題中把握大學(xué)數(shù)學(xué)里每一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，快速準(zhǔn)確的運(yùn)用才是明智之舉。

數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，寓于現(xiàn)實(shí)，并最終用于現(xiàn)實(shí)。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大眾化目的，在于使我們獲得解決在日常生活和工作中遇到的數(shù)學(xué)問題能力和可以用數(shù)學(xué)解決的其它問題。通過細(xì)心地觀察問題的每個(gè)細(xì)節(jié)，我們還是可以從中找的一些新奇的，細(xì)微的問題，不但鍛煉個(gè)人的數(shù)學(xué)意識(shí)，更能挖掘潛在的觀察能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。

有這樣一個(gè)例子：我們能確信三角形面積公式一定是重要的嗎？很多人在校外生活中使用這個(gè)公式至多不超過一次。更重要的是獲得這樣的思想方法：就是通過分割一個(gè)表面成一些簡(jiǎn)單的小塊，并且用一種不同的方式重新組成這個(gè)圖形來求它的面積值。當(dāng)前已有為數(shù)不少的專家、學(xué)者明確地提出數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)中的重要地位。為了提高自身的數(shù)學(xué)素質(zhì)，大學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 葉立軍，數(shù)學(xué)方法論[M]，杭州：浙江大學(xué)出版，2008

[2] 沈文選，走進(jìn)教育數(shù)學(xué)[M]，北京：科學(xué)出版社，2009

[3] 郭金彬、孔國(guó)平，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想史[M]，北京：科學(xué)出版社，2007

[4] 陳鼎興、姚奎，高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與提高指南[M]，南京：東南大學(xué)出版社，2006