構(gòu)造法在求解微分方程中的應(yīng)用

劉華

[摘要]構(gòu)造法是一種常見的化歸策略，在高等數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用，本文將介紹構(gòu)造法在不同類型微分方程求解中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]構(gòu)造法 微分方程

構(gòu)造法是一種常用的數(shù)學(xué)方法，它指的是根據(jù)所要解決問題的具體特點(diǎn)構(gòu)造出特定的數(shù)學(xué)形式，達(dá)到化簡、轉(zhuǎn)化和橋梁的作用，進(jìn)而能夠方便地解決問題。歷史上不少數(shù)學(xué)家都曾經(jīng)運(yùn)用該方法，解決了數(shù)學(xué)難題，比如柯西、歐拉、費(fèi)馬、拉格朗日等。這種方法體現(xiàn)了思維的轉(zhuǎn)換，有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)及創(chuàng)新能力。

構(gòu)造法在高等數(shù)學(xué)中有著普遍的應(yīng)用，比如通過構(gòu)造函數(shù)證明等式、不等式，證明微分中值定理，通過構(gòu)造級(jí)數(shù)求極限，通過構(gòu)造數(shù)列、積分等解決相應(yīng)問題。這種方法在微分方程求解中的應(yīng)用尤為突出，從一階線性微分方程到二階（高階）常系數(shù)齊次線性微分方程，再到二階（高階）常系數(shù)非齊次線性微分方程，無不體現(xiàn)出構(gòu)造法的便利之處。下面介紹構(gòu)造法在求解微分方程中的應(yīng)用。

一、構(gòu)造法在不同類型微分方程求解中的應(yīng)用

1.

通過對(duì)比一階線性齊次微分方程和非齊次微分方程的特點(diǎn)，找出其內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)一階線性齊次微分方程的通解y（x）=Ce-∫p（x）dx，構(gòu)造出一階線性非齊次微分方程的通解

y（x）=C（x）e-∫p（x）dx，

借鑒待定系數(shù)法的思想，容易求出一階線性非齊次微分方程的通解為

y（x）=e-∫p（x）dx[∫Q（x）e-∫p（x）dxdx+c]。

2.y``+py`+qy=0

通過對(duì)五類基本初等函數(shù)的逐一分析，考慮到指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)的特點(diǎn)，構(gòu)造該方程特解的形式為y*（x）=erx，根據(jù)構(gòu)造的這種形式，可以將微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程r2+pr+q=0（特征方程）求根的代數(shù)問題，根據(jù)方程根的不同形式可以進(jìn)一步得到該微分方程的通解。在特征方程有二等實(shí)根的情況下，進(jìn)一步利用構(gòu)造法構(gòu)造出另一與y1（x）=erx線性無關(guān)的特解y2（x）=u（x）erx，可求得這一特解為y2（x）=xerx。上述構(gòu)造法的運(yùn)用可以推廣到高階齊次線性微分方程。

3.y``+py`+qy=Pm（x）eλx（其中Pm（x）為m次多項(xiàng)式函數(shù)）

根據(jù)該微分方程右端自由項(xiàng)的特點(diǎn)，可以構(gòu)造出特解形式為y*（x）=Qm（x）eλx，將其代入微分

方程整理可得

Q``m（x）+（2λ+P）Q`m（x）+（λ2+pλ+q）Qm（x）=Pm（x）

由此結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)λ是特征方程r2+pr+q=0的單根或二重根時(shí)，上式不可能成立，構(gòu)造的特解形式將不再適合該微分方程的求解。究其原因是因?yàn)榈仁絻啥硕囗?xiàng)式函數(shù)的次數(shù)不等，于是調(diào)整后特解的形式為

y*（x）=xkQm（x）eλx （k=0，1，2）

當(dāng)λ不是特征方程r2+pr+q=0的根時(shí)，k取0，當(dāng)λ是特征方程r2+pr+q=0的單根時(shí)，k取1，當(dāng)λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根時(shí)，k取2。借鑒待定系數(shù)法的思想可以求出Qm（x），進(jìn)而得到該微分方程的特解，利用相對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解，可以進(jìn)一步地求得該微分方程的通解。

特別地，當(dāng)λ是特征方程r2+pr+q=0的二重根時(shí)，可直接構(gòu)造z（x）=x2Qm（x），使得其二階導(dǎo)數(shù)等于Pm（x）即可，這樣以來可以更為簡單方便地得到其特解y*（x）=z（x）eλx。

當(dāng)上述微分方程右端自由項(xiàng)f（x）=eλx[P1（x）cosωx+Pn（x）sinωx]時(shí)，其特解形式可以類似地構(gòu)造為

當(dāng)λ+iω不是特征方程r2+pr+q=0的根時(shí)，k取0，當(dāng)λ+iω是特征方程r2+pr+q=0的單根時(shí)，k取1。

二、典型例題分析

例1.求微分方程y``-6y`+9y=（x2+1）e3x的特解。

解法一： 由于e3x中x的系數(shù)a=3是對(duì)應(yīng)齊次方程特征方程的二重根.因而該方程特解的形式可構(gòu)造為

y*（x）=x2（Ax2+Bx+C）e3x

將它代入方程左邊求導(dǎo)，化簡并和方程右邊比較系數(shù)可得方程組

于是，可求得其特解為

解法二：構(gòu)造其特解y=z（x）eax（z（x）=x2（Ax2+Bx+C）且z（x）滿足

z``（x）=x2+1.

因此有

z``（x）=12Ax2+6Bx+2C=x2+1.

比較系數(shù)得12A=1，6B=0，2C=1，即 ， 所以原方程的特解為

例2.求微分方程y``+y=sin2x的特解

解法一：由于對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根為λ=±i，所以可構(gòu)造該方程的特解為

y*（x）=Acos2x+Bsin2x

將上式代入原方程整理可得

-3Acos2x-3Bsin2x=sin2x

比較等式兩端可得

求解方程組可得 ，所以原方程的特解為

解法二：由于第一個(gè)方程右邊只有正弦函數(shù)，左邊不含一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，若y是正弦函數(shù)，則y``也必是正弦函數(shù).因此可以構(gòu)造其特解為

y*（x）=Asin2x

將上式代入原方程可得

-3Asin2x=sin2x

比較上式兩端，可得 ，于是原微分方程的特解為

構(gòu)造法是一種富有探索性、技巧性和創(chuàng)造性的方法，在不斷探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的基礎(chǔ)上，往往可以構(gòu)造出更為簡潔、有效地形式，從而更便于解決問題。構(gòu)造法的應(yīng)用不僅能夠巧妙、簡便地解決問題，還能夠激發(fā)創(chuàng)新思維，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]數(shù)學(xué)思想方法通論【M】，解思澤，趙樹智，北京，科學(xué)出版社

[2]高等數(shù)學(xué)【M】，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，北京，高等教育出版社

（作者單位：第二炮兵工程大學(xué) 陜西西安）