趙艷影 李昌愛

(南昌航空大學飛行器工程學院，南昌 330063)

時滯動力吸振器抑制扭轉系統(tǒng)的振動*

趙艷影?李昌愛

(南昌航空大學飛行器工程學院，南昌 330063)

本文研究了采用時滯動力吸振器抑制扭轉振動系統(tǒng)的振動問題．采用穩(wěn)定性切換方法分析了時滯動力吸振器及其扭轉振動系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，分別得到了時滯動力吸振器和扭轉振動系統(tǒng)的時滯穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域．結果表明，當時滯調節(jié)到動力吸振器的臨界穩(wěn)定值時，主振動系統(tǒng)的振動可以完全消除．當時滯在小于時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定范圍進行調節(jié)時，可以將主振動系統(tǒng)的振動部分消除;并且時滯越大時滯動力吸振器的減振能力越強．當時滯調節(jié)超過扭轉振動系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定值時，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，將導致結構破壞．數(shù)值模擬也證實了解析結果的正確性．

扭轉振動， 時滯動力吸振器， 穩(wěn)定性切換， 反饋控制

引言

軸系在柴油機、螺旋槳等周期性的激振力矩的作用下會產生扭轉振動．軸系的扭轉振動會使得軸系零件磨損加劇、噪聲劇增，甚至會導致斷軸等事故，直接影響內燃機的使用壽命、工作效率和周圍環(huán)境［1，2］．因此，抑制軸系的扭轉振動也成為工程技術人員迫切需要解決的問題．抑制扭轉振動的方法很多，由于設計簡單和實用性強，采用動力吸振器引起工程界和學術界的眾多研究者的關注．Muneharu等［3］研究了采用動力吸振器來抑制一個強迫扭轉振動系統(tǒng)的振動問題，發(fā)現(xiàn)動力吸振器的質量越小，剛度越大對主系統(tǒng)的減振效果越好．Kim等［4］研究了非線性沖擊阻尼對帶有間隙的扭轉振動系統(tǒng)的頻率響應特性的影響，研究發(fā)現(xiàn)沖擊阻尼降低了共振峰值，增強了動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小了準周期和混沌運動的區(qū)域．El－Bassiouny等［5］研究了采用動力吸振器控制非線性強迫扭轉振動系統(tǒng)的振動和混沌運動的問題．Al－Bedoor等［6］研究了采用可調動力吸振器來抑制扭轉系統(tǒng)的振動問題，研究表明可調動力吸振器可以很好的抑制扭轉振動系統(tǒng)設備啟動階段的瞬態(tài)振動．Lee等［7］研究了采用次諧波吸振器來抑制旋轉機械的扭轉振動問題，當吸振器的固有頻率調節(jié)到外激振扭矩諧波頻率的一半時，能夠起到很好的抑制扭轉振動系統(tǒng)振動的作用．Chao等［8］研究了采用多個次諧波吸振器來抑制旋轉機械的扭轉振動問題，考慮到外激振扭矩諧波頻率的變化和不確定性，文章采用了多個次諧波吸振器來抑制系統(tǒng)的扭轉振動，具有很好的魯棒性．

時滯減振是一種新興的主動減振技術，美國學者Olgac［9］最早提出時滯減振技術，在主振動系統(tǒng)中引進一個帶有時滯狀態(tài)反饋的動力吸振器，通過調節(jié)動力吸振器的反饋增益系數(shù)和時滯量來達到減小主系統(tǒng)振動的目的．Olgac等經(jīng)過大量的理論和實驗研究取得了時滯減振技術的理論依據(jù)和實驗結果．在扭轉振動系統(tǒng)方面，Hosek等［10］研究了采用離心擺式的時滯共振器來抑制扭轉系統(tǒng)的振動問題，研究結果表明，通過調節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯量可以很好的抑制主振動系統(tǒng)的扭轉振動．作者近年來的研究也證實了時滯減振技術在抑制系統(tǒng)振動方面的優(yōu)越性．本文采用時滯動力吸振器來抑制扭轉振動系統(tǒng)的振動，通過調節(jié)反饋增益系數(shù)和時滯量達到抑制主系統(tǒng)扭轉振動的目的．

