張學(xué)霞

數(shù)學(xué)教育家米山國藏在從事多年的數(shù)學(xué)教育研究之后，說過這樣一段話：“學(xué)生們在學(xué)校所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識，在進入社會后，幾乎沒有什么機會應(yīng)用，因而這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常在出校門后不到一兩年就忘掉了。然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用?！庇纱丝梢?，知識和技能是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)的思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。

下面我結(jié)合具體的實例談?wù)勅私贪嫘W(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊教學(xué)中應(yīng)滲透的幾種重要數(shù)學(xué)思想：

一、轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想方法是指學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識時能想辦法將新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的舊知識或?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，從而產(chǎn)生知識或問題間的遷移，是一種以運用舊知識經(jīng)驗來學(xué)習(xí)、理解新知識的思維方式和解決問題的方法。五年級下冊的測量不規(guī)則物體的體積、通分、異分母分數(shù)加減法等無不滲透了轉(zhuǎn)化的思想。

案例呈現(xiàn)：（通分教學(xué)片斷）

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

最近學(xué)校準備要把整個校園美化起來，學(xué)校希望美化校園面積的5/6，園林規(guī)劃部門認為可以美化校園面積的7/9。到底哪一種方案美化的面積大，你們能不能解決這個問題？

（二）結(jié)合問題，組織探究，認識通分

⑴形成數(shù)學(xué)問題，比一比5/6和7/9誰大。

學(xué)生可以獨立思考，也可以與同伴合作尋找解決的策略。

⑵匯報、交流學(xué)習(xí)成果，可能有以下方法：（及時加以記錄）

A.畫圖比較。

B.化成小數(shù)比大小。

C.把分子變成相同的分數(shù)比大小。

D.把分母變成相同的分數(shù)比大小。

……

⑶討論與歸納

引導(dǎo)學(xué)生通過分析、比較，總結(jié)出把“異分母變成同分母的方法”，即通分的方法。

在上述教學(xué)片斷中，學(xué)生意識到和這兩個分數(shù)的分子和分母都不相同，無法直接比較大小，但是利用分數(shù)的基本性質(zhì)就可以將它們轉(zhuǎn)化成分母相同的分數(shù)，從而比較兩個分數(shù)的大小。這個轉(zhuǎn)化過程成了學(xué)生的一次智慧之旅。

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的思想，是小學(xué)階段最常用的一種數(shù)學(xué)思想，其實質(zhì)就是把數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，去分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)思想。

案例呈現(xiàn)：

用通分的方法計算■+■+■+■這一題，學(xué)生用通分的方法或許還能很快地得出答案。若是在算式的后面要一直加到■或■ ……，還愿意用通分的方法嗎？學(xué)生一定會面露難色，這時“數(shù)形結(jié)合”的簡單快捷就顯而易見了。

在解決問題中，計算基于圖形，關(guān)系就變得非常明晰。

教師可以先畫出這樣的圖形，讓學(xué)生接著畫下去，以找到解決問題的方法：把一個大正方形看成單位“1”（如上圖），一次又一次地進行平均分，陰影部分表示計算的結(jié)果。從圖上很容易看出：■+■+■+■=1-■=■；再接著畫下去，就會有■+■+■+■+……=■=1-■=■……這里的1是第一個加數(shù)“■”的2倍。數(shù)學(xué)真是太神奇了！學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，在加法算式中，如果后一個加數(shù)依次是前一個加數(shù)的■，結(jié)果就等于第一個加數(shù)的2倍減去最后一個加數(shù)。同理，■ +■+■+■=■×2-■=■……原來加法還可以轉(zhuǎn)化成圖形來計算，通過畫圖，不僅能讓我們學(xué)會解決某一道題，更重要是能讓我們找到解決一類題的方法，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

上面案例運用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法把代數(shù)與幾何溝通了，使“形”直觀地反映“數(shù)”內(nèi)在的聯(lián)系，拓寬思路，把復(fù)雜問題簡單化，不僅讓人回味無窮，也極大地激發(fā)了學(xué)生探究的欲望，讓他們獲得成功的體驗。

三、分類思想

分類就是根據(jù)一定的標準，對事物進行有序的劃分、組織的過程。分類的關(guān)鍵在于正確地選擇分類標準。一個科學(xué)的分類標準必須能夠?qū)⑿枰姆诸惖臄?shù)學(xué)對象，進行不重復(fù)、無遺漏地劃分。本冊教學(xué)中多次運用分類的思想方法，如對自然數(shù)的分類：按自然數(shù)能否是2的倍數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)；根據(jù)自然數(shù)的因數(shù)的個數(shù)又可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1；把分數(shù)分為真分數(shù)和假分數(shù)，等等。而這正是本階段需要學(xué)生掌握的重點之一。通過分類，建構(gòu)了知識網(wǎng)絡(luò)，又突出了學(xué)習(xí)的重點。

