剛守濤
摘 要:數(shù)學(xué)解題是學(xué)生集中所學(xué)知識解決實(shí)際問題的過程,在這一過程中,所需的理論和方法取決于學(xué)生先前的聯(lián)系經(jīng)驗(yàn),更與思考問題的方式和習(xí)慣密不可分。下面就具體問題展開分析,愿與各位同仁商榷。
關(guān)鍵詞:同題異構(gòu);數(shù)學(xué)解題;應(yīng)用
求最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的問題,常見的解決方法有均值不等式法、函數(shù)單調(diào)性法等。根據(jù)不同的條件和信息選擇解決方法。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中至關(guān)重要,如何理解有效信息,更大范圍地聯(lián)系所學(xué)知識構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為解題關(guān)鍵。不同的數(shù)學(xué)模型體現(xiàn)不同的思維空間,展示不同的思維過程,體現(xiàn)共同的數(shù)學(xué)之美。
有這樣一道求最值題:設(shè)b是1-a與1+a的等比中項(xiàng),則
a+3b的最大值為多少?
根據(jù)題目條件可以直接得到數(shù)學(xué)信息:3b2=1-a2,條件中的等量關(guān)系得到直接體現(xiàn),接下來針對問題a+3b的取值范圍展開討論。
解法一:條件變形得到a2+3b2=1,把(a,b)看作橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),令m=a+3b,問題轉(zhuǎn)化為求m的取值范圍。結(jié)合線性規(guī)劃的理論與解題策略,限定的區(qū)域?yàn)闄E圓上的點(diǎn),a+3b=0得到直線方程,平移直線獲得變量m的最值,直線與橢圓相切時(shí),m取得最大值為2,最小值為-2。
解法二:由解法一得到a2+3b2=1,把(a,b)看作橢圓上的一個(gè)動點(diǎn),令a+3b=m,問題轉(zhuǎn)化為求m的取值范圍。聯(lián)立a2+3b2=1
a+3b=m,得到12b2-6bm+m2-1=0。由直線與橢圓有公共點(diǎn),可以得到Δ=36m2-48(m2-1)≥0,解得m2≤4,∴-2≤m≤2,m的最大值為2。
解法三:根據(jù)解法一可以得到m的最大值在直線與橢圓相切時(shí)得到,所以聯(lián)立方程,由判別式Δ=36m2-48(m2-1)=0,解得m=
±2,∴m=2。
……
以上幾種方法其實(shí)都充分利用了橢圓方程這一數(shù)學(xué)模型,把變量的變化充分結(jié)合動點(diǎn)的分布,再現(xiàn)不同方法與問題的結(jié)合,體現(xiàn)出同題異構(gòu)的精妙之處,反映的是解題思路,呈現(xiàn)的是方法,訓(xùn)練的是學(xué)生廣泛聯(lián)系的解題策略。
解法四(幾何法):根據(jù)條件a2+3b2=1,當(dāng)且僅當(dāng)參數(shù)a,b都取正數(shù)時(shí),a+3b可能取到最大值。
于是構(gòu)建△ABC,如圖,使得C=30°,AB=1,設(shè)BC邊上的高AD=b,BD=a,則有CD=3b,AC=2b。由正弦定理可得a+3b=sin∠BAC,當(dāng)且僅當(dāng)∠BAC=90°時(shí),a+3b=2成立。
同一道數(shù)學(xué)題,采用了不同的解題策略,過程不同,不一樣的精彩,最終實(shí)現(xiàn)解題的目的。如果學(xué)生主動參與進(jìn)來,那么效果會更好。數(shù)學(xué)解題的最終目的不過是學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題,從這一目的來說,同題異構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與應(yīng)用策略,更好地掌握數(shù)學(xué)內(nèi)容。期待有更好的方法、更多的精彩與學(xué)生分享,共同成長。
(作者單位 山東省東營市勝利第二中學(xué))