1 力學模型

采用動力吸振器來抑制線性強迫扭轉振動系統(tǒng)的集中質量模型如圖1所示．

圖1 時滯動力吸振器抑制扭轉振動系統(tǒng)Fig．1 A model describing the vibration suppression of torsional vibrating system with delayed vibration absorber

圖1所示振動系統(tǒng)的運動微分方程為:

其中，I1和I2分別是主系統(tǒng)和吸振器的質量慣性矩;θ1和θ2分別是主系統(tǒng)和吸振器系統(tǒng)的扭轉角位移．k1和k2是主系統(tǒng)和吸振器系統(tǒng)的線性彈簧的剛度系數(shù);c1和c2是主系統(tǒng)和吸振器的線性阻尼系數(shù)，gcθ2τ是帶有時滯的反饋控制項，其中gc是反饋增益系數(shù)，τ是時滯，且 θ2τ=θ2(t－τ)．

在有一定物理意義的前提下選擇時滯動力吸振器及主系統(tǒng)的參數(shù)如下:I1=0．04(kgm2)，I2=0．04(kgm2)，k1=1．00(Nm/rad)，k2=3．00(Nm/rad)，c1=0．20(Nms/rad)，c2=0．20(Nms/rad)．以檢測到的外激勵頻率Ω=15．70(rad/s)為例進行分析．

2 時滯動力吸振器的穩(wěn)定性分析

由于時滯常常是導致實際系統(tǒng)控制性能惡化和不穩(wěn)定的重要原因，因此必須要研究時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性．首先，研究時滯動力吸振器的穩(wěn)定性．圖1所示的減振系統(tǒng)中的時滯動力吸振器的運動方程為:

時滯動力吸振器的特征方程為:

特征方程(4)在純虛根S=±ωci(其中ωc為時滯動力吸振器的固有頻率)處的反饋增益系數(shù)和時滯的表達式為:

首先，找到時滯動力吸振器可能的振動頻率和可能的時滯的臨界值．假設時滯動力吸振器可能的振動頻率為 ωj≥0(j=1，2)，將S= ± ωji這對純虛根帶入特征方程(4)，得到

求得方程(7)的解為

其次，是檢驗特征根隨著時滯變化的趨勢．通過計算符號函數(shù)

得到，記為 sgn［Sj］．如果 sgn［Sj］=+1，說明隨著時滯τ的增大，當時滯τ經(jīng)過臨界時滯時，特征根S=±ωji從穩(wěn)定的左側平面穿過虛軸進入到不穩(wěn)定的右側平面，這樣的變化使得不穩(wěn)定根(即特征根的實部是正數(shù)的根)的個數(shù)增加兩個．反之，如果sgn［Sj］=－1，則不穩(wěn)定根的個數(shù)減小兩個．

將系統(tǒng)物理參數(shù)帶入到方程(5)，計算得到時滯動力吸振器發(fā)生共振時(即，ωc=Ω=15．70(rad/s))，其反饋增益系數(shù)應調節(jié)為gc=7．76(Nm/rad);由方程(9)中計算得到吸振器可能的振動頻率只有一個 ω1=15．70rad/s，記為S1= ±15．70i;由公式(10)計算得到符號函數(shù)sgn［S1］=+1．當τ=0時，由特征方程(4)計算出時滯動力吸振器的兩個特征根均是穩(wěn)定的．由方程(8)計算出時滯動力吸振器的穩(wěn)定性區(qū)域圖表如表1所示:

表1 時滯動力吸振器穩(wěn)定性區(qū)域圖表Table 1 Stability chart of delayed vibration absorber

由表1可判定，當時滯在 τ∈［0，0．03)范圍變化時，時滯動力吸振器處于穩(wěn)定狀態(tài)=0．03s是一個臨界值．隨著時滯的不斷增大，不穩(wěn)定根的個數(shù)不斷增大，因此不可能再出現(xiàn)時滯的穩(wěn)定區(qū)域．

3 時滯減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

為了保證時滯動力吸振器穩(wěn)定工作時整個減振系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因此有必要研究整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題．

對應減振系統(tǒng)的運動方程(1)和(2)的特征方程為:

下面采用穩(wěn)定性切換方法來研究整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其過程與研究時滯動力吸振器的穩(wěn)定性相似．