四、優(yōu)化思想

“優(yōu)化”，即“最優(yōu)化”，是指從問題的許多可能的解答中，依某種指標選擇最好的解答。五（下）的《找次品》其原理相對簡單——物體均分成三份，就可最大限度地發(fā)揮天平的功能（排除三分之二），以實現(xiàn)用最少的次數(shù)找到次品。這樣的學(xué)習(xí)材料，學(xué)生可以通過動手操作和自主探索，通過多種策略的對比分析，感知到策略的可優(yōu)化，從而初步體驗優(yōu)化的思想。

案例呈現(xiàn)：（本課執(zhí)教者為特級教師劉松）

1.通過談話，引出找次品。

2.初步感知。

師：物體中的次品，有的好找，有的不好找。我這有3瓶木糖醇，其中1瓶少了幾個（是次品），怎樣才能找出來？

（學(xué)生說可以用天平稱，教師引導(dǎo)學(xué)生思考和交流怎么稱）

教師請學(xué)生上臺演示，一個學(xué)生邊演示邊說：任意挑2瓶，放在天平兩邊，一邊1瓶，如果平衡，那么第3瓶就是次品；如果不平衡，那么翹起來的那邊就是次品。

再請其他學(xué)生演示說明，強化理解。然后師生共同得出從3瓶中找1瓶，至少要稱1次。

3.激發(fā)興趣。

師：如果2187瓶中有1瓶次品，稱幾次能找出？

（學(xué)生都猜729次，教師以此引發(fā)學(xué)生探究的興趣）

4.深入研究。

（1）研究5瓶。

師：如果是5瓶，還是用稱的方法，至少幾次才能找到次品？

（教師請學(xué)生用硬幣代替瓶子擺一擺、試一試，或者相互交流，然后進行反饋）

生1：應(yīng)該是2次。天平左右兩邊各放1瓶，剩3瓶。稱1次，如果這2瓶一樣重，就在另3瓶中挑2瓶放在天平左右兩邊，再稱1次，就能找到次品了。

教師結(jié)合學(xué)生回答，板書：5（1、1、3）→（1、1、1），2次。

生2：稱法不一樣，也是2次。第一次稱時，天平左右兩邊各放2瓶。如果兩邊不一樣重，將輕的2瓶放在天平兩邊，再稱1次，就找到次品了。

教師板書：5（2、2、1）→（1、1），2次。

師：為什么不分成（3、2）？

（生說理由）

（2）研究9瓶。

學(xué)生通過實驗得出多種方法，其中兩種是：①9（4、4、1）→（2、2）→（1、1），3次；②9（3、3、3）→（1、1、1），2次。通過對比得出第②種方法更優(yōu)。

師：上面兩種方法，一開始分的時候有什么不一樣？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)第②種方法是一開始將總數(shù)平均分成3份的，這樣的方法可能是最優(yōu)的。

（3）研究12瓶。

師：剛才的結(jié)論是不是具有普遍性？通過一個例子的研究，難道我們就能確信這樣的分法就是最優(yōu)的嗎？

學(xué)生提出以12瓶為例來驗證，師生一起得出12（4、4、4）→（2、，2）→（1、1），3次。教師引導(dǎo)學(xué)生用其他稱法來檢驗是不是有比3次少的。

學(xué)生通過列舉發(fā)現(xiàn)，沒有比將總數(shù)平均分成3份的方法更優(yōu)的。

……

從案例中可見，在研究5瓶、9瓶時，教師有意讓學(xué)生展示不同的方法，并且將這些方法放大討論，以讓學(xué)生充分感知。在研究12瓶時，教師還特意提出“3次是不是最少” 的問題，引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法來驗證。在研究9瓶時，開始出現(xiàn)優(yōu)化策略，但教師沒有就此告訴學(xué)生這樣的方法就是最優(yōu)的，而是引導(dǎo)學(xué)生用科學(xué)研究的方法，繼續(xù)舉例驗證，通過研究12瓶、27瓶等多種情況，讓學(xué)生在經(jīng)驗的不斷積累中，自主歸納出優(yōu)化的策略及其有效性。這樣的處理，學(xué)生的體驗也是充分和深刻的。

數(shù)學(xué)思想的滲透有利于學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光去看身邊的事物，從而也會產(chǎn)生使用數(shù)學(xué)的意識，能正確運用數(shù)學(xué)方法去解決問題！作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們要有滲透數(shù)學(xué)思想的意識和自覺性，用心挖掘，在教學(xué)中，深入淺出地、潛移默化地讓學(xué)生領(lǐng)悟某種數(shù)學(xué)思想方法。

（作者單位：山東省東營市墾利縣第二實驗小學(xué)）

責(zé)編/張曉東