為了找到減振系統(tǒng)可能的振動頻率和可能的時滯的臨界值，假設 ωj≥0(j=1，2，3，4)是特征方程(11)的純虛根，將S=±ωji帶入方程(11)可得到

將系統(tǒng)物理參數(shù)帶入到方程(12)，計算得到整個減振系統(tǒng)可能的振動頻率只有一個ω1=11．37rad/s，記為S1= ±11．37i;由公式(10)計算得到符號函數(shù)sgn［S1］=+1．當τ=0時，由特征方程(11)計算出整個減振系統(tǒng)的所有的特征根均是穩(wěn)定的．進而由方程(13)計算出整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域圖表如表2所示:

表2 整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域圖表Table 2 Stability chart of combined system

由表2可判定，當時滯在 τ∈［0，0．10)范圍變化時，時滯動力吸振器處于穩(wěn)定狀態(tài)，τ1，0=0．10s是一個臨界值．隨著時滯的不斷增大，不穩(wěn)定根的個數(shù)不斷增大，因此不可能再出現(xiàn)時滯的穩(wěn)定區(qū)域．

由于＜ τ1，0，即整個時滯減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性區(qū)域比時滯動力吸振器的穩(wěn)定性區(qū)域范圍大．因此，當時滯動力吸振器調節(jié)到其臨界穩(wěn)定值時(gc=7．76(Nm/rad)，τ=0．03(s))，可以將主系統(tǒng)的振動全部消除，并且能夠保證整個減振系統(tǒng)是在穩(wěn)定的狀態(tài)下工作．

4 數(shù)值模擬

為了從數(shù)值上驗證以上解析結果的正確性，圖2－圖7給出了系統(tǒng)在不同反饋增益系數(shù)和時滯的條件下的時間歷程響應曲線，其中(a)表示主系統(tǒng)，(b)表示減振器．圖中外激勵為F(t)=0．10cos(15．70t)(Nm)，初始條件為:θ1(0)=θ2(0)=0．00(rad)，(0)=(0)=0．01(rad/s)，當t∈［－τ，0)時 θ1(t)=θ2(t)=0．00(rad)(t)=(t)=0．00(rad/s)．

圖2是沒有反饋時的減振系統(tǒng)的時間歷程響應曲線，對應吸振器的物理參數(shù)是不可調節(jié)的，相當于被動吸振器．此時主系統(tǒng)扭轉振動的振幅為0．009rad，吸振器扭轉振動的振幅為0．005rad．圖3對應的是減振系統(tǒng)存在反饋控制，但是反饋控制不存在時間滯后．從圖3可以看出，通過引進反饋控制主系統(tǒng)扭轉振動的振幅由0．009rad減小到0．004rad，吸振器扭轉振動的振幅則增大到 0．006rad，表明通過引進反饋控制提高了系統(tǒng)的減振性能，從而也證明了主動控制比被動控制具有更好的控制效果．

圖2 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=0．00Nm，τ=0．00s)Fig．2 Time history response curve of the vibrating system where gc=0．00Nm，τ =0．00s

圖3 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=7．76Nm，τ=0．00s)Fig．3 Time history response curve of the vibrating system where gc=7．76Nm，τ =0．00s

圖4－圖7是存在時滯反饋控制時減振系統(tǒng)的時間歷程響應曲線．對比圖3－圖5，當時滯由τ=0．00s增大到τ=0．01s時，主系統(tǒng)扭轉振動的振幅由0．004rad減小到0．002rad，吸振器扭轉振動的振幅則由0．006rad增大到0．008rad．繼續(xù)增大時滯量，當τ=0．03s時，主系統(tǒng)扭轉振動的振幅減小為 0，吸振器扭轉振動的振幅則增大為 0．010rad．τ=0．03s是時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定值，此時時滯動力吸振器發(fā)生共振，外激勵輸入到主系統(tǒng)的能量全部被時滯動力吸振器吸收，主系統(tǒng)則不振動．

圖4 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=7．76Nm，τ=0．01s)Fig．4 Time history response curve of the vibrating system where gc=7．76Nm，τ =0．01s

圖5 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=7．76Nm，τ=0．03s)Fig．5 Time history response curve of the vibrating system where gc=7．76Nm，τ =0．03s

圖6 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=7．76Nm，τ=0．05s)Fig．6 Time history response curve of the vibrating system where gc=7．76Nm，τ =0．05s

圖7 減振系統(tǒng)的時間歷程數(shù)值模擬圖(gc=7．76Nm，τ=0．15s)Fig．7 Time history response curve of the vibrating system where gc=7．76Nm，τ =0．15s

當時滯量達到時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定值再繼續(xù)增大，以圖6中時滯τ=0．05s為例，主系統(tǒng)扭轉振動的振幅又開始繼續(xù)增大，并且隨著時滯量的不斷增大，時滯動力吸振器逐漸喪失了減振的能力，導致主系統(tǒng)扭轉振動的振幅不斷增大．當時滯量超過了整個減振系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定值(τ=0．10s)時，以圖7中時滯τ=0．15s為例，此時整個減振系統(tǒng)失去了穩(wěn)定性，可能導致結構破壞．

以上的分析表明，時滯量應該在時滯動力吸振器和整個減振系統(tǒng)都穩(wěn)定的前提下進行選擇．當時滯量在小于時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定值范圍選擇時，時滯動力吸振器起到了減振作用，減小了主系統(tǒng)扭轉振動的振幅．時滯量選擇的最佳值是時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定值，此時時滯動力吸振器發(fā)生共振，能夠完全消除主系統(tǒng)的振動．值得注意的是，時滯量的選擇一定不能超過整個減振系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定值，一旦時滯超過了整個減振系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定值，則會導致整個減振系統(tǒng)的破壞，造成嚴重的后果．

5 結論

文章主要研究了采用時滯動力吸振器來控制扭轉振動系統(tǒng)的振動問題．采用穩(wěn)定性切換的方法討論了穩(wěn)定性問題，得到的主要結論如下:

(1)時滯動力吸振器的穩(wěn)定范圍比整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍要大，時滯量要在整個減振系統(tǒng)的穩(wěn)定范圍進行調節(jié)，才能保證減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

(2)當時滯量在小于時滯動力吸振器臨界穩(wěn)定值的范圍進行調節(jié)時，時滯動力吸振器起到減振的作用，能夠部分消除主系統(tǒng)的振動．

(3)當時滯量調節(jié)到時滯動力吸振器的臨界穩(wěn)定值時，時滯動力吸振器發(fā)生共振，將外激勵輸入到系統(tǒng)的能量全部吸收，能夠完全消除主系統(tǒng)的振動．

(4)當時滯量超過了整個減振系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定值時，減振系統(tǒng)失去穩(wěn)定性，將導致整個結構的破壞．

1 孫啟國，狄杰建．內燃機曲軸扭轉振動的優(yōu)化動力修改．車用發(fā)動機，2010，(5):32～34(Sun Q J，Di J J．Optimal dynamical modification of ICE crankshaft torsional vibration．Vehicle Engine，2010，(5):32 ～ 34(in Chinese))

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10 Hosek M，Elmali H，Olgac N．A tunable torsional vibration absorber:the centrifugal delayed resonator．Journal of Sound and Vibration，1997，205(2):151～165

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China(10802035)

? Corresponding author E－mail:yanyingzhao@163．com

VIBRATION SUPPRESSION OF TORSIONAL VIBRATION SYSTEM BY USING THE DELAYED VIBRATION ABSORBER*

Zhao Yanying?Li Changai
(School of Aircraft Engineering，Nanchang Hangkong University，Jiangxi330063，China)

The vibration suppression of torsional vibrating system is investigated by using the delayed vibration absorber．The stability switch method was applied to analyze the stability of the delayed vibration absorber and the combined system，and their stable and unstable regions were obtained respectively．The results show that the vibration of the primary system could be suppressed absolutely when the delay is chosen as the critical stable value of the delayed vibration absorber．The vibration of the primary system could be suppressed partly when the delay is chosen in the stable region of the delayed vibration absorber．As the value of the delay increases，the vibration suppression ability is improved．If the value of the delay is larger than the critical value of the combined system，the structure of the combined system could be destroyed．The analytical results agree with the numerical simulation well．

torsional vibration， delayed vibration absorber， stability switch， feedback control

12 April 2012，

12 June 2012．

10．6052/1672－6553－2013－006

2012－04－12 收到第 1 稿，2012－06－12 收到修改稿．

*國家自然科學基金資助項目(10802035)

E－mail:yanyingzhao@163．com